應(yīng)用Taylor公式證明相關(guān)定理

張學(xué)茂，王大增，楚建亞

(泰州師范高等?？茖W(xué)校 機(jī)電工程學(xué)院，江蘇 泰州 225300)

Taylor公式是《數(shù)學(xué)分析》《高等數(shù)學(xué)》中一極其重要的工具，不少專家學(xué)者研究了其在求函數(shù)的近似值及誤差估計(jì)、證明不等式、求函數(shù)的極限、極值、判別級(jí)數(shù)的斂散性、廣義積分的斂散性、行列式的計(jì)算，乃至微分方程解等方面的應(yīng)用[1-5].大多數(shù)限于一元函數(shù)問題的解決，在定理證明中的應(yīng)用方面較為罕見，且筆者在長期的教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)：由于學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)與知識(shí)點(diǎn)編排先后的限制，許多定理、結(jié)論在首次出現(xiàn)時(shí)，證明的方法較繁或較抽象，給學(xué)生的理解帶來了較大的困難.而學(xué)習(xí)了Taylor公式后，利用該公式可以較簡易地、定性地證明相關(guān)的定理或結(jié)論，并能將一元函數(shù)的有關(guān)結(jié)論推廣至多元函數(shù)，這樣能加強(qiáng)學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解，并進(jìn)行有效的推廣，促進(jìn)學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)的重組與更新.

1 預(yù)備知識(shí)

引理1[6]265-266(Taylor定理)若函數(shù) f ( x) 在點(diǎn) x0處存在 n 階導(dǎo)數(shù)，則?x∈u( x0)有

在實(shí)際應(yīng)用中常用用二階的Taylor公式

引理2[7]對(duì)于任一組不全為零的實(shí)數(shù)Δx, Δy 有則稱矩陣是半正定的.

定義1[6]296f( x)為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，對(duì)I上任兩點(diǎn) x ,x和實(shí)數(shù)?λ∈（0,1）總有12f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)，則稱f(x)為區(qū)間I上的凸函數(shù)，反之稱為凹函數(shù).

定義2[8]設(shè) D ? Rn是凸集，函數(shù)f( x) 定義在D 上，?λ∈（0,1）及任意兩點(diǎn) p ,p∈D 恒有12 f(λ p1+(1-λ)p2)≤λf (p1)+(1-λ) f (p2)，則稱 f ( x) 為 D 上的凸函數(shù)，反之稱為凹函數(shù).

定義3[6]236f( x) 為在區(qū)間I上有定義，若x∈I ，且存在 u (x)?I ，? x ∈ u ( x)總有 f ( x)≤f(x)(或0000 f( x) ＞ f( x0))，則稱 x0是函數(shù) f ( x)的極大值點(diǎn)(極小值點(diǎn))， f (x0)是函數(shù) f ( x )的極大值(極小值).(類似的可定義多元函數(shù)的極值).

2 證明有關(guān)的定理或結(jié)論

2.1 證明函數(shù)的凹凸性

定理 若函數(shù) f ( x) 在區(qū)間I上二階可導(dǎo)，?x ∈I有

1) f′(x) ＞ 0則 f ( x)為區(qū)間I上的凸函數(shù)

2) f′(x)＜0 則 f ( x)為區(qū)間I上的凹函數(shù).

證明 函數(shù) f ( x)在區(qū)間I上二階可導(dǎo)，由二階Taylor公式取區(qū)間I上任兩點(diǎn) x1,x2，令x3=λx1+(1 -λ)x2，

即 λf( x1)+ ( 1-λ)f(x2)＞f(x3)，f(x)為區(qū)間I上的凸函數(shù).

當(dāng) f ′(x) ＜ 0λf(x1)+ ( 1-λ)f(x2) ＜ f(x3),f(x)為區(qū)間I上的凹函數(shù).

筆者曾對(duì)二元函數(shù)的凹凸性等價(jià)條件作了研究[9]，利用Taylor公式還可證明多元函數(shù)的凹凸性.

定理 若函數(shù) f(P ) 在 Rn的開凸集 D 上存在二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)?P∈ D ，當(dāng)f(P)的Hessian矩陣半正定時(shí)，f(P)是凸函數(shù)，反之為凹函數(shù).

