基于兩步線性回歸的狀態(tài)空間模型建立與驗證

史志偉，倪芳原，陳永亮

（南京航空航天大學(xué) 航空宇航學(xué)院，江蘇 南京 210016）

0 引 言

對于現(xiàn)代先進(jìn)戰(zhàn)機來說，尋求準(zhǔn)確實用的大迎角非定常氣動力模型，用于動力學(xué)仿真、穩(wěn)定性分析和控制系統(tǒng)設(shè)計，成了眾多專家學(xué)者的研究目標(biāo)。但是目前還未獲得能夠準(zhǔn)確描述戰(zhàn)機上的非定常氣動力，并且可以很方便的應(yīng)用于飛行仿真的數(shù)學(xué)模型。

大迎角非定常氣動力建模主要沿著兩個方向發(fā)展：其一是傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型方法，如代數(shù)模型［1］、階躍響應(yīng)模型、狀態(tài)空間模型［2－4］、微分方程模型［5］等；其二是現(xiàn)代建模方法，即利用新型邊沿學(xué)科研究成果來建立氣動力與飛行狀態(tài)之間的關(guān)系式，如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型［6］、模糊邏輯模型等［7－8］。

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型方法則可看作是“白箱”問題，“白箱”問題是機理分析法建模，即根據(jù)物理背景和機理分析來建立氣動力與飛行狀態(tài)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式。早期的空氣動力學(xué)模型一般近似用某時刻運動變量及其時間導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的泰勒展開，取其線性項來表示。這種近似適用于小迎角附著流的情形，但是如果擴(kuò)展到大迎角時就不再適用了。在早期的空氣動力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，Tobak M和他的同事應(yīng)用階躍函數(shù)方法建立了積分形式的非定常非線性氣動力模型。雖然這種方法十分有效，但是飛行器運動的方程是微分形式的，很難把非定常非線性氣動力的積分模型與飛機運動的微分方程聯(lián)立起來，因此限制了積分模型的廣泛使用。Goman M等人在此基礎(chǔ)上，引入流場狀態(tài)的內(nèi)部變量，把上面的常微分方程組改寫成輸入—狀態(tài)—輸出動態(tài)系統(tǒng)，建立了稱之為狀態(tài)空間表達(dá)的非定常數(shù)學(xué)模型［9－11］。其中內(nèi)部狀態(tài)變量可以只是形式上的表達(dá)，而且可以有明確的物理意義。由于采用矩陣表示，當(dāng)狀態(tài)變量、輸入變量或輸出變量的數(shù)目增加時，并不增加系統(tǒng)描述的復(fù)雜性。國內(nèi)有研究表明狀態(tài)空間法的模型可以反映大迎角非線性非定常氣動特性，并且具備很好的仿真計算、預(yù)測能力。

模糊邏輯與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法則是將氣動力的建立過程看作“黑箱”問題，“黑箱”模型本身作為系統(tǒng)的一種模型，不需要建立有明確表達(dá)式的數(shù)學(xué)模型。這樣建立的模型具有強大的自學(xué)習(xí)功能，能夠?qū)W習(xí)適應(yīng)不確定性系統(tǒng)的動態(tài)特性，同時對于建模參數(shù)的數(shù)量也沒有限制。有研究表明，對于耦合運動的非定常氣動力這種具有多變量參數(shù)的函數(shù)，模糊邏輯原理是很適合于耦合運動的非定常氣動力建模。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在處理多變量、非線性、非定常氣動力問題時也是一種有效的方法。但是這兩個方法的缺點在于非定常氣動力的建模參數(shù)比較多，計算量較大，其建模精度還有待提高。

本文將在三角翼狀態(tài)空間模型的研究基礎(chǔ)上，完成某飛機模型的小振幅風(fēng)洞動態(tài)實驗，計算該飛機模型的“同相”、“反相”導(dǎo)數(shù)，對狀態(tài)空間模型進(jìn)行參數(shù)估計。通過對建模結(jié)果的分析，來討論此狀態(tài)空間模型的適用性。

