拓?fù)浣^緣體表面臺(tái)階勢(shì)壘的輸運(yùn)性質(zhì)

王愛坤，王 惠，穆惠英，安興濤

(1.河北科技大學(xué)理學(xué)院，河北石家莊 050018；2.河北化工醫(yī)藥職業(yè)技術(shù)學(xué)院化工系，河北石家莊 050026)

拓?fù)浣^緣體因?yàn)榫哂刑厥獾哪軒ЫY(jié)構(gòu)和電子性質(zhì)[1]，近年來(lái)引起了人們廣泛的關(guān)注和極大的興趣。拓?fù)浣^緣體是一種不同于金屬和絕緣體的新的量子物質(zhì)態(tài)，其時(shí)間反演不變性更是受到人們的關(guān)注。三維拓?fù)浣^緣體的表面是個(gè)二維體系，有奇數(shù)個(gè)狄拉克點(diǎn)，在這些狄拉克點(diǎn)附近，電子的行為類似于無(wú)質(zhì)量狄拉克費(fèi)米子，遵守狄拉克方程[2-3]。這種無(wú)質(zhì)量的狄拉克費(fèi)米子具有線性色散關(guān)系，引起了非常奇特的量子輸運(yùn)現(xiàn)象，比如克萊因隧穿[4]——電子在垂直入射情況下穿過(guò)勢(shì)壘可達(dá)到完全透射。正是由于這些迷人的重要特征，使拓?fù)浣^緣體在未來(lái)的電子技術(shù)發(fā)展中有著巨大的應(yīng)用潛力，所以研究拓?fù)浣^緣體表面態(tài)的輸運(yùn)性質(zhì)成為了人們目前關(guān)注的焦點(diǎn)。

近幾年來(lái)，人們研究了拓?fù)浣^緣體表面上單勢(shì)壘、雙勢(shì)壘和多勢(shì)壘的電子輸運(yùn)性質(zhì)。GAO等研究了拓?fù)浣^緣體表面上單壘和雙壘的隧穿性質(zhì)，他們發(fā)現(xiàn)可以調(diào)節(jié)克萊因隧穿，甚至可以阻止克萊因隧穿，這些特殊的性質(zhì)使控制“拓?fù)浣饘佟敝械碾娮邮兂闪丝赡躘4]。在他們研究的基礎(chǔ)上，像電子準(zhǔn)直器、波矢濾波器、電磁開關(guān)等新興器件都可以制作出來(lái)。ZHANG等在周期變化的磁場(chǎng)下研究了三維拓?fù)浣^緣體表面上狄拉克電子的輸運(yùn)性質(zhì)，當(dāng)勢(shì)壘中磁場(chǎng)方向平行時(shí)，狄拉克點(diǎn)可以移動(dòng)；而當(dāng)勢(shì)壘中磁場(chǎng)方向逆平行時(shí)，狄拉克點(diǎn)的位置不變[5]。另外，YOKOYAMA等研究了拓?fù)浣^緣體表面鐵磁體的輸運(yùn)性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)電導(dǎo)取決于2個(gè)鐵磁體的磁場(chǎng)方向，磁場(chǎng)方向平行時(shí)的電導(dǎo)比磁場(chǎng)方向逆平行時(shí)的電導(dǎo)要小得多[6]。通過(guò)人們的不斷研究，拓?fù)浣^緣體表面態(tài)的性質(zhì)一一被發(fā)現(xiàn)，但是拓?fù)浣^緣體表面上的臺(tái)階勢(shì)壘會(huì)對(duì)電子輸運(yùn)性質(zhì)有什么影響還未見報(bào)道。

本文利用傳遞矩陣?yán)碚揫7-10]研究了三維拓?fù)浣^緣體表面上的臺(tái)階勢(shì)壘的輸運(yùn)性質(zhì)，通過(guò)調(diào)整臺(tái)階勢(shì)壘的高度來(lái)研究拓?fù)浣^緣體表面的隧穿性質(zhì)，并計(jì)算臺(tái)階勢(shì)壘的透射概率和電導(dǎo)[11-18]。研究中發(fā)現(xiàn)：當(dāng)電子垂直入射勢(shì)壘時(shí)，會(huì)出現(xiàn)全透射，這就是克萊因隧穿，但是無(wú)論勢(shì)壘的高度如何，克萊因隧穿出現(xiàn)的位置是不變的。另外，隨著費(fèi)米能級(jí)的變化，電導(dǎo)有復(fù)雜的振蕩行為并出現(xiàn)了共振隧穿現(xiàn)象；而隨著臺(tái)階勢(shì)壘高低勢(shì)能差的變化，電導(dǎo)出現(xiàn)了開關(guān)效應(yīng)，那么就可以通過(guò)調(diào)節(jié)費(fèi)米能級(jí)和臺(tái)階勢(shì)壘高低勢(shì)能差來(lái)控制電導(dǎo)。這些研究不僅對(duì)理解材料的基本性質(zhì)是至關(guān)重要的，而且對(duì)新器件的設(shè)計(jì)和發(fā)展有著重要的意義。

