電偶極子二項(xiàng)式展開的近似場(chǎng)解分析

張興坊，劉超，張健

(棗莊學(xué)院 光電工程學(xué)院，山東 棗莊 277160)

0 引言

電偶極子是空間中兩個(gè)相距很近的等量異號(hào)點(diǎn)電荷所組成的帶電體系，是電磁場(chǎng)理論中的一個(gè)理想物理模型，在電介質(zhì)極化、天線輻射等方面有著重要應(yīng)用. 文獻(xiàn)中處理電偶極子空間場(chǎng)強(qiáng)問題時(shí)，大多僅計(jì)算電偶極軸線延長(zhǎng)線或中垂線等特殊方向的電場(chǎng)［1］，對(duì)于一般方向的場(chǎng)強(qiáng)計(jì)算，需將正負(fù)點(diǎn)電荷激發(fā)的空間場(chǎng)強(qiáng)矢量分解合成后，才得到形式復(fù)雜的場(chǎng)解，但結(jié)果有時(shí)不易理解.為此，文獻(xiàn)中?？紤]電偶極子的遠(yuǎn)場(chǎng)解，通過簡(jiǎn)化，形象直觀的展現(xiàn)電偶極子場(chǎng)強(qiáng)的空間分布形式，定性的突出電偶極子的物理概念. 但是，文獻(xiàn)中的“遠(yuǎn)場(chǎng)”概念僅指出是遠(yuǎn)離電偶極子區(qū)域的場(chǎng)，并沒有對(duì)“遠(yuǎn)”給予定量的解釋，而且簡(jiǎn)化過程中的高階小量對(duì)實(shí)際場(chǎng)的影響程度也較少分析. 本文利用二項(xiàng)式定理對(duì)電偶極子空間場(chǎng)強(qiáng)解析解多極展開，分別就展開式中的各次項(xiàng)以及遠(yuǎn)場(chǎng)解等與空間實(shí)際場(chǎng)強(qiáng)的區(qū)別進(jìn)行討論，并比較了在空間不同角度的場(chǎng)強(qiáng)誤差程度.

1 理論模型

電偶極子的理論模型如圖1 所示.電偶極子中兩個(gè)點(diǎn)電荷間的距離為d，坐標(biāo)原點(diǎn)O置于電荷連線中心處，電偶極軸與z軸重合，P為空間中任意一點(diǎn)，到原點(diǎn)、正負(fù)電荷的距離分別為r、r1和r2，θ 為OP與z軸間的夾角，代表了場(chǎng)點(diǎn)在空間中的不同方位.

圖1 電偶極子理論模型Fig.1 The theorerical model of electric dipole

空間中場(chǎng)點(diǎn)P的場(chǎng)強(qiáng)解析解表達(dá)式為［2］

當(dāng)d ＜r時(shí)，應(yīng)用二項(xiàng)式公式［3］將(1)式括號(hào)中的分母部分分別展開，可得階數(shù)的不同分別表示為零次項(xiàng)，一次項(xiàng)、二次項(xiàng)等.當(dāng)只取場(chǎng)強(qiáng)多項(xiàng)式

將(2)式和(3)式代入(1)式后，可得一個(gè)由多項(xiàng)式表示的場(chǎng)強(qiáng)公式.按照中的前2 項(xiàng)(零次項(xiàng)和一次項(xiàng))并考慮d ＜＜r時(shí)，可得

式中，P = ezqd為電偶極矩.(4)式即為常見的電偶極子遠(yuǎn)場(chǎng)解形式.一般來說，取的展開式項(xiàng)數(shù)越多，所得到的電偶極子場(chǎng)越精確.

