無差異產(chǎn)品定價(jià)策略模型綜述

■ 常纓征（西安航空學(xué)院經(jīng)管系 西安 710077）

現(xiàn)有的研究中，新制度經(jīng)濟(jì)學(xué)框架中隱含的“價(jià)格理論”一直未加明確，科斯理論的確立還必須依賴價(jià)格理論的更大發(fā)展。因而在產(chǎn)品無差異的假定下，對于產(chǎn)品定價(jià)模型做出探索具有理論和現(xiàn)實(shí)意義。本文嘗試對不存在差異化的新產(chǎn)品價(jià)格策略、目標(biāo)市場價(jià)格策略、價(jià)格歧視以及二部定價(jià)策略從數(shù)學(xué)模型角度進(jìn)行定量地分析和闡述。

新產(chǎn)品價(jià)格策略的數(shù)學(xué)模型

（一）高價(jià)策略的數(shù)學(xué)模型（考慮時(shí)間因素t）

高價(jià)策略又稱撇脂策略，是一種追求最大利潤的策略，為壟斷市場結(jié)構(gòu)中的壟斷廠商定價(jià)所特有。壟斷市場中，壟斷廠商是產(chǎn)品價(jià)格的唯一制訂者，企業(yè)為實(shí)現(xiàn)利潤最大化目標(biāo)會制定高于完全競爭市場中的均衡價(jià)格，而其產(chǎn)量則小于完全競爭市場中由市場機(jī)制所決定的均衡產(chǎn)量。因此，從效率角度來說，是以犧牲消費(fèi)者剩余為代價(jià)的。采用該策略應(yīng)具備下列條件：新產(chǎn)品的質(zhì)量與高價(jià)格相符；要有足夠多的顧客能接收這種價(jià)格并愿意購買；競爭者在短期內(nèi)不能在該產(chǎn)品市場上出現(xiàn)（絕對壟斷地位）。

設(shè)新產(chǎn)品銷售總時(shí)間為T，總銷售量為Q，價(jià)格為P（t）。若在整個(gè)銷售過程中，該產(chǎn)品的市場需求為f（P），則產(chǎn)品的需求函數(shù)可以表示為：

式中a為絕對需求量，即產(chǎn)品價(jià)格為0（免費(fèi)供應(yīng)）時(shí)的需求量（根據(jù)人的欲望無限前提假設(shè)，理論上，a值應(yīng)該接近于無窮），b為價(jià)格變化一個(gè)單位時(shí)產(chǎn)品銷售的變化量（兩者反向變化），a、b可用類似產(chǎn)品的P、f（P）的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用OLS（最小二乘法）求得。

在總銷售時(shí)間T內(nèi)，新產(chǎn)品的總銷售量（即總產(chǎn)量）為Q，使用動態(tài)分析方法，則有：

（二）低價(jià)策略的數(shù)學(xué)模型

低價(jià)策略又成市場滲透策略，它與高價(jià)策略相反，是將投入市場的新產(chǎn)品價(jià)格定得盡量低，通過低價(jià)格取得市場占有率上的競爭優(yōu)勢。采用低價(jià)策略，必須具備下述條件：產(chǎn)品的價(jià)格需求彈性大，目標(biāo)市場對價(jià)格比較敏感；產(chǎn)品的邊際成本隨著產(chǎn)量的增加而降低；生產(chǎn)條件具有增產(chǎn)的可能。

設(shè)企業(yè)在新產(chǎn)品銷售獲得的低利潤為U，總產(chǎn)量為Q，總成本為V，則數(shù)學(xué)模型為式中的·P為低價(jià)策略所采用的新產(chǎn)品價(jià)格。

（三）中間價(jià)格策略的數(shù)學(xué)模型

目標(biāo)市場策略的數(shù)學(xué)模型

當(dāng)企業(yè)有多個(gè)目標(biāo)市場，若各目標(biāo)市場采用統(tǒng)一定價(jià)，為統(tǒng)一定價(jià)（uniform price）策略；一般來說，統(tǒng)一定價(jià)會使消費(fèi)者獲得一些剩余。對于大多數(shù)零售市場來說，統(tǒng)一定價(jià)是一個(gè)很好的概括，但是一種經(jīng)濟(jì)物品對不同的消費(fèi)者賣不同的價(jià)格的現(xiàn)象比比皆是。當(dāng)兩個(gè)單位的同種事物商品對同一消費(fèi)者或不同消費(fèi)者的售價(jià)不同時(shí)，即對各目標(biāo)市場采用不同的定價(jià)，為差別定價(jià)策略（即價(jià)格歧視策略）。

（一）統(tǒng)一定價(jià)策略的數(shù)學(xué)模型

令企業(yè)在各目標(biāo)市場的銷售量為Qi，產(chǎn)品的銷售價(jià)格為Pi，需求函數(shù)為Qi=f（Pi），其中i＝1，2，…，n，企業(yè)的總銷售量企業(yè)的總收益則當(dāng)企業(yè)的收益最大時(shí)有：從而得出：=Pn，該式說明當(dāng)企業(yè)對各目標(biāo)市場采用統(tǒng)一的價(jià)格策略時(shí)，企業(yè)的總收益最大，即利潤最大。

