基于矢量和法安全系數(shù)的邊坡穩(wěn)定性分析

何 理，鐘冬望，劉建程，黃小武

（1.武漢科技大學(xué)資源與環(huán)境工程學(xué)院，湖北 武漢，430081；2.武漢科技大學(xué)理學(xué)院，湖北 武漢，430065；3.武漢科技大學(xué)冶金工業(yè)過(guò)程系統(tǒng)科學(xué)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢，430065）

邊坡穩(wěn)定性分析中最重要的概念就是安全系數(shù)，但對(duì)不同的工況或不同的方法所使用安全系數(shù)的定義是不同的。目前求解邊坡安全系數(shù)最常用的方法主要有極限平衡法和有限元強(qiáng)度折減法。極限平衡法雖經(jīng)過(guò)80多年的發(fā)展得到充分完善［1］，但該法只考慮靜力平衡條件和 Mohr－Coulmb準(zhǔn)則，主要有瑞典法、Bishop法、Morgenstern－Price法、Spencer法 和 Sarma法等［2－3］。有限元強(qiáng)度折減法是基于邊坡有限元變形分析和強(qiáng)度儲(chǔ)備安全系數(shù)的穩(wěn)定性分析方法，其對(duì)應(yīng)的安全系數(shù)求解方法有二：一是對(duì)巖體的強(qiáng)度參數(shù)黏聚力c和內(nèi)摩擦角φ按同一折減系數(shù)F進(jìn)行折減，此時(shí)的折減系數(shù)F即為邊坡的穩(wěn)定安全系數(shù)；二是安全系數(shù)定義為沿滑面各點(diǎn)抗滑力與下滑力積分代數(shù)和的比值。極限平衡法與有限元強(qiáng)度折減法均是基于強(qiáng)度儲(chǔ)備概念上的穩(wěn)定性分析方法，但兩種方法計(jì)算內(nèi)力的方式不同，相比之下，有限元強(qiáng)度折減法在用于內(nèi)力計(jì)算時(shí)較為準(zhǔn)確。

通常根據(jù)安全系數(shù)的大小來(lái)評(píng)價(jià)邊坡安全與否，這就涉及安全系數(shù)的定義問(wèn)題。上述所提到的安全系數(shù)的定義存在如下問(wèn)題［4］：①安全系數(shù)定義的物理意義不明確；②巖土體強(qiáng)度參數(shù)黏聚力c和內(nèi)摩擦角φ按同一系數(shù)F進(jìn)行折減不合理，如鄭宏［5－6］、郭明偉［7］等通過(guò)計(jì)算表明，在對(duì)強(qiáng)度參數(shù)進(jìn)行折減的同時(shí)，內(nèi)摩擦角φ與泊松比μ的取值應(yīng)滿足sinφ≥1－2μ；③計(jì)算需要反復(fù)迭代，且計(jì)算量大。針對(duì)安全系數(shù)物理意義不明確、人為假定過(guò)多、不能真實(shí)反映邊坡應(yīng)力狀態(tài)等問(wèn)題，葛修潤(rùn)［8］、郭明偉［9］等提出邊坡矢量和法，并考慮力的矢量特征，得到抗滑穩(wěn)定性安全系數(shù)應(yīng)以力的矢量比來(lái)定義。但上述兩種方法安全系數(shù)定義的物理或力學(xué)意義模糊的根本原因就在于沒(méi)有充分考慮滑動(dòng)的矢量特征。為此，本文針對(duì)極限平衡法與有限元強(qiáng)度折減法計(jì)算邊坡安全系數(shù)時(shí)存在的問(wèn)題，采用矢量和法安全系數(shù)對(duì)某鐵礦采場(chǎng)進(jìn)行邊坡穩(wěn)定性分析，將其計(jì)算結(jié)果與傳統(tǒng)分析法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，并驗(yàn)證了矢量和法計(jì)算安全系數(shù)的合理性與適用性，以期為采用矢量和法安全系數(shù)用于計(jì)算邊坡穩(wěn)定性提供依據(jù)。

1 矢量和法安全系數(shù)

安全系數(shù)最初的定義為：邊坡潛在滑動(dòng)面上總抗滑力∑R與總滑動(dòng)力∑T的比值，即：

邊坡滑面上抗滑力與滑動(dòng)力均為矢量，故式（1）中對(duì)抗滑力與滑動(dòng)力的求和均應(yīng)為矢量和。本文應(yīng)用“矢量和法安全系數(shù)”是建立在力的矢量基礎(chǔ)上的。