2 數(shù)值模擬與分析

首先分析電偶極遠(yuǎn)場(chǎng)解和取場(chǎng)強(qiáng)多項(xiàng)式前2 項(xiàng)時(shí)的近似解與實(shí)際場(chǎng)解間的差別.圖2(a － c)分別給出了場(chǎng)點(diǎn)P在不同角度(θ=0、θ=π/4、θ=π/2)時(shí)，利用遠(yuǎn)場(chǎng)解和場(chǎng)強(qiáng)多項(xiàng)式前2 項(xiàng)得到的場(chǎng)強(qiáng)度與實(shí)際場(chǎng)的比值隨空間距離的變化情況.由圖2(a)可以看出，在d/r =2 時(shí)，遠(yuǎn)場(chǎng)解為實(shí)際場(chǎng)強(qiáng)的88%，誤差達(dá)12%，而利用多項(xiàng)式前2 項(xiàng)得到的近似場(chǎng)強(qiáng)更接近于實(shí)際場(chǎng)強(qiáng)，達(dá)到92%，存在約8%的誤差，并且隨著距離(d/r)的增大，兩種方式得到的場(chǎng)強(qiáng)逐漸接近實(shí)際場(chǎng)強(qiáng)，在d/r =10 時(shí)，已基本分辨不出差別.多項(xiàng)式前2項(xiàng)的近似解比遠(yuǎn)場(chǎng)解大，這是因?yàn)?，遠(yuǎn)場(chǎng)解考慮d ＜＜r后，比近似解少了d2/4r(2) 項(xiàng)，但隨著距離的增大，兩個(gè)解之間的差別逐漸減小，當(dāng)d/r =10 時(shí)，都非常接近實(shí)際場(chǎng)，在精度要求不高的應(yīng)用情形時(shí)，遠(yuǎn)離電偶極子10 倍距離的區(qū)域已經(jīng)是“遠(yuǎn)”距離.而從圖2(b)可以看出，偶極遠(yuǎn)場(chǎng)解比多項(xiàng)式近似解更接近于實(shí)際場(chǎng)強(qiáng)，幾乎從d/r =2 時(shí)就與實(shí)際場(chǎng)強(qiáng)無區(qū)別，而多項(xiàng)式解在此時(shí)卻有2%的差別，并且隨著距離的增大，在d/r =10時(shí)才與實(shí)際場(chǎng)差別較小.從圖2(c)可以看出，多項(xiàng)式近似解卻又更接近于實(shí)際場(chǎng)強(qiáng)，從d/r =3 時(shí)與實(shí)際場(chǎng)強(qiáng)無區(qū)別，而偶極遠(yuǎn)場(chǎng)此時(shí)約有10%的差別，并且隨著距離的增大，約在d/r =10 時(shí)才基本與實(shí)際場(chǎng)區(qū)分不大.

從圖2 可以得出，隨著場(chǎng)點(diǎn)角度的不同，利用多項(xiàng)式前2 項(xiàng)得到的近似場(chǎng)和偶極遠(yuǎn)場(chǎng)解與實(shí)際場(chǎng)強(qiáng)的差別也不同.隨著角度(0＜θ＜π/2)的增大，前者是先誤差大后精確度高，而后者則是先誤差大再精確高然后又誤差大.但在精度要求不高的情況下，在d/r =10 時(shí)，兩者得到的場(chǎng)與實(shí)際場(chǎng)差別很小.

圖2 當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)處于不同角度時(shí)，利用電偶極遠(yuǎn)場(chǎng)形式和場(chǎng)強(qiáng)多項(xiàng)式前2 項(xiàng)得到的場(chǎng)強(qiáng)度與解析解的比值(分別以虛線和實(shí)線表示)隨距離的演化情況. (a)θ = 0，(b)θ =π/4，(c)θ = π/2Fig.2 The rations of the solutions from far field form and polgnomial form to analytic form (represented by soid and dashed lines)as a funcrin of electrie point distance with the point in different angles (a)θ = 0，(b)θ = π/4，(c)θ = π/2

為了進(jìn)一步分析多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)對(duì)于精確度的影響.圖3 給出了在0 角度時(shí)，利用多項(xiàng)式前幾項(xiàng)得到的近似場(chǎng)強(qiáng)與實(shí)際場(chǎng)強(qiáng)的比值隨距離的變化.可以看出，取的多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)不同，得到的場(chǎng)強(qiáng)精確度也不同.當(dāng)取前3 項(xiàng)時(shí)，精度反而比前2 項(xiàng)更差，即使在d/r =10 時(shí)，仍有5%的區(qū)別;但當(dāng)取前4 項(xiàng)時(shí)，精度又提高，即使是在d/r =2 時(shí)，精度也已經(jīng)達(dá)到5%，且隨著距離的增大，精確迅速提高，在d/r =4 時(shí)，已基本與實(shí)際場(chǎng)無差別;但當(dāng)取前5 項(xiàng)時(shí)，精度又減小，但與取前3 項(xiàng)得到的近似場(chǎng)誤差減小程度相比，此時(shí)在d/r =6時(shí)，已基本與實(shí)際場(chǎng)相當(dāng);當(dāng)取前6 項(xiàng)時(shí)，精度又提高，且在d/r =3 時(shí)近似等于實(shí)際場(chǎng).由此得出，當(dāng)取場(chǎng)強(qiáng)多項(xiàng)式的偶數(shù)項(xiàng)時(shí)，近似場(chǎng)的精度隨著項(xiàng)數(shù)的增加越來越提高，而取基數(shù)項(xiàng)時(shí)，得到的近似場(chǎng)精度不高，但隨著項(xiàng)數(shù)的增多，誤差快速減小，基本在d/r =5 時(shí)近似場(chǎng)約等于實(shí)際場(chǎng).