（二）差別定價(jià)策略的數(shù)學(xué)模型

設(shè)企業(yè)的收益函數(shù)為R（Q），C（Q）為成本函數(shù)，各目標(biāo)市場的收益函數(shù)和成本函數(shù)分別為Ri(Qi)，Ci(Qi)，則該企業(yè)的利潤函數(shù)為：

當(dāng)各目標(biāo)市場的利潤最大時(shí)，則：

即：

又根據(jù)：

則得出：

而MRi=MCi時(shí)，企業(yè)在i目標(biāo)市場獲利潤最大，所以當(dāng)MRi=MC時(shí)，企業(yè)同樣在i目標(biāo)市場獲利潤最大。同理可得出，企業(yè)也同樣在i目標(biāo)市場上獲利潤最大。

三類價(jià)格歧視

受Pigou（1920）的影響，價(jià)格歧視通常被分為三類。一級價(jià)格歧視是完全的價(jià)格歧視，即生產(chǎn)者成功地獲取了全部的消費(fèi)者剩余。在現(xiàn)實(shí)中，完全的一級價(jià)格歧視其實(shí)不大可能發(fā)生，要么是因?yàn)樘桌拇嬖?，要么是因?yàn)殛P(guān)于個(gè)人偏好的不完全信息，因?yàn)樾枰a(chǎn)者確切地知道每個(gè)消費(fèi)者的保留價(jià)格（reservation price）。在關(guān)于個(gè)人偏好的信息不完全的情況下，生產(chǎn)者可通過自我選擇機(jī)制來實(shí)現(xiàn)對消費(fèi)者剩余的占有，這叫二級價(jià)格歧視。另外，生產(chǎn)者也可能觀察到某些與消費(fèi)者偏好相關(guān)的信號（例如年齡、職業(yè)、所在地等），并利用這些信號進(jìn)行價(jià)格歧視，這叫做三級價(jià)格歧視。

（一）完全價(jià)格歧視

假定每個(gè)消費(fèi)者對于一種商品有一個(gè)他愿意支付的價(jià)格v，壟斷者通過令價(jià)格p=v進(jìn)行定價(jià)，可以獲取全部的消費(fèi)者剩余。假定市場上的n個(gè)消費(fèi)者對于壟斷者的產(chǎn)品都有相同的需求，即q＝D（p）/n。

（二）二級價(jià)格歧視

假定壟斷者面對的是由異質(zhì)的消費(fèi)者構(gòu)成的需求。如果壟斷者知道每個(gè)消費(fèi)者的口味，一般而言，他就可以為消費(fèi)者提供個(gè)人化的消費(fèi)包或者消費(fèi)組合（價(jià)格和數(shù)量、價(jià)格和質(zhì)量等），從而就能夠達(dá)到完全的歧視。但是，假定壟斷者不能把消費(fèi)者區(qū)分開來。特別地，假定沒有關(guān)于每個(gè)消費(fèi)者需求函數(shù)的外在信號。他可以提供一個(gè)可供選擇的消費(fèi)組合菜單。但是這樣做的時(shí)候，他必須考慮到個(gè)人套利的可能性，即作為某一特定的消費(fèi)組合設(shè)計(jì)對象的消費(fèi)者也許會希望選擇針對另一個(gè)消費(fèi)者設(shè)計(jì)的消費(fèi)組合。這就引出了“自我選擇”或“激勵(lì)相容”約束，這些約束一般說來會使完全價(jià)格歧視成為不可能。因此，有必要選擇二部定價(jià)這種通常都不是最優(yōu)的定價(jià)策略。

（三）三級價(jià)格歧視

假定壟斷者以C（q）的總成本生產(chǎn)一種單產(chǎn)品，并且他能夠通過某些“外生的”信息把總需求分成m個(gè)“群體”或“市場”。這m個(gè)群體有m個(gè)可以區(qū)分的向下傾斜的產(chǎn)品需求曲線。壟斷者知道這些需求曲線。因此，壟斷者為每一個(gè)群體制定了一個(gè)線性價(jià)格。令{p1，…，pi，…，pm}代表不同市場上的價(jià)格，并且令{q1=D1(p1)…代表需求數(shù)量。令代表總需求。壟斷者通過選擇價(jià)格來最大化他的利潤。相對的價(jià)格成本差額率由逆彈性法則給出：對于所有的i，有，式中為第i個(gè)市場的需求彈性。

