指數(shù)為1的半正定線性系統(tǒng)迭代方法的收斂性

崔艷星 王川龍

（1.長(zhǎng)治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長(zhǎng)治046011；2.太原師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 太原030012）

0 引言

奇異的半正定系統(tǒng)有廣泛而重要的應(yīng)用.例如求解具有Neumann邊界條件線性彈性方程組，廣義有限元方法產(chǎn)生的代數(shù)系統(tǒng)，以及Markov chain模型等方面.有很多關(guān)于半正定線性系統(tǒng)迭代方法的收斂性的文章，也給出了半正定系統(tǒng)的收斂條件，其中最有影響的是Keller[1]給出的P－正則條件.Keller指出在該條件下線性系統(tǒng)收斂的充要條件是系數(shù)矩陣對(duì)稱(chēng)半正定.Lee[2]給出了奇異的半正定系統(tǒng)收斂的新條件，并且舉例說(shuō)明P－正則條件或弱正則條件都不是奇異的半正定系統(tǒng)收斂的必要條件.

我們來(lái)考慮下面的線性方程組的求解問(wèn)題

奇異.

一般采用迭代法求解該線性方程組，令A(yù)＝M－N，且M可逆.則（1）可以寫(xiě)成如下的等式:

對(duì)于上述的固定迭代方法，Keller給出了下面的收斂定理:

定理1[1]A是n階奇異對(duì)稱(chēng)矩陣，A＝M－N是P－正則分裂，則迭代方法（2）收斂到（1）的一個(gè)解當(dāng)且僅當(dāng)A對(duì)稱(chēng)半正定.

A的指數(shù)是使得rank（Ak）＝rank（Ak＋1）最小非負(fù)整數(shù)k，或者是A的零特征值的最大Jordan塊的維數(shù).如果M不可逆且index（M）＝1，我們?cè)冢?）中用Mg換掉M－1，得到下面的迭代格式:

Mg代表M的群逆（定義2）.

在本文中我們只考慮對(duì)稱(chēng)半正定矩陣A的指數(shù)是1的情形下迭代格式（3）的收斂性.在第二部分中我們主要介紹群逆，商收斂，半范數(shù)收斂的概念.還將介紹半范數(shù)收斂，商收斂的簡(jiǎn)單性質(zhì).第三部分主要討論第二部分提出的幾個(gè)收斂性之間的關(guān)系，以及半范數(shù)收斂的一些新結(jié)果.第四部分主要學(xué)習(xí)對(duì)稱(chēng)半正定系統(tǒng)的收斂性，以及給出本文的主要結(jié)論.

1 基本概念

在本文中，用Rn，Rn×n分別表示n維實(shí)向量空間和n階實(shí)矩陣空間，AT，N（A），R（A）分別表示A的轉(zhuǎn)置，A的零空間和A的值域.

定義1[3]169A∈Rn×n，index（A）＝k，則存在X∈Rn×n使得

X稱(chēng)為A的Drazin逆，記為X＝Ad.特別地，如果k＝1，X稱(chēng)為A的群逆，記為X＝Ag.

如果A可逆，則顯然index（A）＝0，而且Ad＝A－1.

定義2[5]8設(shè)A是n階對(duì)稱(chēng)半正定矩陣，T是n階矩陣，x∈Rn，令

顯然它是向量x的一個(gè)半范數(shù)，而再令

是矩陣T的一個(gè)半范數(shù).

定義3[2]如果迭代格式（3）中‖I－MgA‖A＜1，則迭代格式（3）稱(chēng)為半范數(shù)收斂.

如果index（A）＝1，則P＝AgA是R（A）上的斜投影，x＊＊＝Agb是指數(shù)為1的相容線性系統(tǒng)的一個(gè)解，而且x＊＊＝Agb是唯一的最小S－范數(shù)解[6].

定義4[6]已知index（A）＝1，設(shè)P＝AgA，如果對(duì)于?x∈Rn由迭代格式（3）產(chǎn)生的迭代序列｛Pxk｝收斂到解x＊＊＝Agb，（k→∞）.那么迭代格式（3）稱(chēng)為商收斂.

2 幾個(gè)收斂性之間的關(guān)系

我們來(lái)討論半范數(shù)收斂與收斂的關(guān)系，為了說(shuō)明他們的關(guān)系我們先來(lái)介紹下面的引理以及推論.