1.1 基本假定

假定條件如下：①若研究對(duì)象為二維問(wèn)題，邊坡滑動(dòng)面l已知，則構(gòu)成滑動(dòng)區(qū)域?yàn)镾；②若邊坡荷載及巖土體基本物理力學(xué)參數(shù)已通過(guò)勘探得到，則基于有限元計(jì)算可得到其應(yīng)力分布情況；③滑動(dòng)面上巖土體強(qiáng)度特性服從Mohr－Coulomb屈服準(zhǔn)則；④矢量和法安全系數(shù)F（θ）定義為：沿計(jì)算方向θ，滑動(dòng)面上提供抗滑力的各力沿此方向投影代數(shù)和∑R（θ）與提供滑動(dòng)力的各力沿此方向投影代數(shù)和∑T（θ）的比值：

式中：τf為抗剪強(qiáng)度，Pa；c 為黏聚力，Pa；σ 為法向應(yīng)力，Pa；φ 為內(nèi)摩擦角，（°）。

1.2 安全系數(shù)的計(jì)算

圖1為邊坡安全系數(shù)計(jì)算方向示意圖。由圖1可看出，在邊坡荷載、邊界條件、滑動(dòng)面位置、巖土體的基本物理力學(xué)參數(shù)已知的情況下，采用有限元法計(jì)算可得到滑動(dòng)面上任意一點(diǎn)i在局部坐標(biāo)系x′o′y′下的應(yīng)力為σi和τi，滑動(dòng)面上過(guò)點(diǎn)i的切線與總體坐標(biāo)系x軸正向的夾角為αi。

應(yīng)力的正負(fù)號(hào)按巖土力學(xué)的規(guī)定，角度的正負(fù)規(guī)定為：從x軸正向出發(fā)，沿逆時(shí)針?lè)较虻慕嵌葹檎?，沿順時(shí)針?lè)较虻慕嵌葹樨?fù)，故圖1中的αi為負(fù)。

圖1 邊坡安全系數(shù)計(jì)算方向示意圖Fig.1 Sketch for calculating direction of slope safety coefficient

根據(jù)摩擦理論，邊坡潛在滑動(dòng)面上任意一點(diǎn)i的滑動(dòng)方向應(yīng)沿著該點(diǎn)滑動(dòng)面的切向方向，由修正的粘著理論可知，該點(diǎn)應(yīng)力在滑裂面切向方向的分量τi與Δli的乘積為該點(diǎn)處?kù)o滑動(dòng)摩擦力的大小，該點(diǎn)的滑動(dòng)趨勢(shì)方向與其靜滑動(dòng)摩擦力方向相反。對(duì)于整個(gè)滑體而言，其靜滑動(dòng)摩擦力就是滑動(dòng)面各點(diǎn)處?kù)o滑動(dòng)摩擦力的合力，合力方向的反方向?yàn)檎麄€(gè)滑體的潛在滑動(dòng)趨勢(shì)方向。而矢量和法安全系數(shù)的計(jì)算方向就是滑體的整體滑動(dòng)趨勢(shì)方向，也就是滑動(dòng)面各點(diǎn)處?kù)o滑動(dòng)摩擦力合力方向的反方向，將每點(diǎn)靜摩擦力的合力分別投影到x和y軸后的比值，即得計(jì)算方向與水平線的夾角為

式中：Fxi＝τiΔlicosαi、Fyi＝τiΔlisinαi分別為τiΔli在x軸與y軸上的投影。

1.3 矢量和法安全系數(shù)的計(jì)算

圖2為抗滑穩(wěn)定性分析時(shí)安全系數(shù)求解示意圖。由圖2可看出，以滑動(dòng)面為研究對(duì)象，滑面上一點(diǎn)處的巖土體黏聚力為ci，內(nèi)摩擦角為φi，滑體作用于基巖上的荷載為正應(yīng)力σi和剪應(yīng)力τi，基巖作用在滑體上的反力分別為σ′i和τ′i，它們是一對(duì)大小相等、方向相反的作用力與反作用力。矢量和法安全系數(shù)表達(dá)式的計(jì)算如下：