1 數(shù)學(xué)模型的形式以及模型辨識過程及方法［9－11］

飛機模型在大迎角下的流動特性，很大程度上取決于渦流和渦破碎流，并在此過程中產(chǎn)生了很重要的時間遲滯效應(yīng)［12］。氣動力系數(shù)在物理意義上，可以分解成由不同特征時間常數(shù)的勢流（包含附著流、非破碎渦流）與破碎渦流、完全失速流共同作用的形式。對于所有氣動載荷，這里給出一普遍的形式如下：

其中i＝（x，y，z，l，m，n）為氣動分量，ξ＝（α，β，p，q，，…）T為運動參數(shù)，τatt、τdyn、τFSF分別為勢流、渦破碎和完全失速流的流動調(diào)整過程時間常數(shù)。右端第二項也即渦破碎量可以寫成非線性常微分方程的形式，能夠以更靈活的形式來描述時間常數(shù)：

其中＝t＊V／c為無量綱時間常數(shù)，下文中均直接簡寫為t；kn（α）為m＋1個待估參數(shù)、為在渦流破碎過程中引起的準(zhǔn)定常延遲，（，）實際即為Cidyn的靜態(tài)值ΔCi。

綜合上述研究可知，式（1）、式（2）構(gòu)成了非線性、非定常狀態(tài)空間氣動模型的基本形式。

以某三角翼模型縱向運動的法向力系數(shù)的線性模型為例，來介紹兩步回歸［13］參數(shù)辨識方法的一般過程：

對方程（3）進(jìn)行線性化，可以導(dǎo)出如下形式：

由此可以得到，“同相”和“反相”導(dǎo)數(shù)它們兩者之間的關(guān)系如下：

線性回歸方程（5）可以看作是以“同相”動導(dǎo)數(shù)為自變量、“反相”導(dǎo)數(shù)為因變量的一個線性方程。由第一步線性回歸得到特征時間常數(shù)τ之后，式（4）就可以看作是不同迎角下、估計未知參數(shù)CNαatt、CN˙αatt、ΔCNα的線性回歸方程。通過第二步線性回歸可以得到待估參數(shù)勢流分量CNαatt、CN˙αatt和渦破碎流分量ΔCNα的值；至此，線性回歸方程（3）中的所有未知參數(shù)通過兩步回歸法都得到了其估計值。

圖1、圖2為單獨俯仰運動以及單獨偏航運動情況下，狀態(tài)空間模型的參數(shù)估計值以及縱向建模和航向建模線性（Cimod1）、非線性模型結(jié)果（Cimod3）與實驗數(shù)據(jù)（Ciexp）的對比。圖中Cist為系數(shù)Ci的靜態(tài)值，Ciatt為通過辨識得到的系數(shù)Cist的勢流部分值，Ciexp為系數(shù)Ci的動態(tài)實驗值，ΔCi為通過辨識得到的系數(shù)Cist的渦破碎流部分值，Cidyn為通過求解微分方程得到的系數(shù)Ci的渦破碎流部分值。

圖1 三角翼模型縱向建模線性、非線性模型結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)比較（β＝0°，f＝0.5Hz）Fig.1 The delta wing：comparison of experimental and predicted aerodynamic responses of linear and non－linear pitching unsteady aerodynamic model

圖2 三角翼模型航向建模線性、非線性模型結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)比較（α0＝30°，f＝0.5Hz）Fig.2 The delta wing：comparison of experimental and predicted aerodynamic responses of linear and non－linear yawing unsteady aerodynamic model

