從經(jīng)典物理推導(dǎo)愛因斯坦質(zhì)能方程

李繼軍

(長江大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，湖北荊州 434023)

1905年，愛因斯坦利用相對性原理和光速不變原理通過一個思想實(shí)驗(yàn)得到質(zhì)能方程[1]，它已被實(shí)驗(yàn)所證明。一些文章和教材在考慮到碰撞和狹義相對論假設(shè)的前提下，通常利用能量守恒定理推導(dǎo)質(zhì)能方程[2-7]。狹義相對論在質(zhì)量和能量之間建立了一座橋梁，卻在相對論物理學(xué)和經(jīng)典物理學(xué)之間制造了一條單向車道，相對論物理學(xué)在近似條件下可以得到經(jīng)典物理學(xué)中的定理，經(jīng)典物理學(xué)卻沒有道路通往相對論物理學(xué)。筆者采用與通用教材不同的方法，在相對性原理之下，通過經(jīng)典物理學(xué)中的規(guī)律給出2種推導(dǎo)質(zhì)能方程的方法。

1 推導(dǎo)過程

假設(shè)有2個慣性系S，S′的x和x′軸重合，y和y′軸互相平行，z和z′軸互相平行，且S′系沿x-x′軸相對于S系以速度u做勻速直線運(yùn)動。

(1)

在笛卡爾坐標(biāo)系中用分量形式表示為

Fx=q(Ex+vyBz-vzBy),

(2a)

Fy=q(Ey+vzBx-vxBz),

(2b)

Fz=q(Ez+vxBy-vyBx)。

(2c)

根據(jù)相對性原理，在S′系中，該粒子所受到的洛倫茲力的數(shù)學(xué)形式是不變的。

(3a)

(3b)

(3c)

(4)

將此式與式(3a)相比較，為了保證洛倫茲力的形式在S′系中也是正確的，則有

(5)

(6a)

(6b)

(7a)

(7b)

(7c)

根據(jù)相對性原理，只要將u換成-u即可得到從S′到S的速度變換公式:

(8a)

(8b)

(6c)

利用式(6a)-式(6c)，可以構(gòu)建一組相對論等式:

(9a)

(9b)

(9c)

(9d)

在S系中，粒子q具有的動量在笛卡爾坐標(biāo)系中的分量形式為

px=mvx,

(10a)

py=mvy,

(10b)

pz=mvz,

(10c)

根據(jù)相對性原理，在S′系中，粒子q具有的動量在笛卡爾坐標(biāo)系中的分量形式為

(11a)

(11b)

(11c)

(12a)

(12b)

式中k是一個未知的比例常數(shù)。

同理也有關(guān)系式:

(13a)

(13b)

m′=γm0。

(14a)

這個結(jié)果說明在S系中的觀察者測量到的靜止質(zhì)量為m0，在S′系中的觀察者測量的質(zhì)量為m′。

m=γm0,

(14b)

也就是說S′系中的觀察者測量到的靜止質(zhì)量為m0，在S系中的觀察者測量的質(zhì)量為m。結(jié)合式(10b)、式(11b)和式(6a),可以得到y(tǒng)軸方向的動量變換式:

(13c)

同理可得z軸方向的變換式:

(13d)

(15a)

(15b)

(15c)

(15d)

(16)

式(16)左邊第1項(xiàng)的平方根即是能量：

E=γm0c2=mc2，

此式即相對論能量，這說明改變質(zhì)量就會改變能量，反之亦然。至此，式(16)可以寫為

(17)

此式即是相對論中動量和能量的關(guān)系。

將式(15a)和式(15b)兩邊同時乘以c2即可得到包含動量和能量的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

E′=γ(E-upx),

(18a)

(18b)

動能T是相對論總能量和靜止能量之差：

2 結(jié) 論

沒有使用洛倫茲變換推導(dǎo)質(zhì)能方程，而是通過相對性原理，利用經(jīng)典物理學(xué)中的洛倫茲力公式在不同慣性系中數(shù)學(xué)形式的不變性推導(dǎo)出愛因斯坦質(zhì)能方程。因此，不通過思想實(shí)驗(yàn)和狹義相對論假設(shè)也可以獲得愛因斯坦方程。

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