與全等三角形有關(guān)的探索題的類型及其解法

史立霞　秦振

全等三角形中的探索題，是指命題中缺少一定的題設(shè)或未給出明確的結(jié)論，需要經(jīng)過推斷、補充并加以證明的問題.由于這類問題的知識覆蓋面大，綜合性強，方法靈活，再加上題意新穎，要求同學(xué)們必須具有扎實的基礎(chǔ)知識和較強的數(shù)學(xué)能力，才能順利解題.

一、條件探索型

條件探索型題，是指給出問題的結(jié)論，但沒有給出或部分給出題目的條件，要求給出或補充使問題結(jié)論成立的條件.解這類題采取的策略是執(zhí)果索因，首先要從結(jié)論出發(fā)，考慮結(jié)論成立時所要滿足的條件，從而得到答案.

例1 如圖1所示，已知CE⊥AB，DF⊥AB，點E、F分別為垂足，且AC∥BD.請補充一個條件，使這兩個三角形全等，并給出證明.

圖1

分析： 根據(jù)三角形全等的定義及判定，可知題中沒有對應(yīng)邊相等，因此可補充一組對應(yīng)邊相等.

解：補充一個條件：AC=BD（或AE=BF或CE=DF或AF=BE），可使△CEA≌△BDF.下面以AC=BD為例證明如下：

因為CE⊥AB， DF⊥AB，

所以∠CEA=∠DFB=90°.

因為AC∥BD，所以∠A=∠B.

又因為AC=BD，

所以△ACE≌△BDF（AAS）.

評注：解條件探索型的問題，采用的是“逆向思維”的方法，解此類問題需要同學(xué)們有扎實的基本功及靈活處理問題的能力.

二、結(jié)論探索型

結(jié)論探索型題，這類問題的基本特征是給出條件而無結(jié)論或結(jié)論的正確與否需要確定.解這類問題通常先假定其結(jié)論存在，再進行計算、推理，若能推導(dǎo)出符合條件的結(jié)論，則表示結(jié)論存在；若推出矛盾的結(jié)果，則結(jié)論就不存在.

例2 用兩個全等的等邊三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD，把一個含60°角的三角尺與這個菱形疊合，使三角尺的60°角的頂點與點A重合，兩邊分別與AB、AC重合，將三角尺繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn).

（1）當三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC、CD相交于點E、F時，如圖2-1所示，通過觀察或測量BE、CF的長度，你能得到什么結(jié)論？并證明你的結(jié)論；

（2）當三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC、CD的延長線相交于點E、F時，如圖2-2所示，你在（1）中得到的結(jié)論還成立嗎？簡要說明理由.

分析： （1）根據(jù)題意可得△ABE≌△ACF，因此BE=CF；（2）可用理由（1）的方法證明.

解：（1）BE=CF.

證明：在△ABE和△ACF中，

因為∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°，

所以∠BAE=∠CAF.

因為AB=AC，∠B=∠ACF=60°，

所以△ABE≌△ACF（ASA）.所以BE=CF.

（2）BE=CF仍然成立.

根據(jù)三角形全等的判定定理，同樣可以證明△ABE≌△ACF.BE和CF是它們的對應(yīng)邊，所以BE=CF.

評注： 本題要求在三角尺的位置變化中，悟出其內(nèi)在的變化規(guī)律，作出猜想并加以證明，對思維能力要求較高，突出了對探索、歸納、推理能力的考查.

三、規(guī)律探索型

規(guī)律探索型題是指在一定條件下，需探索發(fā)現(xiàn)有關(guān)對象所具有的規(guī)律性或不變性的問題，其解決問題的方法是通過觀察、歸納、類比、分析等思維方法，概括出具有一般性的規(guī)律或結(jié)論，然后給出證明.

例3 如圖3-1，△ABC是正三角形，△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，以D為頂點作一個60°角，角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點，連接MN.

探究：（1）線段BM、MN、NC之間的關(guān)系，并加以證明.

（2）若點M、N分別是射線AB、CA上的點，其他條件不變，再探索線段BM、MN、NC之間的關(guān)系.在圖3-2中畫出圖形，并說明理由.

圖3-2

分析：（1）根據(jù)題意，分析、觀察，尋找三者的等量關(guān)系，可得BM+NC=MN.

（2）根據(jù)題意，可以把點M、N特殊化，探討B(tài)M、MN、NC之間的關(guān)系.

解：（1）BM+CN=MN.

證明：如圖3-1所示，延長AC至M1，使CM1=BM，連接DM1.

因為∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，

所以∠ABD=∠ACD=∠DCM1=90°.

因為BD=CD，

所以Rt△BDM≌Rt△CDM1.

所以∠MDB=∠CDM1，DM=DM1.

所以∠MDM1=（120°-∠MDB）+∠CDM1=120°.

又因為∠MDN=60°，所以∠M1DN=∠MDN=60°.又DN=ND，所以△MDN≌△M1DN.所以MN=NM1=NC+CM1=BM+NC.

（2）NC-BM=MN.

證明：如圖3-2所示，在CN上截取CM1=BM，連接DM1.

因為∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°.

所以∠DBM=∠DCM1=90°.

因為BD=CD，

所以Rt△BDM≌Rt△CDM1.

所以∠BDM=∠CDM1，DM=DM1.

因為∠BDM+∠BDN=60°，

所以∠CDM1+∠BDN=60°.

所以∠M1DN=∠BDC-（∠CDM1+∠BDN）=120°-60°=60°.

所以∠M1DN=∠MDN.

因為ND=ND，所以△MDN≌△M1DN.

所以MN=NM1=NC-CM1=NC-BM.

評注：解規(guī)律探索型題，可以根據(jù)題意把問題特殊化，得到結(jié)論后，再證明結(jié)果的正確性.當然，這樣得到的結(jié)果也有可能是錯誤的.另外，本題中的問題（1）是為問題（2）作鋪墊，提供解題的方向，而探索、猜想、得出結(jié)論才是題目的重點和難點.因此，要正確地審題、分析、歸納，然后探索出結(jié)果.

四、存在探索型

存在探索型題，一般是在確定的條件下判斷某個數(shù)學(xué)對象是否存在.解決這類問題的策略是先假設(shè)需要探索的對象存在，從條件和假設(shè)出發(fā)進行運算、推理，若出現(xiàn)矛盾，則否定存在；如果不出現(xiàn)矛盾，則肯定存在.

例4 如圖4所示，DE是△ABC的中位線，AF∥BC，在射線AF上是否存在點G使△EGA與△ADE全等？若存在，請先確定點G，再證明這兩個三角形全等；若不存在，請說明理由.

分析：由于DE是△ABC的中位線，可得∠EAG=∠AED.過點E作AB的平行線，交AF于點G，可得∠AEG=∠EAD.從而可得△EGA≌△ADE.

解：存在.

過點E作AB的平行線，交AF于點G.

因為DE是△ABC的中位線，

所以DE∥BC.

又因為AF∥BC，所以DE∥AF.

所以∠EAG=∠AED.

因為EG∥AB，所以∠AEG=∠EAD.

又因為AE=AE，所以△EGA≌△ADE.

評注：此題采用了先假設(shè)再求解的方法，即：假設(shè)存在—演繹推理—得出結(jié)論.