盤(pán)繞式伸展臂展開(kāi)模式的力學(xué)原理

韓建斌 王新升 馬海波

(北京航空航天大學(xué) 宇航學(xué)院，北京100191)

盤(pán)繞式伸展臂是一種空間伸展臂，靠縱桿的螺旋變形來(lái)實(shí)現(xiàn)展開(kāi)和收攏的，可用于太陽(yáng)電池陣、太陽(yáng)帆、探測(cè)臂等空間伸展機(jī)構(gòu)［1-3］.在中心繩索控制下，伸展臂有2種展開(kāi)模式［4］:螺旋展開(kāi)和逐層展開(kāi).處于螺旋狀態(tài)的伸展臂極不穩(wěn)定，其側(cè)向彎曲剛度很差.形成逐層展開(kāi)模式后，剛度較好［5］，是盤(pán)繞式伸展臂展開(kāi)的理想狀態(tài).

對(duì)于盤(pán)繞式伸展臂已經(jīng)有一些分析研究［5-6］.但由于縱桿的大變形及整個(gè)系統(tǒng)的復(fù)雜性，對(duì)其進(jìn)行變形分析仍然是一個(gè)難點(diǎn).普通的有限元分析和微分方程并不適用于盤(pán)繞式伸展臂的展開(kāi)特性研究［7］.Kirchhoff動(dòng)力學(xué)比擬理論是研究細(xì)長(zhǎng)彈性桿超大變形的有效工具，利用Kirchhoff動(dòng)力學(xué)研究圓柱面約束的彈性桿問(wèn)題已有很多研究［8-11］，因此利用Kirchhoff動(dòng)力學(xué)可以分析縱桿的變形.此外，為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，可以假設(shè)伸展臂伸展過(guò)程足夠緩慢，因此可以忽略伸展過(guò)程的動(dòng)力學(xué)效應(yīng)［10］.本文針對(duì)三角形橫框鉸接盤(pán)繞式伸展臂進(jìn)行了研究，提出了伸展臂展開(kāi)模式的判據(jù)，最終得到伸展臂構(gòu)型和展開(kāi)模式之間的關(guān)系.

1 盤(pán)繞式伸展臂變形的幾何分析

盤(pán)繞式伸展臂的兩種展開(kāi)模式見(jiàn)圖1.將小范圍內(nèi)縱桿的變形分為螺旋(螺旋角在0～90°之間)和伸直(螺旋角接近0°，且保持穩(wěn)定)2種狀態(tài)，如圖1所示.

圖1 盤(pán)繞式伸展臂的2種展開(kāi)模式

為方便后文描述，定義如下:每?jī)蓚€(gè)橫框之間的縱桿為一節(jié)，向上依次標(biāo)記為第 1，2，3，…，n節(jié);第1節(jié)縱桿上部的橫桿標(biāo)記為第2層橫桿，向上依次標(biāo)記為第 3，4，5，…，n 層.

認(rèn)為盤(pán)繞式伸展臂變形過(guò)程中斜拉索長(zhǎng)度不變，而橫桿可以彎曲.假設(shè)一節(jié)伸展臂以均勻螺旋方式盤(pán)繞，其幾何變形如圖2所示.

圖2 盤(pán)繞式伸展臂幾何關(guān)系示意圖

圖2中，α為伸展臂相鄰兩個(gè)橫框間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角;t為伸展臂節(jié)距;R為盤(pán)繞半徑;θ為縱桿螺旋角，是縱桿軸向切線與伸展臂軸向的夾角;l為斜拉索長(zhǎng)度.其中t，l為恒值.

在直角三角形ABC中有

圓柱面上的區(qū)域CED部分是直角三角形CED沿圓柱面彎曲后的形狀.因此有

設(shè)螺旋角為0時(shí)伸展臂半徑為 R0.得到t/R0=1.5時(shí)，R/R0隨螺旋角θ變化的曲線見(jiàn)圖3.

圖3 在斜拉索限制下伸展臂半徑隨螺旋角變化

設(shè)螺旋角等于θmin時(shí)，盤(pán)繞半徑的最小值為Rmin.此時(shí)橫桿兩端距離

可見(jiàn)盤(pán)繞式伸展臂伸展時(shí)，縱桿壓縮橫桿至其兩端距離為dmin，之后橫桿釋放能量，推動(dòng)縱桿伸展.文獻(xiàn)［6］將這一現(xiàn)象叫做“snap through”.因此橫桿的彎曲剛度對(duì)伸展臂的展開(kāi)有一定影響.