顯然上式的符號(hào)由 f ′′(P3)的符號(hào)決定.

當(dāng)f′(P3) ≥ 0時(shí)λf( p1)+ ( 1 - λ )f( p2) ≥ f( p3)， f ( x)是凸函數(shù).

當(dāng)f′(P3) ≤ 0時(shí)λf( p1)+ ( 1 - λ )f( p2) ≤ f( p3)， f ( x)是凹函數(shù).

即Hessian矩陣半正定時(shí)， f ( x) 是凸函數(shù).Hessian矩陣半負(fù)定時(shí)， f ( x)是凹函數(shù).

2.2 證明函數(shù)的極值的第二充分條件

教材[6]281-284利用Taylor公式證明了一元函數(shù)的極值.關(guān)于多元函數(shù)的極值，我們也可利用Taylor公式來證明.

定理[10]D?Rn的實(shí)值函數(shù) f ： D → R在p∈D處可微，若u( p ) ? D，存在連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，且

0

0 f′(p0)=0，則當(dāng) f ′(p0)半正定時(shí)， f 在 p0處取得極小值；f′(p0)半負(fù)定時(shí)，f 在 p0處取得極大值.

證明 對(duì)于 D ?Rn上任一點(diǎn) p ，由二階的Taylor公式得

故，當(dāng) f ′′(p0)半正定時(shí)， f ( p)-f( p0) ≥ 0， f 在 p0處取得極小值；

當(dāng) f ′′(p0)半負(fù)定時(shí)， f ( p)-f( p0) ≤ 0， f 在 p0處取得極大值.

2.3 證明多元函數(shù)的Jensen不等式

2.4 對(duì)羅比達(dá)(L’Hospita1)法則的推廣

求函數(shù)極限時(shí)，等價(jià)無窮小代替只運(yùn)用了一階性質(zhì)，羅比達(dá)法則每次只能降低一階，應(yīng)用Taylor公式能一步到位.

定理 設(shè) f ( x)與φ(x)為x→x0的無窮小量(或無窮大量)，且在x0鄰域內(nèi)可以展開成Taylor公式，x0是f( x)的 n 階零點(diǎn)，x0是φ(x)的 n 階零點(diǎn)，則

2.5 驗(yàn)證兩個(gè)重要極限

一元函數(shù)的Taylor公式、Jensen不等式等知識(shí)點(diǎn)出現(xiàn)《數(shù)學(xué)分析》上冊(cè)，多元函數(shù)(重點(diǎn)是二元函數(shù)) Taylor公式、凹凸性、極值等出現(xiàn)在《數(shù)學(xué)分析》下冊(cè)，且大多數(shù)教材中沒有給出相關(guān)的證明和推廣.我們?cè)诮虒W(xué)中要注重前后知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系與推廣，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)中經(jīng)常溫習(xí)，加強(qiáng)整門科目各知識(shí)點(diǎn)的前后聯(lián)系，更強(qiáng)調(diào)了學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析中不但要吃透細(xì)節(jié)，更應(yīng)注重把握好各章節(jié)各知識(shí)點(diǎn)的區(qū)別與聯(lián)系.

[1] 樊紅云.函數(shù)可展開成泰勒級(jí)數(shù)的一個(gè)充分條件[J].高師理科學(xué)刊,2002(2):4-5.

[2] 譚康.泰勒公式及泰勒級(jí)數(shù)之妙用[J].高等數(shù)學(xué)研究,2010(5):11-12.

[3] 黃宗文,簡靈峰.泰勒公式在討論級(jí)數(shù)收斂性中的應(yīng)用[J].玉林師范學(xué)院學(xué)報(bào),2001(3):21-23.

[4] 邢永麗,陳建軍春.泰勒級(jí)數(shù)在近似計(jì)算中的應(yīng)用[J].湘潭師范學(xué)院學(xué)報(bào),2004(3):5-8.

[5] 王三寶.泰勒公式的應(yīng)用例舉[J].高等函授學(xué)報(bào),2005(6):31-33.

[6] 劉玉鏈,傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義[M].北京:高等教育出版社,2008:236-296.

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[10] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京:高等教育出版社,2000:242.