結(jié)合稀疏逼近的正則化方法求解非齊次雙調(diào)和方程的Cauchy問題

◆劉曉宇

(重慶工商大學(xué)融智學(xué)院)

一、引言

二維雙調(diào)和方程在很多實(shí)際問題中需要用到。但是實(shí)際的工程應(yīng)用中，已知的邊界條件可能不完整或者不準(zhǔn)確，這樣的問題就是反問題，一般來說反問題是不適定的。本文研究的Cauchy問題就是一種反問題，因而在求解過程中，用基本解方法得到的最小二乘問題的解是不唯一的，需要通過使用正則化方法提高原問題數(shù)值求解的準(zhǔn)確度。

用基本解方法求解齊次雙調(diào)和方程會(huì)導(dǎo)致離散的Cauchy問題的線性方程不是滿秩的或是超定的，其解的適定性存在問題，故本文將使用稀疏逼近的正則化方法來求解離散方程組，以避免直接求解非齊次方程時(shí)會(huì)出現(xiàn)的不確定性。

傳統(tǒng)的Tikhonov正則化方法是將線性反問題

重新表示為

并選擇二次罰項(xiàng)，以使得近似解具有光滑性。本文選擇的稀疏逼近正則化方法，即Φ(x)=x1，同時(shí)借助稀疏逼近的優(yōu)勢(shì)，在減少結(jié)點(diǎn)數(shù)目的同時(shí)，仍得到較好的結(jié)果。

本文還考慮到給定的邊界數(shù)據(jù)有擾動(dòng)，即有噪聲的情況下的數(shù)值方法的穩(wěn)定性。

二、問題的數(shù)學(xué)表述

二維開區(qū)域Ω∈R2上的非齊次雙調(diào)和寫為:

或表示成兩個(gè)Possion方程:

若該問題有解，則在求解過程中會(huì)出現(xiàn)病態(tài)的線性方程組，方程組不滿秩或者是超定的且條件數(shù)很大。本文使用結(jié)合稀疏逼近的正則化方法的邊界結(jié)點(diǎn)法求解滿足邊界條件(5)的雙調(diào)和方程(3)或(4)。

三、結(jié)合稀疏逼近正則化方法的邊界結(jié)點(diǎn)法

方程(3)的解可以寫為:

up(Χ)和uh(Χ)分別是方程的特解和通解。up(Χ)滿足

但是，它不一定滿足邊界條件。而通解uh(Χ)滿足:

以及邊界條件(5)

(一)求非齊次雙調(diào)和方程的特解

邊界結(jié)點(diǎn)法中，非齊次方程(5)的特解近似表示為［3］:

(二)求非齊次雙調(diào)和方程的通解

本文用Laplace方程的基本解和雙調(diào)和方程的基本解的線性組合來近似表示非齊次雙調(diào)和方程的通解。Laplace方程的基本解是G1(X，Y)，雙

則齊次方程(8)的解uh(Χ)由基本解的線性組合近似表示。

其中，L是源點(diǎn)數(shù)，{ cj}和 { dj}是待定系數(shù)，{ Yj}是源點(diǎn)，X是邊界點(diǎn)。uh(Χ)滿足給定邊界條件(9)，(10)［3］。為求解待定系數(shù)，在已知邊界條件的部分邊界 Γ1上選取 n個(gè)結(jié)點(diǎn) Xi，當(dāng) X=Xi，(i=1，2，...，n)時(shí)，我們得到uh(Χ)所滿足的邊界條件構(gòu)成的方程組Aλ=b，這個(gè)方程組的系數(shù)矩陣一般不是方陣，因此將求解該線性方程組轉(zhuǎn)化為如下極小值問題:

其中，||·|| 是2- 范數(shù)，λ =(c1，c2，...，cL，d1，d2，...，dL)Τ是待定系數(shù)向量。系數(shù)矩陣A和已知的邊界條件向量b分別為:

由于本文研究的問題是不適定的，為了得到較為準(zhǔn)確的結(jié)果，本文使用稀疏逼近方法結(jié)合最小二乘方法來求解極值問題(14)。

由于測(cè)量只能得到近似的邊界條件，故在給定的邊界數(shù)據(jù)有噪聲的情況下求解極值問題(14)變?yōu)榍蠼馊缦碌淖钚《藛栴}

(三)稀疏逼近正則化

最小二乘問題(14)中的系數(shù)矩陣A是4n×2L矩陣。為得到最小二乘問題的解，假設(shè)4n≥2L。本文問題轉(zhuǎn)變?yōu)槿缦滦问?