2 盤(pán)繞式伸展臂展開(kāi)模式的判據(jù)

2.1 橫桿彎曲剛度的影響

以表1所示NASA的ST8(Space Technology 8)任務(wù)中使用的盤(pán)繞式伸展臂(簡(jiǎn)稱ST8伸展臂［12-13］)為對(duì)象，在Adams中建立仿真模型，如圖4所示.

根據(jù)第1節(jié)所述，單節(jié)縱桿在伸展到一定長(zhǎng)度時(shí)，需要壓縮橫桿，因此展開(kāi)速度會(huì)變慢.此時(shí)上面一節(jié)縱桿開(kāi)始伸展.即盤(pán)繞式伸展臂展開(kāi)初期以螺旋狀態(tài)逐節(jié)伸展，如圖5所示.

圖5 盤(pán)繞式伸展臂以螺旋狀態(tài)逐節(jié)伸展

為得到橫桿剛度對(duì)伸展臂展開(kāi)過(guò)程的影響，以表1所示盤(pán)繞式伸展臂為準(zhǔn)，取橫桿半徑為0.5 mm，0.6 mm，0.65 mm，0.7 mm，按圖5 所示進(jìn)行展開(kāi)過(guò)程仿真計(jì)算.其中頂板伸展速度為1mm/s.在第2層橫桿處發(fā)生“snap through”現(xiàn)象時(shí)，截取伸展臂的變形狀態(tài)進(jìn)行比較.

圖6a～圖6c的第1幅圖都是在第2層橫桿彎曲程度最大時(shí)的狀態(tài).由圖6可以得到以下結(jié)論.

1)第2層橫桿發(fā)生“snap through”現(xiàn)象后，盤(pán)繞式伸展臂開(kāi)始以逐層展開(kāi)模式伸展(橫桿的彎曲狀態(tài)反映了盤(pán)繞半徑的變化).

圖6 不同橫桿半徑的盤(pán)繞式伸展臂展開(kāi)

2)隨著橫桿半徑的增加，第2層橫桿發(fā)生“snap through”現(xiàn)象時(shí)伸展臂的長(zhǎng)度逐漸增大.從半徑為0.5mm的4節(jié)到0.65mm的6節(jié).極端情況下縱桿無(wú)法伸直而逐級(jí)螺旋伸展(圖6d).

3)當(dāng)橫桿半徑足夠大時(shí)，縱桿能量不足以壓彎?rùn)M桿，使得伸展臂以螺旋展開(kāi)模式伸展(圖6d).

考慮到盤(pán)繞式伸展臂以中心繩索控制方式展開(kāi)時(shí)，其收納筒一般較短.當(dāng)螺旋狀態(tài)的節(jié)數(shù)較多時(shí)，會(huì)發(fā)生較大的晃動(dòng).因此在本文中只認(rèn)為伸展臂發(fā)生“snap through”效應(yīng)時(shí)，伸展節(jié)數(shù)為5節(jié)以下的情況為逐層展開(kāi)，5節(jié)以上定義為螺旋展開(kāi).其中第n節(jié)縱桿開(kāi)始伸展以第n層鉸鏈和收攏段縱桿脫離接觸為準(zhǔn)，如圖7所示.

圖7 第n節(jié)縱桿開(kāi)始伸展

2.2 展開(kāi)模式的判據(jù)

從上述分析可知:第2層橫桿抗彎能力和縱桿對(duì)其壓縮能力決定了盤(pán)繞式伸展臂的展開(kāi)模式.若第2層橫桿可以被壓縮至兩端距離為dmin，且此時(shí)展開(kāi)節(jié)數(shù)小于5，伸展臂就可以逐層展開(kāi).

若盤(pán)繞式伸展臂緩慢伸展，則可以忽略動(dòng)力學(xué)效應(yīng)［10］.取第2層橫桿張力最大時(shí)(兩端距離為dmin)伸展臂的狀態(tài)進(jìn)行分析.設(shè)此時(shí)第2層橫桿的張力為Fdm，用Fdm反映橫桿的抗彎能力.