圖3 在θ = 0 時(shí)，取場(chǎng)強(qiáng)多項(xiàng)式不同項(xiàng)數(shù)的近似場(chǎng)強(qiáng)隨距離的變化Fig.3 The approximate field intensity from the different number of polynomial terms as a function of distances with θ = 0

圖4 和圖5 分別給出了場(chǎng)點(diǎn)在θ=π/4 和θ=π/2 時(shí)，利用多項(xiàng)式前幾項(xiàng)得到的場(chǎng)強(qiáng)與實(shí)際場(chǎng)強(qiáng)的比值隨距離的變化情況.從圖4 可看出，與取多項(xiàng)式的基數(shù)項(xiàng)相比，取場(chǎng)強(qiáng)多項(xiàng)式的偶數(shù)項(xiàng)得到的近似場(chǎng)精度更高.與圖3 項(xiàng)比較，均是除了前3 項(xiàng)得到的近似場(chǎng)誤差稍外，其它近似場(chǎng)解均隨著項(xiàng)數(shù)的增加精確越來越高，誤差快速減小.由圖5 看出，隨著多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)的增加，近似場(chǎng)精度單調(diào)提高，取前3 項(xiàng)時(shí)，在d/r =3 時(shí)近似場(chǎng)已約等于實(shí)際場(chǎng)，而取前4 項(xiàng)時(shí)，在d/r =2 時(shí)已看不出實(shí)際場(chǎng)與近似場(chǎng)的差別.

圖4 在θ = π/4 時(shí)，取場(chǎng)強(qiáng)多項(xiàng)式不同項(xiàng)數(shù)的近似場(chǎng)強(qiáng)隨距離的變化Fig.4 The approximate field intensity from the different number of polynomial terms as a function of distances with θ = π/4

圖5 在θ = π/2 時(shí)，取場(chǎng)強(qiáng)多項(xiàng)式不同項(xiàng)數(shù)的近似場(chǎng)強(qiáng)隨距離的變化Fig.5 The approximate field intensity from the different mumber of polynomial terms as a functiom of distances withθ = π/2

3 結(jié)論

利用電偶極子空間場(chǎng)強(qiáng)解析式的多極展開，分析了遠(yuǎn)場(chǎng)解與場(chǎng)強(qiáng)多項(xiàng)式解得到的近似場(chǎng)與實(shí)際場(chǎng)的誤差程度.表明隨著空間場(chǎng)點(diǎn)角度(0＜θ＜π/2)的增加，前者是先誤差大再精確高然后再誤差大，而后者則是先誤差大后精確度高，在精度要求不高的情況下，在d/r =10 時(shí)，兩者得到的場(chǎng)均與實(shí)際場(chǎng)差別很小.而場(chǎng)強(qiáng)多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)的增加對(duì)空間場(chǎng)強(qiáng)精度的影響卻不同，在θ=0 和θ=π/4 時(shí)，當(dāng)取場(chǎng)強(qiáng)多項(xiàng)式的偶數(shù)項(xiàng)時(shí)，近似場(chǎng)的精度隨著項(xiàng)數(shù)的增加越來越提高，而取基數(shù)項(xiàng)時(shí)，得到的近似場(chǎng)精度不高，但隨著項(xiàng)數(shù)的增多，誤差快速減小，基本在d/r =5 時(shí)近似場(chǎng)約等于實(shí)際場(chǎng);而當(dāng)θ=π/2 時(shí)，近似場(chǎng)精度隨著多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)的增加單調(diào)快速提高，在d/r =3 時(shí)近似場(chǎng)已約等于實(shí)際場(chǎng).

［1］趙凱華，陳熙謀. 電磁學(xué)［M］. 北京:高等教育出版社，2006.

［2］謝處方，饒克謹(jǐn). 電磁場(chǎng)與電磁波［M］. 北京:高等教育出版社，2011.

［3］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編. 高等數(shù)學(xué)(上)［M］. 北京:高等教育出版社，2007.