函數(shù)連續(xù)的一種新定義

李同榮，崔文艷

(濱州學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系，山東 濱州 256603)

0 引言

在研究復(fù)雜函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，通常采用的思路是利用已知性質(zhì)的簡(jiǎn)單函數(shù)在局部近似代替待研究函數(shù)，通過(guò)簡(jiǎn)單函數(shù)的性質(zhì)來(lái)得到待研究函數(shù)的某些性質(zhì).這種用函數(shù)在局部的近似值來(lái)代替真實(shí)值引起的誤差稱為方法誤差［1］.解決方法誤差的途徑就是需要對(duì)近似函數(shù)進(jìn)行不斷地修正.如果函數(shù)f(x)在某個(gè)小區(qū)間(a，b) 上有定義，選擇一個(gè)函數(shù)g(x)在(a，b) 上來(lái)近似代替，這時(shí)就會(huì)得到一個(gè)誤差函數(shù)g(x)－ f(x).這樣在衡量選擇的函數(shù)g(x)是否能滿足需要時(shí)，只需在(a，b) 上考慮誤差函數(shù)g(x)－ f(x)的絕對(duì)值是否能達(dá)到足夠小，以滿足允許的精度.

基于上述思想，本文通過(guò)定義誤差允許函數(shù)引入函數(shù)連續(xù)的新定義，新定義的給出既豐富了無(wú)痛微積分理論，同時(shí)也為高等數(shù)學(xué)教學(xué)提供新的參考.

1 主要結(jié)論

定義1 如果對(duì)于絕對(duì)值足夠小的h，ε(h)≥0 能達(dá)到任意要求的精度，即ε(h)≤指定的精度，則稱ε(h)為誤差允許函數(shù).

定義2 (函數(shù)連續(xù)的新定義)設(shè)函數(shù)y = f(x)在(a，b) 上有定義，x∈(a，b) ，如果f(x)對(duì)于絕對(duì)值足夠小的h，滿足一致不等式

其中ε(h)表示誤差允許函數(shù)，則稱f(x)在x點(diǎn)連續(xù).

為了研究方便，一般可選擇| h|的冪函數(shù)作為誤差允許函數(shù)，例如令ε(h)= C| h|，這里C為大于零的某一常數(shù).類似地，可定義函數(shù)在某一點(diǎn)左連續(xù)和右連續(xù).

定義3 設(shè)函數(shù)y = f(x)在[x，b)(或(a，x])上有定義，如果f(x)對(duì)于絕對(duì)值足夠小的h≥0(或h≤0)，滿足一致不等式

其中ε(h)表示誤差允許函數(shù)，則稱f(x)在x點(diǎn)右(或左)連續(xù).

連續(xù)的幾何意義 對(duì)于函數(shù)f(x)，如果用與x + h接近的點(diǎn)x的函數(shù)值f(x)近似代替f(x + h)，如果x與x + h足夠接近，產(chǎn)生的誤差就可以控制在規(guī)定的范圍之內(nèi).

證明首先，對(duì)于任意指定的精度ε，滿足絕對(duì)值足夠小的h，有

其中α(h)為h→0 時(shí)的無(wú)窮小量，則對(duì)于任意指定的正數(shù)ε(h)(精度)，存在h，使得| h |足夠小時(shí)，

定理2【2－3】函數(shù)f(x)在點(diǎn)x處連續(xù)的充要條件是f(x)在點(diǎn)x處既左連續(xù)又右連續(xù).

證明 由定義2，3 便得.

2 例題

例1【4】證明y = sinx在x處連續(xù).

所以，由定義2 可知，結(jié)論成立.

所以，由定義2 可知結(jié)論成立.

例3 證明y = ax(a ＞1)在x =0 處連續(xù).

證明 當(dāng)h足夠小，不妨設(shè)，當(dāng)h ＞0 時(shí)，一定存在正整數(shù)n，使得，此時(shí)

當(dāng)h ＜0 時(shí)，有－ h ＞0，所以，a－h(huán) ＞a0=1，此時(shí)

由上邊的推導(dǎo)可知

當(dāng)h =0 時(shí)顯然成立.

由此，對(duì)于絕對(duì)值足夠小的h，成立一致不等式

由定義2 可知，結(jié)論成立.

3 連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系

文獻(xiàn)［5，6］中依據(jù)誤差理論曾給出微分的初等定義，下面依據(jù)連續(xù)的新定義給出連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系.

定義4 設(shè)函數(shù)y = f(x)在(a，b) 上有定義，x∈(a，b) ，如果f(x)滿足一致不等式

則稱f′(x)為函數(shù)f(x)在x點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).

如果說(shuō)連續(xù)的定義可看作零次多項(xiàng)式的近似，那么可導(dǎo)的定義可看作用一次函數(shù)f(x)+f′(x)h來(lái)近似f(x +h)的值.這里，不妨看作是對(duì)零次近似產(chǎn)生的誤差的進(jìn)一步修正.當(dāng)然，在一定條件下，這種修正可以繼續(xù)下去，因此函數(shù)在某一點(diǎn)的n階泰勒展開(kāi)式可以看做用n次多項(xiàng)式函數(shù)近似的結(jié)果.

定理3 函數(shù)f(x)在x處可導(dǎo)?函數(shù)f(x)在x處連續(xù).

證明由f(x)在x處可導(dǎo)，即可知

所以

由定義2 可知，函數(shù)f(x)在x處連續(xù).

［1］費(fèi)業(yè)泰.誤差理論與數(shù)據(jù)處理［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2005.

［2］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)［M］.北京:高等教育出版社，2006.

［3］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析［M］.北京:高等教育出版社，2002.

［4］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)［M］.北京:高等教育出版社，2011.

［5］林群.微積分快餐［M］.北京:科學(xué)出版社，2009.

［6］林群.寫(xiě)給高中生的微積分［M］.北京:人民教育出版社，2010.