1 模型和方法

選取的模型是拓?fù)浣^緣體表面上的臺(tái)階勢(shì)壘，選取(x,y)平面代表拓?fù)浣^緣體表面。為了簡(jiǎn)化，假設(shè)將臺(tái)階勢(shì)壘分成2個(gè)高度不同的勢(shì)壘，而2個(gè)勢(shì)壘的寬度同為a，這樣就將拓?fù)浣^緣體表面分成4個(gè)區(qū)域，如圖1所示，各個(gè)區(qū)域的勢(shì)能可以表示為

圖1 拓?fù)浣^緣體表面臺(tái)階勢(shì)壘的示意圖Fig.1 Schematic diagram of the step barrier on the surface of a topological insulator

(1)

考慮拓?fù)浣^緣體表面中的單電子近似法，可由靜態(tài)無(wú)質(zhì)量狄拉克方程表示為

(vFσP+Vxσ0)Ψ=EΨ。

(2)

式中：費(fèi)米速度vF≈0.86×106ms-1；σ是泡利矩陣；P=(px,py)是電子動(dòng)量；σ0是一個(gè)2×2的單位矩陣。

因?yàn)樵诒灸Ｐ椭?，系統(tǒng)沿y方向是均勻的，所以橫向波矢ky是守恒的。對(duì)于給定的入射能E，式(2)的解為

(3)

式中kx是縱向波矢，滿足

(4)

根據(jù)波函數(shù)在邊界的連續(xù)性，可知x=0時(shí)，Ψ1|x=0=Ψ2|x=0，即

(5)

利用傳遞矩陣方法可得

(6)

所以

(7)

x=a時(shí)，Ψ2|x=a=Ψ3|x=a,即

可得

(8)

所以

(9)

x=2a時(shí)，Ψ3|x=2a=Ψ4|x=2a，即

可得

(10)

所以

(11)

因此，總的傳遞矩陣為

Ts=T3T2T1。

(12)

勢(shì)壘的反射系數(shù)和透射系數(shù)滿足式(13)所示的方程：

(13)

最后可得透射概率為

T=|t|2。

(14)

根據(jù)Landauer-Bwttiker公式，系統(tǒng)的電導(dǎo)可以寫成

(15)

圖2 電子穿過(guò)臺(tái)階勢(shì)壘的透射概率隨入射角的變化關(guān)系Fig.2 Transmission probability of electrons through the step barrier as the function of the incident angle

式中：Ly?2a是y方向的長(zhǎng)度；φ=arccos(kx/EF)，是x方向的入射角；G0=2e2EFLy/(πh)，用它來(lái)作電導(dǎo)的單位。

2 結(jié)果和分析

在下面的數(shù)值計(jì)算中，取所有的參數(shù)為無(wú)量綱參數(shù)：以a=50 nm作為長(zhǎng)度的單位，E0=hvF/a作為能量的單位(E0≈16．6 meV)，取圖1中區(qū)域2和區(qū)域3的寬度為1，而且取臺(tái)階勢(shì)壘低勢(shì)能(U2=15E0)為固定值，而高勢(shì)能U3是變化的，高低勢(shì)能的電勢(shì)差表示為dv=U3-U2。圖2給出的是透射概率隨入射角的變化關(guān)系，其中入射能E=10E0。

從圖2可以看到，無(wú)論臺(tái)階勢(shì)壘的高勢(shì)能U3怎樣變化，當(dāng)電子垂直入射時(shí)，都會(huì)出現(xiàn)全透射，這就是克萊因隧穿，而且透射概率的曲線關(guān)于入射角是對(duì)稱的。研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)臺(tái)階勢(shì)壘的低勢(shì)能U3=20E0時(shí)，曲線除了電子垂直入射時(shí)出現(xiàn)的克萊因隧穿點(diǎn)之外，又在-0.13π和0.13π處附近出現(xiàn)了2個(gè)克萊因隧穿點(diǎn)。此外，隨著臺(tái)階勢(shì)壘高勢(shì)能U3的增大，這2個(gè)克萊因隧穿點(diǎn)不會(huì)再出現(xiàn)，而且它們的位置在逐漸地下降。這是因?yàn)楫?dāng)臺(tái)階勢(shì)壘高勢(shì)能U3變得極大時(shí)，臺(tái)階勢(shì)壘低勢(shì)能U2對(duì)電子隧穿的影響就會(huì)變得極小，幾乎可以忽略不計(jì)，其結(jié)果相當(dāng)于電子直接穿過(guò)單勢(shì)壘。

