靈敏度分析及實(shí)際應(yīng)用

豆俊梅 谷存昌

[摘要]靈敏度分析主要解決的線性規(guī)劃問題為：系數(shù)在什么范圍之內(nèi)變化時(shí)，不會(huì)影響原先已經(jīng)獲得的最優(yōu)基（也即最優(yōu)解或最優(yōu)解結(jié)構(gòu)不變）。以及如果系數(shù)的變化超出以上范圍，如何再次利用最簡(jiǎn)便的方法在原來最優(yōu)解的基礎(chǔ)上求出新的最優(yōu)解。還有當(dāng)線性規(guī)劃問題增加一個(gè)新的變量或新的約束條件的時(shí)候，如何在原來最優(yōu)解的基礎(chǔ)上求出新的最優(yōu)解。本文將先介紹靈敏度分析各種分類，然后針對(duì)日常生活中的實(shí)例加以分析以研究靈敏度分析的實(shí)際應(yīng)用。

[關(guān)鍵字]靈敏度分析 最優(yōu)解 實(shí)際應(yīng)用

當(dāng)線性規(guī)劃問題中的單個(gè)或多個(gè)系數(shù)發(fā)生變化后，原最優(yōu)解一般會(huì)發(fā)生變化。如果不嫌麻煩的話，可利用單純形法重新計(jì)算進(jìn)而求出新的最優(yōu)解。如此一來便會(huì)加大工作量，從而得不償失。在單純形法迭代時(shí)，每次運(yùn)算都是同基變量的系數(shù)矩陣有關(guān)系，故可將產(chǎn)生變化的個(gè)別系數(shù)進(jìn)行一定計(jì)算后直接填入最終的計(jì)算表，繼而進(jìn)行檢查、分析。對(duì)于各類參數(shù)變化引起的最優(yōu)解變化，情況可分為：資源數(shù)量變化、目標(biāo)函數(shù)中價(jià)值系數(shù) 的變化、技術(shù)系數(shù) 的變化、增加新的約束條件等。本文主要研究的是目標(biāo)函數(shù)中價(jià)值系數(shù) 變化的實(shí)際應(yīng)用。

例 一金屬加工廠可冶煉甲、乙、丙三種金屬，由于市場(chǎng)原因其中甲型金屬將賠本1元、乙型也賠本一元，但丙型金屬可盈利4元，冶煉1單位甲型金屬會(huì)產(chǎn)生1單位原料C，冶煉1單位丙型金屬會(huì)產(chǎn)生1單位材料B，已知生產(chǎn)三種金屬對(duì)原材料的消耗如下表：表2.2-1

如果甲型金屬由于市場(chǎng)原因利潤(rùn)變化σ，試確定σ在哪個(gè)范圍變化時(shí)，最大利潤(rùn)不變？

解：根據(jù)題中相關(guān)條件可將原問題轉(zhuǎn)換為如下線性規(guī)劃問題：

對(duì)上述線性規(guī)劃問題加入松弛變量x4、x5、x6，從而化為如下標(biāo)準(zhǔn)型：

利用單純形法可求出上述線性規(guī)劃問題的最終單純形表：表2.2-2

當(dāng)c`1=c1+σ時(shí)，對(duì)應(yīng)的最終單純形表為：表2.2-3

如需保持最優(yōu)基不變，需要滿足cj-zj≤0（j=1，2，3，4，5），即：

由此可得： -3≤σ≤3時(shí)，最大利潤(rùn)保持不變。

結(jié)論

本文從靈敏度分析的研究背景出發(fā)，首先詳細(xì)闡述了靈敏度分析的重要意義及靈敏度分析的分類，然后對(duì)靈敏度分析問題做出了詳細(xì)的理論分析，并輔以實(shí)例來分析和介紹靈敏度分析在現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際應(yīng)用。

基金項(xiàng)目：河南工業(yè)大學(xué)校級(jí)科研基金項(xiàng)目10XZR010.

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（作者單位：河南工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院 河南鄭州）