反映縱桿壓縮能力的參數(shù)按下述方法定義:

1)調(diào)整橫桿半徑至某一個(gè)值rl，使得第2層橫桿剛好可以彎曲至兩端距離為dmin，且此時(shí)第6層鉸鏈恰好與收攏段鉸鏈脫離接觸.定義此時(shí)盤(pán)繞式伸展臂的構(gòu)型參數(shù)為臨界參數(shù).

2)定義在上述變形下，縱桿作用在第2層橫桿上的壓力為Fdl.用Fdl來(lái)表示縱桿的壓縮能力.

3)Fdm＜Fdl，說(shuō)明縱桿壓縮能力較大，盤(pán)繞式伸展臂可以逐層展開(kāi)

4)Fdm＞Fdl，說(shuō)明橫桿抗彎能力較大，盤(pán)繞式伸展臂無(wú)法逐層展開(kāi)(包括形成逐層展開(kāi)模式時(shí)伸展節(jié)數(shù)為6節(jié)的情況).

上述判據(jù)的前提條件為伸展臂緩慢伸展，為靜力平衡.實(shí)際上在伸展臂展開(kāi)過(guò)程中會(huì)有沖擊、干擾等因素，因此會(huì)有一定誤差.

2.3 判據(jù)的驗(yàn)證

與2.1節(jié)相同，用圖4所示ST8伸展臂模型進(jìn)行仿真計(jì)算.調(diào)整橫桿半徑約為0.63 mm，此時(shí)伸展臂可以形成逐層展開(kāi)模式，且滿足上節(jié)臨界參數(shù)定義.觀察第2層橫桿受力與距離變化曲線，以及第2層橫桿發(fā)生“snap through”前后的變形如圖8所示(壓力的負(fù)值表示橫桿受拉).

圖8 臨界參數(shù)下橫桿受壓及伸展臂snap through變形

當(dāng)兩端距離最小時(shí)(虛線)，橫桿所受壓力即為Fdm.由于伸展臂緩慢展開(kāi)，可以認(rèn)為橫桿彎曲最大時(shí)處于平衡狀態(tài).因此取臨界參數(shù)(圖8)的Fdm為Fdl.由圖8得到Fdl約為1.04 N.

另外分別研究橫桿半徑為0.62mm，0.64mm時(shí)的情況，得到仿真結(jié)果見(jiàn)圖9.

圖9 第2層橫桿受壓及伸展臂snap through變形

圖9a得到橫桿半徑為0.62 mm時(shí)，F(xiàn)dm約等于0.97 N;圖9b得到橫桿半徑為0.64 mm時(shí)，F(xiàn)dm約等于1.11 N.即

橫桿半徑為0.64 mm:Fdm＞Fdl，縱桿在發(fā)生snap through現(xiàn)象時(shí)已有6層開(kāi)始伸展;

橫桿半徑為0.62 mm:Fdm＜Fdl，縱桿在發(fā)生snap through現(xiàn)象時(shí)展開(kāi)層數(shù)為5層.

仿真結(jié)果說(shuō)明了判據(jù)的正確性，但判據(jù)所需要的Fdm，F(xiàn)dl不能直接得到.下文研究利用伸展臂設(shè)計(jì)參數(shù)推導(dǎo)Fdm，F(xiàn)dl，從而得到展開(kāi)模式.

3 判據(jù)參數(shù)的求解

3.1 Fdm求解

橫桿端部與鉸鏈連接如圖10所示，在受壓時(shí)會(huì)發(fā)生類似于平面簡(jiǎn)支梁的變形.

圖10 橫桿端部連接及變形

文獻(xiàn)［14］利用彈性細(xì)桿的Kirchhoff動(dòng)力學(xué)給出了簡(jiǎn)支梁兩端受壓情況下壓力與距離的公式:

式中，EI為橫桿彎曲剛度;L為橫桿長(zhǎng)度.k為隨壓桿彎曲程度增大而變大的量;K(k)，E(k)，F(xiàn)(k)為關(guān)于 k的橢圓積分［14］.

