具有變號非線性項的脈沖微分方程邊值問題的正解

江衛(wèi)華， 張 強， 郭巍巍

(河北科技大學(xué)理學(xué)院，河北石家莊 050018)

脈沖微分方程在經(jīng)濟、生物、生態(tài)學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1-3]，考慮到其影響，很多學(xué)者常將微分方程邊值問題推廣到脈沖微分方程上去，通過運用錐拉伸與錐壓縮不動點定理、Leray-Schauder不動點定理、不動點指數(shù)理論等方法，得到了脈沖微分方程邊值問題解的存在性[4-21]。

在文獻[4]中，AGARWAL等利用非線性的Leray-Schauder不動點定理和Krasnoselskii's不動點定理得到了二階脈沖微分方程邊值問題：

至少存在1個解和2個解的充分條件。

在文獻[5]中，AGARWAL等又利用Legget-Williams不動點定理得出了脈沖微分方程邊值問題

至少存在3個正解的充分條件。

在文獻[6]中，李高山等運用錐拉伸與錐壓縮不動點定理，得到了帶有變號非線性項的二階三點微分方程邊值問題：

其中α,η∈(0,1)，至少1個正解的充分條件。

對于具有變號非線性項一階導(dǎo)帶脈沖的微分方程邊值問題還沒有人研究，應(yīng)用文獻[28]中的方法，筆者考慮下面脈沖微分方程邊值問題：

(1)

定義空間：PC[0,1]={u:[0,1]→R,u(0)=u(0+0),存在uj∈C[tj,tj+1],使得在(tj,tj+1]有u=uj,j=0,1,…m)}。范數(shù)為‖u‖=sup{|u(t)|:t∈[0,1]{t1,t2,…,tm}},其中t0=0，tm=1。

定義1u∈PC[0,1]是邊值問題(1)的正解，當(dāng)且僅當(dāng)u>0且滿足邊值問題(1)。

在本文中，總是假設(shè)以下條件是成立的：

C1)f∈C([0,1]×R+，R),存在M>0，使得對于(t,u)∈[0,1]×R，有f(t,u)≥-M；

C2)Ik,Jk:R+→R是連續(xù)的，k=1,2,…,m；

C3)存在一個函數(shù)Ω:{u:u∈PC[0,1],u>0}→R+和一個正的常數(shù)c0∈(0,1)使得

c0Ω(u)≤ω0(t,u)≤Ω(u)，

其中：

下面的定義及定理是本文的關(guān)鍵所在，具體見文獻[28]。

定義2當(dāng)且僅當(dāng)φ:P→R+是連續(xù)的且對于所有的x,y∈P和t∈[0,1]，有

φ(tx+(1-t)y)≥tφ(x)+(1-t)φ(y),

稱映射φ是實Banach空間E中錐P上的一個非負(fù)、連續(xù)、凹函數(shù)。

定義3當(dāng)且僅當(dāng)Φ:P→R+是連續(xù)的且對于所有的x,y∈P和t∈[0,1]，有

Φ(tx+(1-t)y)≤tΦ(x)+(1-t)Φ(y),

稱映射Φ是實Banach空間E中錐P上的一個非負(fù)、連續(xù)、凸函數(shù)。

令φ和Θ是錐P上的非負(fù)、連續(xù)凸函數(shù)，Φ是錐P上的非負(fù)連續(xù)凹函數(shù)，Ψ是錐P上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，定義以下集合：

P(φ,d)={x∈P:φ(x)

P(φ,Φ,b,d)={x∈P:b≤Φ(x),φ(x)≤d}，

P(φ，Θ，Φ,b,c,d)={x∈P:b≤Φ(x),Θ(x)≤c,φ(x)≤d},

R(φ,Ψ，a,d)={x∈P:a≤Ψ(x),φ(x)≤d},

其中a，b，c和d都是正數(shù)。

利用以下Avery-Peterson不動點定理來研究邊值問題(1)。

S1)對于x∈P(φ，Θ,Φ,b,c,d),有{x∈P(φ,Θ,Φ,b,c,d):Φ(x)>b}≠φ和Φ(Tx)>b；

S2)對于x∈P(φ,Φ,b,d)和Θ(Tx)>c，有Φ(Tx)>b；

S3)對于x∈R(φ,Ψ,a,d)和Ψ(x)=a，有0?R(φ,Ψ,a,d)和Ψ(Tx)

1 預(yù)備知識

引理1u是邊值問題(1)的解的充要條件是u滿足積分方程

其中：

k=1,2,…,m, (t,u)∈[0,1]×{u:u∈PC[0,1],u>0}且有c0Ω(u)≤ω01(t,u)≤Ω(u)。

引理2函數(shù)G(t,s)在[0,1]×[0,1]上是連續(xù)的且滿足

ρ0g(s)≤G(t,s)≤g(s)，t,s∈[0,1]，

引理3微分方程邊值問題：

(2)

(3)

(4)

證明如果u是邊值問題(1)的一個正解，由引理3可知u滿足：

(5)

顯然當(dāng)u≥My是算子T的一個不動點，那么u-My是邊值問題(1)的一個正解。

引理5算子T:K→K是全連續(xù)的。

證明取u∈K，顯然Tu∈PC[0,1]。

因為

故T:K→K。

故T(B)是有界的。

令t1，t2∈[0,1]，t1

所以T(B)是等度連續(xù)。因此知算子T:K→K是全連續(xù)的。

2 主要結(jié)果

則邊值問題(1)至少存在2個正解。

下面證明條件S1)成立。

因此條件S1)滿足。

以下證明條件S2)成立。

表明條件S2)滿足。

接下來證明條件S3)成立。

顯然，φ(0)=0

因此，條件S3)也滿足。

由定理2知，算子T至少存在3個正解u1，u2，u3，滿足：‖ui‖≤d,i=1,2,3，并且

如果u∈K且‖u‖≥a，由式(3)和定理2知u(t)≥ρ‖u‖≥ρa≥My(t)。顯然，u2≥a，u1>b>a。所以可得到u1-My,u2-My是邊值問題(1)的2個正解。

3 舉例

考慮下面邊值問題：

(6)

其中：

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