圖2 安全系數(shù)求解示意圖Fig.2 Sketch for calculating safety coefficient

滑動(dòng)面上的滑動(dòng)力由自重及外荷載引起。在微弧段Δli內(nèi)，將引起滑動(dòng)力的σi和τi分別沿安全系數(shù)計(jì)算方向的反方向的投影有：

滑動(dòng)面上抗滑力由巖土體的黏聚力、摩擦力和基巖對(duì)滑動(dòng)面的法向反力提供。在微弧段Δli內(nèi)，黏聚力與摩擦力之和為滑動(dòng)面上巖土體的抗剪強(qiáng)度，其值由摩爾－庫(kù)侖強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算，基巖對(duì)滑動(dòng)面的法向反力為σ′i（＝σi）。將抗滑力分別沿安全系數(shù)的計(jì)算方向投影，即：

1.4 矢量和法安全系數(shù)求解步驟

求解步驟如下：①根據(jù)地質(zhì)勘察資料建立有限元數(shù)值計(jì)算模型，在模型中反映地質(zhì)勘察的滑面；②對(duì)模型進(jìn)行常規(guī)有限元彈（塑）性分析計(jì)算，得到各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)；③根據(jù)有限元彈（塑）性計(jì)算結(jié)果，計(jì)算滑面上各處剪力的矢量和，該剪力矢量和的方向即為安全系數(shù)的計(jì)算方向。通常按有限元網(wǎng)格劃分節(jié)點(diǎn)，將滑面分為若干個(gè)小段進(jìn)行計(jì)算；④安全系數(shù)的計(jì)算先按式（7）和式（11）計(jì)算滑面上各處滑動(dòng)力與抗滑力沿此方向投影的代數(shù)和，再通過(guò)式（12）計(jì)算就可得邊坡整體的安全系數(shù)。

2 工程應(yīng)用

2.1 邊坡概況

某鐵礦采場(chǎng)由獅子山、尖林山、象鼻山3個(gè)礦體組成。采場(chǎng)總體走向?yàn)镹W300°，總體長(zhǎng)度約為2200m，坑底總面積為8150m2。東露天采場(chǎng)地質(zhì)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，出現(xiàn)斷層、節(jié)理發(fā)育，邊坡穩(wěn)定性差。Ⅵ區(qū)位于區(qū)域斷層F9上盤，其西側(cè)與Ⅴ區(qū)有區(qū)域性節(jié)理J2，整體坡度約為48°。區(qū)內(nèi)有兩組區(qū)域性節(jié)理J3、J4，這兩組主節(jié)理將該區(qū)劃分為上下兩個(gè)部分，上部形似鍥形體，下部形似正三角形體。另外還有兩組節(jié)理發(fā)育，一組節(jié)理近于平行，產(chǎn)狀320°∠75°，密集發(fā)育；另一組節(jié)理順坡面發(fā)育，兩組節(jié)理將巖體切割成碎裂結(jié)構(gòu)。Ⅵ區(qū)巖體結(jié)構(gòu)與Ⅲ－Ⅲ′剖面工程地質(zhì)圖分別如圖3、圖4所示。

圖3 Ⅵ區(qū)巖體結(jié)構(gòu)Fig.3 Rock structure of RegionⅥ

圖4 Ⅲ－Ⅲ′剖面工程地質(zhì)圖Fig.4 Engineering geological map of SectionⅢ－Ⅲ′

2.2 巖體力學(xué)參數(shù)取值

本文參考中國(guó)科學(xué)院巖土力學(xué)研究所1995年編寫的《大冶鐵礦獅子山北邦A(yù)區(qū)尖F9斷層上盤－60～－96m邊坡穩(wěn)定性和滑坡防治研究》報(bào)告提供的巖體參數(shù)，如表1所示。

表1 巖體力學(xué)參數(shù)Table1 Rock mass mechanical parameters

2.3 計(jì)算結(jié)果分析

2.3.1 極限平衡法

基于極限平衡原理，采用邊坡工程中廣泛運(yùn)用的邊坡穩(wěn)定性計(jì)算軟件Slope／w，包括 Morgenster－Price法、瑞典條分法、Bishop法和Janbu法等對(duì)邊坡穩(wěn)定性進(jìn)行計(jì)算，同時(shí)考慮孔隙水壓力、程序自動(dòng)搜索最危險(xiǎn)滑動(dòng)面，并給出最小安全系數(shù)，如圖5所示（邊坡巖性見(jiàn)圖4）。