根據(jù)圖4所示ST8伸展臂模型(橫桿半徑為0.5 mm)的仿真結(jié)果，取橫桿兩端壓力及距離，與式(3)對(duì)比見(jiàn)圖11.

圖11 橫桿受壓及兩端距離變化

橫桿原長(zhǎng)207.8 mm，由圖中可見(jiàn)，橫桿變形較小時(shí)，仿真結(jié)果和式(3)有較大差別.但變形較大時(shí)，二者較為吻合.因此，可以用式(3)近似反映Fdm.

3.2 Fdl求解

Fdl是縱桿展開(kāi)5節(jié)且第2層橫桿彎曲至兩端距離為dmin的條件下，縱桿對(duì)第2層橫桿的壓力.假設(shè)此時(shí)縱桿變形如下:

1)縱桿的第1，2節(jié)保持純螺旋狀態(tài)(螺旋角不變)，螺旋角為θmin(圖3);

2)從第3節(jié)開(kāi)始，經(jīng)過(guò)3節(jié)縱桿，螺旋角逐漸增大到收攏段(接近90°).

在圖8所示伸展臂發(fā)生“snap through”現(xiàn)象時(shí)，將縱桿在圓柱面上投影可描述縱桿變形.與上述定義的縱桿變形進(jìn)行比較，如圖12所示.

圖12 縱桿變形

由圖12可知，假設(shè)的縱桿變形較為合理.以此假設(shè)縱桿變形為前提，分析縱桿對(duì)橫桿的壓力.

盤(pán)繞半徑在伸展時(shí)會(huì)減小，但變化幅值相對(duì)較小，圖3盤(pán)繞半徑最大變化約7%.因此可以認(rèn)為縱桿沿圓柱面發(fā)生變形，圓柱面半徑為R0.

3.2.1 上層縱桿變形分析

圖12b所示縱桿，上層3～5節(jié)與1，2節(jié)變形不同，其螺旋角是連續(xù)變化的.對(duì)3～5節(jié)縱桿應(yīng)用圓柱面約束假設(shè)，根據(jù)彈性細(xì)桿的Kirchhoff動(dòng)力學(xué)理論，滿足下述平衡方程［14］.

式中，θ為縱桿某一截面處的螺旋角;s為縱桿弧坐標(biāo);p，l0，m 是與縱桿受力有關(guān)的量［14］.其中，p與縱桿豎直方向壓力Fz成正比，m與縱桿扭轉(zhuǎn)變形相關(guān)，l0與縱桿所受豎直方向上扭矩成正比.

利用式(5)求解圖12b中第3～5節(jié)縱桿螺旋角的變化.積分初值為第5節(jié)縱桿頂端的螺旋角及其變化率:θ0=89°，dθ0=0.

調(diào)整Fz大小，使得第3節(jié)縱桿下端的螺旋角為θmin.即在確定縱桿變形的條件下可以得到縱桿所受豎直方向壓力Fz，且Fz沿縱桿不變［14］.

3.2.2 螺旋段縱桿

圖12所示第1，2節(jié)縱桿的螺旋角恒定為θmin.第2層橫桿受兩節(jié)縱桿對(duì)應(yīng)的斜拉索作用，對(duì)鉸鏈進(jìn)行受力分析如圖13所示.

圖13 第2層橫桿受力分析

圖13中Fl為斜拉索拉力，沿豎直、徑向、周向分解為Fr，F(xiàn)h，F(xiàn)v.Fd為橫桿對(duì)鉸鏈的張力.

由于第1，2節(jié)均為純螺旋桿，因此式(5)中 Q(θ)=0［14］.即

式中，θ取θmin;Fz0由3.2.1節(jié)上層縱桿變形計(jì)算得到;Fh，F(xiàn)v均為斜拉索分力，可以通過(guò)幾何條件得到.這樣就可以得到Fh或Fv的值，從而得到斜拉索拉力沿徑向的分量Frhelix.

圖13中沿鉸鏈徑向受力平衡，因此可以得到

式(7)即為第2.2節(jié)判據(jù)所定義的Fdl.