2 飛機模型狀態(tài)空間模型建立與研究

對于飛機模型的狀態(tài)空間模型建立，仍引用文獻(xiàn)［9］中的狀態(tài)空間模型方程。并設(shè)計風(fēng)洞小振幅動態(tài)實驗，得到飛機模型作單自由度運動在不同中心迎角下的小振幅實驗數(shù)據(jù)。進(jìn)而推導(dǎo)“同相”和“反相”導(dǎo)數(shù)的計算公式，得到飛機模型在不同迎角，不同頻率下的“同相”和“反相”導(dǎo)數(shù)值。這樣就可以用兩步回歸法來進(jìn)行參數(shù)辨識，得到狀態(tài)空間模型中的所有未知參數(shù)，進(jìn)而得到建模結(jié)果。

2.1 實驗研究

2.1.1 實驗設(shè)備

本文實驗在南京航空航天大學(xué)NH－2低速風(fēng)洞中進(jìn)行的，該風(fēng)洞實驗段口徑為3m×2.5m矩形帶切角。圖3所示為模型支撐機構(gòu)和本文實驗所用的模型。實驗時模型采用尾支撐，并保證模型重心、天平校心、模型旋轉(zhuǎn)中心三心重合。

2.1.2 數(shù)據(jù)采集和處理

風(fēng)洞實驗得到飛機模型作單自由度運動在不同中心迎角下的小振幅實驗數(shù)據(jù)，模型運動規(guī)律為α＝α0－αmcos（2πft），模型運動頻率分別為（0.4，0.5，0.6，0.7）Hz。數(shù)據(jù)采集通過一桿式六分量應(yīng)變天平來實現(xiàn)。由于測量數(shù)據(jù)是在模型作快速往返運動情況下采集得到的，大迎角氣流分離引起的流動不重復(fù)性，以及模型作高頻擺動時的慣性力和氣流分離后非定常渦流引起的結(jié)構(gòu)振動的影響，造成測量數(shù)據(jù)離散性很大，乃至有用的信號淹沒在背景噪聲之中，而無法獲得準(zhǔn)確的測量結(jié)果。因此，除了數(shù)據(jù)采集時采用10Hz低通濾波器外，另外設(shè)計了數(shù)字濾波軟件［14］，以減少實驗數(shù)據(jù)的觀測噪聲。

圖3 動態(tài)實驗臺實驗照片F(xiàn)ig.3 The photo of test apparatus and model

2.2 飛機模型動導(dǎo)數(shù)的計算［15］

在模型的參辨識中，第一步線性回歸需要在不同迎角下的“同相”和“反相”導(dǎo)數(shù)來辨識得到相關(guān)參數(shù)，通過實驗測得飛機模型的小振幅實驗數(shù)據(jù)，可計算得到在不同迎角，不同頻率下的“同相”和“反相”導(dǎo)數(shù)。

根據(jù)小擾動理論以及用實驗法提取動導(dǎo)數(shù)，我們將氣動力寫成（以俯仰力矩Cm為例）：

由于在風(fēng)洞實驗中Δq＝Δ˙α，飛機模型運動規(guī)律滿足：Δα＝－αmcos（kt），由此得到：

對式（7）兩端同時乘以cos（kt）以后進(jìn)行時間平均，得到：

這樣可以通過積分運算得到俯仰運動的“同相”導(dǎo)數(shù)。

同理，對式（7）兩端同時乘以sin（kt）以后進(jìn)行時間平均，得到：

這樣可以通過積分運算得到俯仰運動的“反相”導(dǎo)數(shù)。

下圖為飛機模型在不同迎角、不同頻率下的“同相”和“反相”導(dǎo)數(shù)。

圖4 飛機模型“同相”導(dǎo)數(shù)數(shù)據(jù)Fig.4 In－phase aerodynamic derivatives of aircraft

圖5 飛機模型“反相”導(dǎo)數(shù)數(shù)據(jù)Fig.5 Out－of－phase aerodynamic derivatives of aircraft

2.3 飛機模型建模結(jié)果與分析

在得到飛機模型的“同相”和“反相”導(dǎo)數(shù)值之后，就可以用兩步回歸法來進(jìn)行參數(shù)辨識，得到狀態(tài)空間模型中的所有未知參數(shù)，進(jìn)而得到建模結(jié)果。

