Lindenbaum定理的新證明方法及其應(yīng)用

萬展翔，陳國龍，張 龍 (淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000)

Lindenbaum定理的新證明方法及其應(yīng)用

萬展翔，陳國龍，張 龍 (淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000)

模型論研究形式語言及其解釋(模型)之間的關(guān)系，是形式語言的語法和語義的關(guān)系的理論。模型論的主要方法是構(gòu)造模型。用新的模型論方法得到了幾個(gè)相關(guān)結(jié)論，并且利用得到的結(jié)論證明了模型論中的Lindenbaum定理和高等代數(shù)中向量組極大線性無關(guān)組可以由任何一個(gè)線性無關(guān)組擴(kuò)充的結(jié)論。

模型論方法；和諧理論；Lindenbaum定理；極大線性無關(guān)組

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[1]由L中語句構(gòu)成的任一集合Σ也稱為L中的理論。如果L中每一公式都能由Σ推出，則稱理論Σ是不和諧的，否則稱Σ是和諧的，而L中任何真包括Σ的理論都不再是和諧的，則稱Σ是極大和諧的。

引理1[1](廣義完全性定理) 設(shè)T是L的和諧公式集(理論)，則T是可滿足的，即T有模型。

引理2[2](可靠性定理) 設(shè)T是L的理論，α是一個(gè)語句，若T├α(T推出α)，則T╞α(α在T中是成立的或T滿足α)。

引理3[1](緊致性定理)L中每一個(gè)理論T有模型當(dāng)且僅當(dāng)T的每一有限子集都有模型。

2 相關(guān)結(jié)論

定理1設(shè)T是L的一個(gè)理論，T不和諧當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)語句α，T├α且T├(┐α)(┐α表示非α)。

證明(?)。若T不和諧，顯然有T├α且T├(┐α)。

(?)。設(shè)α是L的一個(gè)語句，且T├α且T├(┐α)。又由于對(duì)L中任意語句β，都有├(┐α)→(α→β)。進(jìn)而有T├α→β，從而進(jìn)一步有T├β。因此，T是不和諧的理論。

推論1設(shè)T是L的一個(gè)理論，如果對(duì)任何自然數(shù)n，T都有元數(shù)大于n的有限模型，則T有無限模型。

推論2設(shè)T是L的和諧理論， 是L的一個(gè)語句，①若T├α，則T∪{α}是L的和諧理論；②若T不能推出α，則T∪{┐α}是L的和諧理論。

證明①因T├α，故有T╞α。又T和諧，故T有模型A，即A╞T，從而A╞α。進(jìn)而有A╞T∪{α}，因此，T∪{α}是L的和諧理論。②假設(shè)T∪{┐α}不和諧，從而T，┐α├α，由演繹定理有，T├(┐α)→α，注意到├(┐α→α)→α，進(jìn)而有T├α這與題設(shè)條件T不能推出α矛盾，證畢。

推論3設(shè)T是L的一個(gè)和諧理論，則T├α當(dāng)且僅當(dāng)T╞α。

證明(?)。由引理2知T├α，則T╞α顯然成立。

(?)。假設(shè)T不能推出 ,因T╞α，由條件知T有模型，且對(duì)T的任一模型A，都有A╞α。又T不能推出α，且T和諧，由推論2知T∪ {┐α}和諧，從而由引理1知T∪ {┐α}有模型B，即B╞T且B╞(┐α)，而由上述討論知B╞α，矛盾。

推論4設(shè)Th(A)={α：A╞α}，A為L的一個(gè)模型，則Th(A)是一個(gè)極大和諧的理論。

證明由已知條件知A╞Th(A)，從而Th(A)是和諧的理論。下證Th(A)的極大性。設(shè)β是L的

一個(gè)語句，且β?Th(A)，即A不滿足β,從而有A╞(┐β)，因此(┐β)∈Th(A)，所以Th(A)∪{β}├(┐β)且Th(A)∪{β}├β。由定理1知，Th(A)∪{β}不和諧，這樣就得到Th(A)是極大和諧理論，證畢。

3 Lindenbaum定理的新證明

下面將用以上得到的結(jié)論巧妙地證明Lindenbaum定理。

定理2[1](Lindenbaum定理)L中每一個(gè)和諧的理論Σ都能擴(kuò)張為一個(gè)極大和諧的理論。

證明設(shè)Σ為L中任一和諧的理論，則由引理1知，Σ有模型A，結(jié)合推論4得，Th(A) ={α：A╞α}為包含Σ的極大和諧理論，證畢。

4 應(yīng)用

定理3[3]向量組α1,α2,…,αn中的任何一個(gè)線性無關(guān)組都可以擴(kuò)充為一個(gè)極大線性無關(guān)組。

證明設(shè)向量組α1,α2,…,αn為L中的語句，設(shè)Σ為L中任意一個(gè)線性無關(guān)的語句所組成的理論。結(jié)合高等代數(shù)知識(shí)，得Σ的每一有限子集都有模型，從而由引理3知，Σ有模型，即A╞Σ。則Th(A) ={α：A╞α}為包含Σ的極大和諧理論，證畢。

[1]王世強(qiáng).模型論基礎(chǔ)[M].北京:科學(xué)出版社, 1987:6-17.

[2]沈復(fù)興.模型論導(dǎo)引[M].北京: 北京師范大學(xué)出版社, 1995:6-18.

[3]何軍華，李永彬.高等代數(shù)[M].北京:高等教育出版社, 2012:117-131.

[編輯] 洪云飛

O141.4

A

1673-1409(2013)22-0017-02

2013-05-12

安徽省高校自然科學(xué)研究重點(diǎn)項(xiàng)目(2005KJZD)。

萬展翔(1988-)，男，碩士生，現(xiàn)主要從事數(shù)理邏輯及應(yīng)用方面的研究工作。