二部定價(jià)數(shù)學(xué)模型

二部定價(jià)(T(q)=A+pq)提供了一個(gè)位于直線上的消費(fèi)組合菜單。與代表純線性定價(jià)的直線不同的是，這條直線不經(jīng)過原點(diǎn)。二部定價(jià)在實(shí)踐中應(yīng)用普遍。二部收費(fèi)的主要吸引力在于它的簡單性。對二部定價(jià)進(jìn)行比較分析。假定消費(fèi)者具有如下偏好：

式中，V(0)=0，V`(q)>0；V``(q)<0（即在此效用函數(shù)中，消費(fèi)的邊際效用遞減）；θ是一個(gè)口味參數(shù)，它隨消費(fèi)者不同而不同；V(q)對所有消費(fèi)者均相同。這些偏好可以通過對商品的相同偏好再加上不同的收入加以解釋。假定所有消費(fèi)者都有偏好U(I-T)+V(q)即偏好在凈收入(I-T)和數(shù)量上可分，其中U`>0，U``<0，V(0)=0，V`>0，且V``<0。那么如果在商品上支付的貨幣額相對于初始收入是很小的（T

假定有兩類消費(fèi)者?？谖秴?shù)為θ1的消費(fèi)者比例為λ；口味參數(shù)為θ2的消費(fèi)者比例為1-λ（在固定邊際成本的情況下，消費(fèi)者的絕對數(shù)并不重要，因而可以標(biāo)準(zhǔn)化為1）。假定θ2>θ1，且壟斷者以固定邊際成本θ2>θ1>c進(jìn)行生產(chǎn)。為簡化計(jì)算，假定，從而V`(q)=1-q是數(shù)量的線性函數(shù)。

本文將依次考慮下述情形：完全歧視情形、統(tǒng)一的非歧視壟斷定價(jià)情形以及二部定價(jià)情形。首先來計(jì)算θi類的消費(fèi)者在面臨邊際價(jià)格p時(shí)的需求函數(shù)。消費(fèi)者最大化{θiV(q)-pq}，這將導(dǎo)出（一階條件）θiV`(q)=p，對于本文所設(shè)定的偏好，即θi(1-q)=p。因而需求函數(shù)為：

凈消費(fèi)者剩余為：

Si(p)=θiV(Di(p))-pDi(p)（忽略了任何可能的固定費(fèi)用）

在此特例中：

令θ代表θ1和θ2的“調(diào)和平均數(shù)”：

那么在價(jià)格p上的總需求就可寫成：

（一）完全價(jià)格歧視

假定壟斷者能夠?qū)οM(fèi)者進(jìn)行區(qū)分，也就是說，他能夠直接觀測到θi。那么，該壟斷者就可以判定一個(gè)邊際價(jià)格p1=c，并且索要一個(gè)個(gè)人化的固定費(fèi)用，該費(fèi)用等于每個(gè)消費(fèi)者在價(jià)格c上的凈剩余。對于第i類（i＝1，2）消費(fèi)者來說，固定費(fèi)用為：

那么，高需求的消費(fèi)者支付的固定費(fèi)用也更高。壟斷者的利潤為：

（二）壟斷價(jià)格

假定在消費(fèi)者之間存在充分的套利，使得壟斷者被迫制定一個(gè)完全線性的價(jià)格：T(q)=pq。壟斷價(jià)格p2將最大化(p-c)D(p)，其中D(p)為總需求，可得D(p)=1-p/θ。因而，壟斷價(jià)格為壟斷利潤為

（三）二部定價(jià)

假定邊際價(jià)格為p。能使θ1類消費(fèi)者仍然購買商品的最高固定費(fèi)用為A=S1(p)。此時(shí)，θ2類的消費(fèi)者將會購買。因?yàn)镾2(P)>S1(p)=A，因而壟斷者最大化S1(p)+(p-c)D(p)。在最優(yōu)二部定價(jià)下，壟斷者的狀況至少要和完全線性定價(jià)時(shí)一樣好。因?yàn)樵谧儎永麧?p-c)D(p)之外，他還增加了從兩類消費(fèi)者那里獲得的固定費(fèi)用S1(p)。通過簡單的計(jì)算可得出

結(jié)論

本文對于價(jià)格模型的描述是在沒有考慮產(chǎn)品間的差異的前提下進(jìn)行的，在這種條件下，初始產(chǎn)權(quán)和定價(jià)主權(quán)并不明晰。但是如果存在交易成本，市場制度有可能改變甚至刪除部分產(chǎn)權(quán)束，產(chǎn)權(quán)所有者定價(jià)主權(quán)就有可能被削弱或者轉(zhuǎn)移。此時(shí)產(chǎn)權(quán)初始狀態(tài)和價(jià)格如何決定就與價(jià)格決定了什么一樣重要。制度本身也可以看作一種用來節(jié)約交易成本的“資本品”（趙燕青，2007）。設(shè)計(jì)制度同樣要投入成本，參與競爭并獲得利潤。因此當(dāng)存在交易成本和差異時(shí)，本文提出的產(chǎn)品定價(jià)模型同樣可以作為分析的基本工具。

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