圖6為“同相”和“反相”導(dǎo)數(shù)的相互關(guān)系。利用相互關(guān)系，通過第一步線性回歸可得到相應(yīng)的特征時間常數(shù)，再進(jìn)行第二步線性回歸，辨識得到方程中勢流分量和渦破碎流分量的估計值。

圖6 用于第一步線性回歸的飛機模型“同相”導(dǎo)數(shù)和“反相”導(dǎo)數(shù)Fig.6 In－phase and out－of－phase aerodynamic derivatives of aircraft used for first step linear regression

通過兩步線性回歸法，辨識得到了狀態(tài)空間模型的方程中所有的待估參數(shù)值；由線性模型以及非線性模型可以直接求解微分方程，即可求出力矩系數(shù)的Cm的線性模型值以及非線性模型值，見圖7（β＝0°，f＝0.4Hz）。

圖7 縱向俯仰運動建模線性、非線性模型結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)比較Fig.7 Comparison of experimental and predicted aerodynamic responses of linear and non－linear pitching unsteady aerodynamic model

由以上結(jié)果可以看到，線性、非線性模型結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)相比，大體上的趨勢還是吻合的。這說明所采用的模型在一定程度上還是能描述飛機模型的氣動力的非線性特性和非定常遲滯效應(yīng)。但是在數(shù)值上還存在偏差，分析誤差來源可能有：

（1）實驗飛機模型體積和質(zhì)量比較大，在模型作快速往返運動時，結(jié)構(gòu)振動和模型高頻運動時的慣性力等都會對實驗數(shù)據(jù)造成影響。這些影響可能會導(dǎo)致所計算得到的“同相”導(dǎo)數(shù)和“反相”導(dǎo)數(shù)值有一定的誤差，從而影響建模結(jié)果。這就要求在今后的實驗中要選擇體積較小和質(zhì)量較輕的飛機模型。

（2）與三角翼模型的動導(dǎo)數(shù)相比較，飛機模型的動導(dǎo)數(shù)關(guān)于頻率的依賴性更加復(fù)雜。對于這兩個不同的飛機模型，這種差異也是合理的。中等迎角下三角翼前緣不再是附著流動，在機翼前緣產(chǎn)生分離。從前緣產(chǎn)生的分離剪切層，在機翼上表面兩側(cè)被卷起，形成一對反向旋轉(zhuǎn)的穩(wěn)定的前緣渦。而對于具體的飛機模型，不僅在機頭處有前體渦，邊條翼也會產(chǎn)生渦，同時垂尾也會對全機的氣動力有影響。這些渦之間的相互作用，都會使得渦破碎點的位置有很大差異。從狀態(tài)空間模型的物理意義上來考慮，這些差異不僅會導(dǎo)致動導(dǎo)數(shù)的規(guī)律差異，同時可能對于狀態(tài)空間模型的具體表達(dá)形式，也會有影響。這表明目前所用的狀態(tài)空間模型對于三角翼這樣流動結(jié)構(gòu)比較簡單的模型是適用的，但對于復(fù)雜構(gòu)型的飛行器來說，狀態(tài)空間模型的表達(dá)形式還需要進(jìn)一步研究。

3 結(jié) 論

通過研究可以看出，對于三角翼模型，反映大迎角非線性非定常氣動特性的狀態(tài)空間法模型根據(jù)實際的流動物理意義建立，形式也較為簡單，利用小振幅動導(dǎo)數(shù)實驗和線性的狀態(tài)空間法模型計算得到的非定常氣動載荷，就已經(jīng)與實驗值非常接近了，驗證了模型的正確性。通過改進(jìn)模型，利用非線性的狀態(tài)空間模型在大振幅的振蕩實驗中，模型計算的結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)符合的更好，包含了更多非線性特性。

進(jìn)一步考慮復(fù)雜構(gòu)型的飛機模型的狀態(tài)空間模型，由目前所得結(jié)果可知，建模結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)相比仍有誤差，還需進(jìn)一步深入研究。

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