圖3 拓?fù)浣^緣體表面臺(tái)階勢(shì)壘中電導(dǎo)隨費(fèi)米能級(jí)的變化關(guān)系 (U2=15E0)Fig.3 Conductivity as a function of the Fermi energy for the step barrier on the surface of a topological insulator (U2=15E0)

拓?fù)浣^緣體表面臺(tái)階勢(shì)壘中電導(dǎo)隨費(fèi)米能級(jí)的變化關(guān)系如圖3所示。從圖3可以看出，當(dāng)費(fèi)米能級(jí)小于臺(tái)階勢(shì)壘低勢(shì)能時(shí)，電導(dǎo)曲線隨著費(fèi)米能級(jí)的變化復(fù)雜地振蕩，出現(xiàn)了共振隧穿效應(yīng)，這時(shí)費(fèi)米能級(jí)比較小，電子要穿過(guò)整個(gè)勢(shì)壘，致使電導(dǎo)很大，甚至最大達(dá)到2G0；當(dāng)費(fèi)米能級(jí)與臺(tái)階中2個(gè)勢(shì)壘的勢(shì)能相等時(shí)，電導(dǎo)曲線形成低谷，均取得最小值，這樣就可以通過(guò)調(diào)整費(fèi)米能級(jí)的值來(lái)控制電導(dǎo)；當(dāng)費(fèi)米能級(jí)大于臺(tái)階勢(shì)壘高勢(shì)能時(shí)，電導(dǎo)曲線是隨著費(fèi)米能級(jí)的增加而增加的。在臺(tái)階勢(shì)壘的高低勢(shì)差值不斷變化的情況下，勢(shì)壘U2是固定的，費(fèi)米能級(jí)等于臺(tái)階勢(shì)壘的低勢(shì)壘的勢(shì)能時(shí)，電導(dǎo)G的值是相同的；而隨著臺(tái)階勢(shì)壘的高低勢(shì)差值的增加，費(fèi)米能級(jí)等于高勢(shì)能處電導(dǎo)G的值是減小的。

圖4 拓?fù)浣^緣體表面臺(tái)階勢(shì)壘中電導(dǎo)隨高低勢(shì)能差的變化關(guān)系(U2=15E0)Fig.4 Conductivity as a function of the difference of the step barrier on the surface of a topological insulator(U2=15E0)

圖4給出了拓?fù)浣^緣體表面臺(tái)階勢(shì)壘中電導(dǎo)隨高低勢(shì)能差的變化關(guān)系。從圖4可以看出，電導(dǎo)G是隨著高低勢(shì)的差值小幅度平緩地振蕩，卻在dv=(EF-U2)處形成低谷，并達(dá)到最小值，而這個(gè)最小值隨著費(fèi)米能級(jí)向右移動(dòng)，這就形成了開關(guān)效應(yīng)，所以可以通過(guò)調(diào)節(jié)臺(tái)階勢(shì)壘的高低勢(shì)能差來(lái)控制電導(dǎo)。

3 結(jié) 語(yǔ)

通過(guò)傳遞矩陣的方法研究了拓?fù)浣^緣體表面上臺(tái)階勢(shì)壘的透射概率和電導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)了透射概率與臺(tái)階勢(shì)壘的靜電勢(shì)有直接關(guān)系，而且在拓?fù)浣^緣體表面存在克萊因隧穿，但是無(wú)論臺(tái)階勢(shì)壘的靜電勢(shì)怎樣變化，克萊因隧穿出現(xiàn)的位置是不變的。另外，隨著費(fèi)米能級(jí)的變化，電導(dǎo)有復(fù)雜的振蕩行為并出現(xiàn)了共振隧穿現(xiàn)象；而隨著臺(tái)階勢(shì)壘高低勢(shì)能差的變化，電導(dǎo)出現(xiàn)了開關(guān)效應(yīng)，所以可以通過(guò)調(diào)節(jié)費(fèi)米能級(jí)和臺(tái)階勢(shì)壘高低勢(shì)能差來(lái)控制電導(dǎo)。

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