由圖5可看出，由于上述計(jì)算方法均是基于極限平衡原理，故計(jì)算得到最危險(xiǎn)滑動(dòng)面基本重合，但各方法嚴(yán)格程度及考慮因素不盡相同，以致最小安全性系數(shù)各不相同。極限平衡法研究邊坡穩(wěn)定性的合理性與適應(yīng)性已得到工程驗(yàn)證。4種情況下邊坡安全性系數(shù)如表2所示。

圖5 基于極限平衡法的邊坡最危險(xiǎn)滑動(dòng)面Fig.5 The most dangerous sliding surface of slope based on limit equilibrium method

表2 邊坡安全性系數(shù)Table2 Slope safety coefficients

2.3.2 有限元強(qiáng)度折減法

借助有限元分析軟件Ansys模擬邊坡應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系，邊坡按照平面應(yīng)變問(wèn)題處理，單元類型選用PLANE42平面單元，巖土體材料本構(gòu)模型采用非線性彈塑性德魯克－普拉格（D－P）模型。DP模型不僅計(jì)入靜水壓力作用，而且還考慮中間主應(yīng)力的影響，克服了 Mohr－Coulomb模型的主要弱點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于國(guó)內(nèi)外巖體力學(xué)計(jì)算與數(shù)值分析中［10］。

Ⅲ－Ⅲ′剖面的實(shí)際坡高為431.12m，寬為566.5m。為了消除計(jì)算時(shí)邊界條件對(duì)坡體應(yīng)力－應(yīng)變求解的影響，在進(jìn)行求解時(shí)將模型尺寸取高為700m，寬為1500m。選取位移邊界條件，左右邊界位移x方向固定，y方向自由，底邊x、y方向固定。模型經(jīng)有限元網(wǎng)格劃分，共得到節(jié)點(diǎn)4132個(gè)，單元4007個(gè)。邊坡有限元計(jì)算模型如圖6所示。

圖6 邊坡有限元模型Fig.6 Finite element model of the slope

對(duì)巖體的強(qiáng)度參數(shù)黏聚力c和內(nèi)摩擦角φ按同一折減系數(shù)F進(jìn)行折減，利用Ansys默認(rèn)的計(jì)算收斂準(zhǔn)則（力和位移不收斂），得到有限元強(qiáng)度折減安全系數(shù)為1.26。極限狀態(tài)下邊坡應(yīng)力、應(yīng)變分布如圖7所示。由圖7可看出，當(dāng)巖體結(jié)構(gòu)面強(qiáng)度參數(shù)黏聚力c和內(nèi)摩擦角φ同時(shí)折減1.26倍后，最大剪應(yīng)力區(qū)域集中出現(xiàn)在邊坡Ⅵ區(qū)Ⅲ－Ⅲ′剖面斷層區(qū)域，此時(shí)xy塑性剪應(yīng)變?cè)跀鄬蛹肮?jié)理面上已基本貫通，形成塑性帶，邊坡處于極限平衡狀態(tài)，坡體具有失穩(wěn)下滑傾向。

2.3.3 矢量和法

圖7 邊坡剪應(yīng)力、剪應(yīng)變?cè)茍DFig.7 Shear stress and shear strain nephogram of the slope

選用由Slope／W搜索出的最危險(xiǎn)滑動(dòng)面作為臨界滑動(dòng)面，滑面為圓弧形（見(jiàn)圖5），利用Ansys用戶可編程特性APDL語(yǔ)言的二次開(kāi)發(fā)功能，自定義算法，根據(jù)上述矢量和法安全系數(shù)的定義與求解步驟編寫計(jì)算程序，得到該邊坡給定滑動(dòng)面上各處剪力的矢量和方向，即安全系數(shù)的計(jì)算方向?yàn)?2.84°，安全系數(shù)F（θ）值為1.34。

