透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)

南江翊

馬上是上午的第四節(jié)課，我的肚子有點(diǎn)餓了，可一想到這節(jié)是數(shù)學(xué)課，我的勁頭十足.開(kāi)始上課了，老師出了一道這樣的題.

如圖1所示，∠A=50°，∠B=40°，∠C=30°，則∠BDC=_____.

分析：初看此題，最先想到的是連接BC，用整體思想來(lái)證.

解：連接BC ，如圖2.

∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，且∠A=50°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A =180°-50°=130°.

∵∠B=40°，∠C=30°，即∠B+∠C=70°，

∴∠DBC+∠DCB=∠ABC+∠ACB-∠B-∠C=130°-70°=60° .

而∠BDC+∠DBC+∠DCB=180°，

∴∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB=180°-60°=120°.

班上有許多同學(xué)都是這樣解的，大家感覺(jué)這道題目并不難.此時(shí)，有些同學(xué)仍在小聲地議論著，說(shuō)他們也解出來(lái)了，不過(guò)是用其他的方法，老師聽(tīng)了很高興，讓他們把自己的方法都分享出來(lái)，于是又出現(xiàn)了其他的6種方法.

方法二

解：作EB//DG//CF，如圖3 .

∵EB//DG，

∴∠BAD=∠EBA .

∵DG//CF，

∴∠DAC=∠ACF .（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

∵∠A=∠BAD+∠DAC=50°，

∴∠EBA+∠ACF=50°.

又∵EB//DG，

∴∠EBD=∠1 .

∵DG//CF，

∴∠DCF=∠2 .

∵∠1+∠2=∠BDC，

∴∠EBA+∠ABD+∠ACD+∠ACF=∠BDC，

即∠EBA+∠ACF+∠B+∠C=∠BDC .

∴∠BDC=50°+40°+30°=120°.

緊接著出現(xiàn)了第三種解法：

方法三

解：作EF//DG//AC，如圖4 .

∵EF//AC，

∴∠A=∠ABE .

∵DG//AC，

∴∠C=∠CDG .

（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

∵EF//DG，

∴∠EBD=∠BDG .

（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

∠EBD=∠ABE+∠B ，

即∠EBD=∠A+∠B=90°.

又∵∠BDC=∠BDG+∠CDG，

∴∠BDC=∠EBD+∠C=90°+30°=120°.

方法四

解：作AE//BD，AF//DC，連接AD并延長(zhǎng)到G，如圖5 .

∵AE//BD，

∴∠B=∠EAB，∠EAG=∠BDG.

∵AF//DC，

∴∠C=∠CAF，∠FAG=∠CDG.

∴∠EAF=∠FAG+∠EAG=∠BDG+∠CDG

=∠BDC.

∴∠EAF=∠EAB+∠BAC+∠CAF =∠B+∠C+∠A=120°.

∴∠BDC=120°（等量代換） .

方法五

解：作DE//AB，DF//AC ，延長(zhǎng)ED交AC于G，如圖6.

∵DE//AB，

∴∠B=∠BDE .

∵DF//AC，

∴∠C=∠CDF .

（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

∵DE//AB，

∴∠A=∠EGC .

∵DF//AC，

∴∠EGC=∠EDF .

（兩直線平行，同位角相等）

∴∠A=∠EDF .

∵∠BDE+∠CDF+∠EDF=∠BDC，

即∠A+∠B+∠C=∠BDC，

∴∠BDC=∠A+∠B+∠C =120°.（等量代換）

除了以上方法外，我們可以用周角知識(shí)來(lái)做.

方法六

解：連接AD ，如圖7.

∠B+∠C+∠BAD+∠DAC=∠A+∠B+∠C=120° .①

∠A+∠B+∠C+∠ADB+∠ADC=180°×2=360°.②

②-①，∠ADB+∠ADC=240°.

∵∠ADB+∠ADC+∠BDC=360°，（周角定義）

∴∠BDC=360°-∠ADB-∠ADC=360°-240°=120° .

方法七

解：延長(zhǎng)BD交AC于F ，如圖8.

∠A+∠B=∠DFC（三角形任一個(gè)外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和），

∴∠DFC=∠A+∠B=90°.

∵∠C+∠DFC+∠FDC=180°，

且∠C=30°，∠DFC=90°.

∴∠FDC=180°-∠C-∠DFC=180°-30°-90°=60° .

∵∠FDC+∠BDC=180° （鄰補(bǔ)角互補(bǔ)），

∴∠BDC=180°-∠FDC=120°.

正在大家對(duì)今天這節(jié)課這樣一道題能得到如此多的方法感到興奮不已的時(shí)候，老師卻說(shuō)，你們還沒(méi)有真正領(lǐng)悟到本題的本質(zhì).

老師說(shuō)：“這個(gè)圖形象圓規(guī)一樣，有些地方把它稱之為規(guī)形.”它的數(shù)學(xué)本質(zhì)是一個(gè)凹四邊形，這種凹四邊形有一個(gè)非常重要的性質(zhì)，也就是我們上面證明的：∠BDC=∠A+∠B+∠C.這道題最簡(jiǎn)單的方法就是利用外角性質(zhì)，延長(zhǎng)AD作射線AM.

方法八

解：如圖9，連接AD并延長(zhǎng).則∠BDM=∠B+∠BAD，①

∠CDM=∠C+∠CAD. ②

由①+②可得∠BDC=∠A+∠B+∠C=120°.

老師接著說(shuō)：“這么簡(jiǎn)單的方法你們?cè)趺礇](méi)有想到呢？用了這么多種方法來(lái)解決這樣一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題.說(shuō)明了什么呢？

說(shuō)明了我們對(duì)于上一節(jié)課講的外角的性質(zhì)定理（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和）還沒(méi)有掌握清楚.我們回避了這么簡(jiǎn)單的方法，而用平行線和三角形內(nèi)角和的知識(shí)將角進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

我們知道，三角形內(nèi)角和等于180度這個(gè)內(nèi)角和定理，是由平行線的性質(zhì)定理證明得到的，而一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和又是由三角形內(nèi)角和定理推導(dǎo)而來(lái)的.我們發(fā)現(xiàn)以上八種方法中，方法一、方法六用的是三角形內(nèi)角和定理；方法二三四五用的是平行線的性質(zhì)；方法七、方法八用的是外角的性質(zhì).其本質(zhì)都是為了轉(zhuǎn)化角.由于這三個(gè)定理的相通性，大家是不是發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)是一致的呢？

本來(lái)認(rèn)為我們這節(jié)課通過(guò)充分地討論，積極地思考提供了那么多的好的方法，原來(lái)還是在對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)上有距離.聽(tīng)了老師的話，我們覺(jué)得以后做題不能只是想用各種不同的方法，也要想一想為什么會(huì)有不同的方法，哪種方法是最好的.

[后記](méi)老師的話：在學(xué)生找出了多種解題方法而興奮的時(shí)候，卻說(shuō)他們沒(méi)有領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)，的確有點(diǎn)打擊他們.但是，數(shù)學(xué)是一門科學(xué)，解題是具有非常強(qiáng)的指向性的.透過(guò)現(xiàn)象看數(shù)學(xué)題的本質(zhì)有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的敏銳性和邏輯性.對(duì)學(xué)生建立完善的人格和思維品格具有非常重要的作用，所以這樣的習(xí)題課一定要“收”，而不能過(guò)度去“放”.

（指導(dǎo)老師：王宇剛）