4 盤(pán)繞式伸展臂構(gòu)型與展開(kāi)模式

根據(jù)圖12定義的縱桿變形，采用第3節(jié)的方法，可以求得多組構(gòu)型參數(shù)對(duì)應(yīng)的Fdl和Fdm.利用第2.2節(jié)的判據(jù)，就可以判斷不同構(gòu)型參數(shù)的盤(pán)繞式伸展臂對(duì)應(yīng)的展開(kāi)模式.

參照文獻(xiàn)［15］取節(jié)距與盤(pán)繞半徑比值t/R為橫軸，縱、橫桿剛度比值為縱軸，列出盤(pán)繞式伸展臂展開(kāi)模式與構(gòu)型參數(shù)的關(guān)系，如圖14所示.其中點(diǎn) D，C，E分別對(duì)應(yīng)圖8，圖9a，圖9b的情況.ST8點(diǎn)為ST8伸展臂，可逐層展開(kāi).

圖14 盤(pán)繞式伸展臂伸展模式圖

圖14坐標(biāo)平面中的每個(gè)點(diǎn)代表一組伸展臂的構(gòu)型參數(shù)，其中斜線對(duì)應(yīng)在圖12所定義縱桿變形情況下的臨界參數(shù)(此時(shí)Fdm=Fdl)，斜線上方滿足Fdm＜Fdl，斜線下方滿足 Fdm＞Fdl.根據(jù)第2.2節(jié)判據(jù)，可以得到對(duì)應(yīng)的展開(kāi)模式.

選取圖14中5個(gè)點(diǎn)，取第2層橫桿處發(fā)生“snap through”現(xiàn)象前后伸展臂變形進(jìn)行比較.

其中D點(diǎn)對(duì)應(yīng)圖8所示盤(pán)繞式伸展臂，較為靠近臨界點(diǎn).C，E對(duì)應(yīng)圖9a，圖9b所示盤(pán)繞式伸展臂，在D點(diǎn)基礎(chǔ)上改變橫桿半徑.

A點(diǎn)在C點(diǎn)基礎(chǔ)上增大節(jié)距為150 mm.展開(kāi)圖形見(jiàn)圖15a.和圖9b相似，伸展臂雖然可以發(fā)生“snap through”效應(yīng)形成逐層展開(kāi)，但此時(shí)長(zhǎng)度為6節(jié)，根據(jù)2.1節(jié)定義認(rèn)為A點(diǎn)螺旋伸展.

B點(diǎn)在E點(diǎn)基礎(chǔ)上減小節(jié)距為126 mm，伸展臂以逐層展開(kāi).展開(kāi)圖形見(jiàn)圖15b，長(zhǎng)度5節(jié).

上述5個(gè)盤(pán)繞式伸展臂的仿真結(jié)果說(shuō)明:

1)圖14可以判斷盤(pán)繞式伸展臂的展開(kāi)模式.

2)通過(guò)增大縱、橫桿剛度比或減小節(jié)距、盤(pán)繞半徑比值，可以調(diào)整盤(pán)繞式伸展臂的展開(kāi)模式.

圖15 伸展臂展開(kāi)過(guò)程變形狀態(tài)

5 結(jié)論

盤(pán)繞式伸展臂能否以逐層展開(kāi)模式伸展，關(guān)鍵在于第2層橫桿的變形.當(dāng)作用在第2層橫桿上的壓力能使其彎曲到一個(gè)最大值時(shí)，會(huì)發(fā)生“snap through”效應(yīng)而形成逐層展開(kāi)模式.

橫桿剛度越小，盤(pán)繞式伸展臂可以在展開(kāi)節(jié)數(shù)越小的情況下形成逐層展開(kāi)模式，反之展開(kāi)節(jié)數(shù)越長(zhǎng).當(dāng)橫桿剛度足夠大時(shí)，伸展臂最終只能形成整體的螺旋形狀，而無(wú)法自行伸展.

考慮到實(shí)際盤(pán)繞式伸展臂展開(kāi)過(guò)程中的沖擊和干擾，圖14與實(shí)際結(jié)果會(huì)有一定的誤差.較穩(wěn)妥的方法是選擇離圖14中斜線較遠(yuǎn)的點(diǎn)來(lái)設(shè)計(jì)伸展臂，在通過(guò)試驗(yàn)及仿真計(jì)算來(lái)調(diào)整參數(shù)，可以準(zhǔn)確的控制伸展臂的展開(kāi)模式.

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