3 結(jié)果對(duì)比分析

采用不同方法得到邊坡安全系數(shù)計(jì)算結(jié)果的比較如表3所示。由表3可看出，矢量和法計(jì)算結(jié)果與極限平衡法和有限元強(qiáng)度折減法之間最大相對(duì)誤差為9.7%，誤差范圍為4.2%～9.7%，由此表明矢量和法計(jì)算安全系數(shù)的適用性。極限平衡法主要是基于重度增加方法來(lái)計(jì)算邊坡安全系數(shù)，隨著邊坡體的重度增加，正應(yīng)力的增大比例較大于剪應(yīng)力的增大比例，故邊坡滑體抗剪強(qiáng)度得到加強(qiáng)，從而導(dǎo)致極限平衡法中的Morgenster－Price法、瑞典條分法、Bishop法較矢量和法計(jì)算結(jié)果大。

表3 邊坡安全系數(shù)計(jì)算結(jié)果比較Table3 Comparison of calculated slope safety coefficient

矢量和法同有限元強(qiáng)度折減法計(jì)算結(jié)果相對(duì)誤差較小，僅為5.9%，主要由于本文選取圓弧滑面為最危險(xiǎn)滑動(dòng)面，按照強(qiáng)度安全系數(shù)的定義是滑動(dòng)面上各處的抗滑力對(duì)滑弧圓心的力矩與各處滑動(dòng)力對(duì)滑弧圓心的力矩之比，如同矢量和法安全系數(shù)，具有明確的物理意義。

有限元強(qiáng)度折減法計(jì)算結(jié)果與極限平衡法安全系數(shù)相對(duì)誤差較大，分析其原因主要在于：①有限元計(jì)算的數(shù)值收斂性受多種因素的影響，由此得到的安全系數(shù)的合理性與惟一性受到質(zhì)疑；②抗剪強(qiáng)度с和內(nèi)摩擦角φ在邊坡失穩(wěn)時(shí)發(fā)揮程度以及衰減速度與程度并非完全相等，兩者具有各自的安全儲(chǔ)備。二者采用同一折減系數(shù)會(huì)造成塑性區(qū)失真；③強(qiáng)度折減后，巖體殘余強(qiáng)度考慮不足。工程實(shí)踐表明，自重情況下，某鐵礦Ⅵ區(qū)邊坡整體穩(wěn)定性良好，表明采用矢量和法安全系數(shù)用以衡量邊坡穩(wěn)定性切實(shí)可行。

4 結(jié)論

（1）矢量和法計(jì)算結(jié)果與極限平衡法和有限元強(qiáng)度折減法之間最大相對(duì)誤差為9.7%，誤差范圍為4.2%～9.7%，且與邊坡實(shí)際穩(wěn)定性狀況相符合，從而驗(yàn)證了矢量和法計(jì)算安全系數(shù)的合理性與適用性。

（2）矢量和法與有限元強(qiáng)度折減法計(jì)算結(jié)果相對(duì)誤差僅為5.9%，主要由于本文選取圓弧滑面為最危險(xiǎn)滑動(dòng)面，按照強(qiáng)度安全系數(shù)的定義是，滑動(dòng)面上各處的抗滑力對(duì)滑弧圓心的力矩與各處滑動(dòng)力對(duì)滑弧圓心的力矩之比，如同矢量和法安全系數(shù)，具有明確的物理意義。

（3）極限平衡法主要是基于重度增加的方法來(lái)計(jì)算邊坡安全系數(shù)的，隨著邊坡體的重度增加，正應(yīng)力的增大比例較大于剪應(yīng)力的增大比例，故邊坡滑體抗剪強(qiáng)度得到加強(qiáng)，從而導(dǎo)致極限平衡法中的Morgenster－Price法、瑞典條分法、Bishop法較矢量和法計(jì)算結(jié)果大。

（4）作為邊坡整體穩(wěn)定性評(píng)價(jià)方法，矢量和法較為嚴(yán)格，其計(jì)算建立在邊坡真實(shí)應(yīng)力狀態(tài)下，物理意義明確，公式簡(jiǎn)潔。矢量和法為邊坡分析提供了切實(shí)可行的分析途徑。

［1］中國(guó)科學(xué)院武漢巖土力學(xué)研究所.巖質(zhì)邊坡穩(wěn)定性的試驗(yàn)研究與計(jì)算方法［M］.北京：科學(xué)出版社，1981：87－115.

［2］葛修潤(rùn).巖石疲勞破壞的變形控制律、巖土力學(xué)實(shí)驗(yàn)的實(shí)時(shí)X射線CT掃描和邊坡壩基抗滑穩(wěn)定分析的新方法［J］.巖土工程學(xué)報(bào)，2008，30（1）：1－20.

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