這里，T是一個(gè)正實(shí)數(shù)。利用［1］中所提到lasso算法，其全稱是leastabsoluteshrinkageandselectionoperator。其想法可以用如下的最優(yōu)化問題來表述:

在限制了mλinλ1的情況下，求使得殘差平方和

b-Aλ22達(dá)到最小的回歸系數(shù)的估值。

lasso算法的步驟如下［6］:

μ——當(dāng)前最小角度方向，即角平分線方向y^——當(dāng)前擬合的y值

當(dāng)邊界數(shù)據(jù)有噪聲作用時(shí)，邊界條件向量b變?yōu)閎，且設(shè)b=b(1+e%)，此時(shí)同樣用上述算法可以求出待定系數(shù)，并得到最后的近似解。

四、數(shù)值算例

本節(jié)算例驗(yàn)證第2、3節(jié)所分析的邊界結(jié)點(diǎn)法，以及它應(yīng)用于求解非齊次雙調(diào)和方程Cauchy問題的有效性和結(jié)果關(guān)于數(shù)據(jù)噪聲的穩(wěn)定性。本文定義u(an)i和ui分別為未知邊界上第i(i=1，2，...，n)個(gè)結(jié)點(diǎn)處的精確解和數(shù)值解。

圖1:在噪度e分別為e=0% ，e=1% ，e=3% 和e=5% 時(shí)Γ2上結(jié)點(diǎn)處的u(X)，結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為n=30。該圖表明計(jì)算結(jié)果與精確解是吻合的，且隨噪聲的減小呈收斂趨勢(shì)。

五、總結(jié)

本文使用稀疏逼近正則化方法結(jié)合邊界結(jié)點(diǎn)法求解非齊次雙調(diào)和方程的Cauchy問題，從數(shù)值試驗(yàn)的結(jié)果可以看出，這是可行的。并且從以上算例中可以看出，在對(duì)源點(diǎn)數(shù)、結(jié)點(diǎn)數(shù)和內(nèi)點(diǎn)數(shù)的關(guān)系，以及源點(diǎn)到邊界的距離作［3］中的要求的情況下，計(jì)算結(jié)果與［3］類似，但是精度更高。結(jié)果是較準(zhǔn)確的，且在該范圍內(nèi)，誤差非常小，即使所取點(diǎn)數(shù)較多，計(jì)算時(shí)間仍然較少。當(dāng)邊界條件有較小噪聲時(shí)，計(jì)算結(jié)果仍然是穩(wěn)定的，且隨噪聲的減小而收斂。

［1］Stephen J.Wright，Robert D，Sparse Reconstruction by Separable Approximation，IEEE Transactions on Signal Processing，2009.2479.

［2］祝家麟.邊界元分析.科學(xué)出版社，2009.

［3］劉曉宇，王小軍，杜亞楠.用邊界結(jié)點(diǎn)法(BKM)求解非齊次雙調(diào)和方程的 Cauchy問題，2009，(11):154-166.

［4］W.Chen and M.Tanaka，New Insights in Boundary-only and Domain-type RBF Methods，Int J Nonlinear Sci Numer Simul，2000，1(3):145-52.

［5］Xiaolin Li and Jialin Zhu，The method of fundamental solutions for nonlinear elliptic problems，Engineering Analysis with Boundary Elements，2008，(10):1016.

［6］Robert Tibshirani.Regression shrinkage and selection via the lasso，Journal Royal Statostical Society B，1996(58):267-288.