引理1[7]如果index（M）＝1，那么迭代格式（3）收斂與商收斂等價(jià).

推論1[7]迭代格式（3）收斂當(dāng)且僅當(dāng)

下面的兩個(gè)定理使我們這部分的主要結(jié)果.

定理2 已知A半正定，如果迭代格式（3）半范數(shù)收斂，那么它一定收斂.

證明 設(shè)x＊＊＝Agb，則迭代格式（3）可改寫(xiě)為:

其中T＝I－MgA.

如果‖T‖A＜1，那么有下面的等式成立:

迭代格式（3）的半范數(shù)收斂可以得到下面有用的性質(zhì):

定理3 已知A半正定，如果迭代格式（3）半范數(shù)收斂，那么有下面的等式成立:

證明 首先證明第二個(gè)等式，顯然N（MgA）?N（MMgA），而如果MMgAx＝0，等式兩邊同時(shí)乘以Mg，那么得到MgAx＝0，所以N（MgA）?N（MMgA），所以有:

下面證明第一個(gè)等式，假設(shè)N（A）≠N（MgA），而N（A）?N（MgA），一定存在x0≠0，使得Ax0≠0，而MgAx0＝0，這就使得，這與迭代格式（3）半范數(shù)收斂矛盾，所以有:

證畢.

顯然，MMgA＝A是等式（7）成立的充分條件.

3 半范數(shù)收斂的新條件

在這一部分中我們討論對(duì)稱(chēng)半正定相容線性系統(tǒng)的半范數(shù)收斂性的等價(jià)條件，即迭代格式（3）的半范數(shù)收斂的充要條件.

定理4[8]A是n階對(duì)稱(chēng)正半定矩陣，則迭代格式（2）半范數(shù)收斂當(dāng)且僅當(dāng)M＋MT－A在R（M－1A）正定.

在文獻(xiàn)[2]中舉出一個(gè)精致的例子，說(shuō)明條件P－正則分裂[1]，以及弱－正則條件[4]都不是（3）收斂的必要條件，這就促使我們尋找異于P－正則分裂的條件.

定理5 如果A半正定，且MMgA＝A成立，M＋MT－A在R（MgA）上對(duì)稱(chēng)正定當(dāng)且僅當(dāng):

成立.

證明

從（9）式易知MgAx≠0時(shí)，（（M＋MT＋A）MgAx，MgAx）＞0當(dāng)且僅當(dāng)（8）成立.

定理5中的條件顯然比定理1中的P－正則條件弱，如果M可逆，那么MMgA＝A總是成立的，那么定理的條件就退化為定理4中的P－正則條件.

定理6 如果A半正定，且MgA＝A成立，則迭代格式（3）的半范數(shù)收斂當(dāng)且僅當(dāng)M＋MT－A在R（MgA）上對(duì)稱(chēng)正定當(dāng)且僅當(dāng)（8）成立.

證明

所以迭代格式（3）的半范數(shù)收斂當(dāng)且僅當(dāng)M＋MT－A在R（MgA）上對(duì)稱(chēng)正定或等價(jià)的（8）成立.

定理7MMgA＝A成立當(dāng)且僅當(dāng)R（A）?R（M）成立當(dāng)且僅當(dāng)N（MT）?N（A）成立.

證明 后一個(gè)等價(jià)條件顯然成立.

設(shè)MMgA＝A，則（Mg）TMT＝A，所以N（MT）?N（A）成立.

反過(guò)來(lái)，由于MMgM＝M，而R（A）?R（M），所以MMgy＝y(tǒng)，y∈R（A）?R（M），即:MgA＝A，證畢.

最后我們舉一個(gè)條件MMgA＝A滿足，但是（8）不滿足的例子.

例 令

給出A的一個(gè)分裂A＝M－N，其中

則經(jīng)過(guò)計(jì)算:

條件（8）不滿足，而TTAT＝A，所以迭代不是半范數(shù)收斂的.

對(duì)于正定系統(tǒng)各種迭代格式收斂性的研究有很多經(jīng)典的結(jié)果，但是對(duì)于半正定系統(tǒng)的收斂會(huì)相對(duì)復(fù)雜一些.比如對(duì)于迭代格式（3）是否有更加簡(jiǎn)潔的關(guān)于半范數(shù)的等價(jià)條件，以及多分裂算法[8]的半范數(shù)收斂性，都值得進(jìn)一步學(xué)習(xí).

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