多線性位勢型算子的一類加權不等式

郭景芳， 王會敏， 滑軍麗

(1.河北科技大學理學院，河北石家莊 050018；2.河北師范大學數學與信息科學學院， 河北石家莊 050024)

設Φ是Rn上的非負局部可積函數，滿足下面弱增長條件：存在常數δ,c>0,0≤ε<1,使得對所有k∈Z有

(1)

對可測函數f，定義位勢型算子TΦ：

對于Φ滿足條件(1)的位勢型算子ΤΦ，Pérez給出了強型(p,q)雙權不等式成立的充分條件[1]。

下面給出與Young函數有關的一些基本概念及記號，詳見文獻[3]。如果B：[0，∞)→[0,∞)為凸的遞增連續(xù)函數，滿足B(0)=0,B(t)→∞,t→∞,則稱B為Young函數。

給定一個Young函數B,Q為Rn中的方體，定義f在Q上的平均Luxemburg范數為

(2)

本文主要用到的Young函數是B(t)=t(1+log+t)δ,δ>0。對于這個Young函數，本文表示f在方體Q上的Luxemburg范數為‖f‖L(logL)δ,Q,Orlicz極大函數為ML(logL)δf。

1 幾個引理

為得到本文的主要定理，先給出幾個引理。

引理1[2]設Φ為滿足條件(1)的非負局部可積函數，令f和g為具緊支集的非負有界函數，μ是非負且緊支集上有限的測度，令a>2n則存在一列方體{Qk,j}和一列互不相交的子集{Ek,j},Ek,j?Qk,j,使

(3)

對所有k,j成立，且

(4)

(5)

證明本文利用不等式(4)及v∈RH∞,其中g=w,dμ(x)=v(x)dx:

由{Ek,j}的性質，有v(Qk,j)≤Cv(Ek,j),又由于集族{Ek,j}互不相交且Ek,j?Qk,j有：

引理3[4]令g為使Mg a.e有限的任一函數，則(Mg)-α∈RH∞,α>0。

2 主要結論

1)若0

(6)

成立；

2)若p>1,則對任意的權函數w，存在常數C使得：

(7)

成立。

證明首先證明0

其中對任意δ>0，本文用到了Lebsgue微分定理。由于文獻[6]有下列結論：若w∈A1,則w-1∈RH∞;若w∈RH∞,則wλ∈RH∞,λ>0。本文對權M(gδ)-1/δ用引理2和引理3,繼續(xù)不等式

那么只需證明‖M(gδ)-1/δ‖Lp′(w)≥‖g-1‖Lp′(Mw),因為p′<0，這等價于證明

但若選擇0<δ

1,由Fefferman和Stein的經典加權不等式[7-10]:

立即可得式(6)。

當p=1時由引理2(v≡1)即可得式(6)成立。

下面證明p>1的情形。

首先證明下面的不等式成立，

(8)

由p=1得：

由一般H?lder不等式,對于適當的Young函數Ψ待定，繼續(xù)不等式

所以有式(7)成立。此時定理1證完。

參考文獻/References：

[1] PéREZ C. Two weighted inequalities for potential and fractional type maximal operrtors[J]. Indiana Univ Math J, 1994， 43: 663-683.

[2] LI Wenming. Two-weight norm inequalitioes for multilinear potential type integral operators[J]. Math Nachr,2008, 281: 839-846.

[3] BENNETT C,SHARPPLET R. Interpolation of Operators[M]. Boston:Academic Press,1988.

[4] CRUZ-URIBE D, NEUGEBAUER C J. The styucture of the reverse classess[J]. Trans Amer Math Soc,1995, 347: 2 941-2 960.

[5] CARRO M J, PéREZ C,SORIA F,et al. Maximal funtions and the control of weighted inequalities for the fractional integral operators[J].Indiana Univ Math J,2005, 54: 627-644.

[6] PéREZ C,WHEEDEN R. Potential operators,maximal functions, and generalizations ofA∞[J].Potential Anal,2003, 19: 1-33.

[7] FEFFERMAN C,STEIN E M. Some maximal inequalities[J].Amer J Math,1971, 93: 107-115.

[8] MOEN K.Weighted inequalities for multilinear fractional integral operators[J]. Collect Math, 2009, 60(2): 213-216.

[9] LI Wenming. Two-weight norm inequalitioes for commutators of potential type integral[J]. Math J Anal,2006, 322: 1 215-1 223.

[10] YAN Xuefang, XUE Limei, LI Wenming. Weighted endpoint estimates for commutators of multilinear fractional integral operators[J]. Czech Math J, 2012, 62: 347-359.