加窗分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器精度比較

張錦中 張中山

中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第三十八研究所，安徽 合肥 230088

引言

在很多數(shù)字信號(hào)處理應(yīng)用中，對(duì)分?jǐn)?shù)時(shí)延的需求越來(lái)越大。要實(shí)現(xiàn)固定的時(shí)延，數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)比模擬技術(shù)更有優(yōu)勢(shì)，且實(shí)現(xiàn)起來(lái)很容易，只需把信號(hào)在緩存器里存指定的時(shí)間就可以了。如果期望的延遲時(shí)間是采樣間隔的整數(shù)倍，這種方法是最優(yōu)的；但是，當(dāng)延遲值小于采樣間隔，特別是希望時(shí)延連續(xù)可調(diào)時(shí)，就需要更加復(fù)雜的方法。在符號(hào)時(shí)序恢復(fù)[1]，精確波束形成與預(yù)測(cè)語(yǔ)音編碼中，能過(guò)控制信號(hào)的采樣時(shí)刻，可以使系統(tǒng)性能得到一定的提升。為了得到兩個(gè)采樣之間的數(shù)據(jù)，在原理上，多速率方法通過(guò)插值、延時(shí)、重抽取可以實(shí)現(xiàn)，但對(duì)于自適應(yīng)時(shí)延估計(jì)的動(dòng)態(tài)場(chǎng)合，它就不適合了。對(duì)于多速率系統(tǒng)，通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)字濾波器做精確的插值是更好的方法。

人們對(duì)分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器的研究興趣主要集中在兩個(gè)方面，一個(gè)是只做分?jǐn)?shù)時(shí)延（通過(guò)FIR與IIR濾波器實(shí)現(xiàn)[2]），另一個(gè)是把分?jǐn)?shù)時(shí)延與其它功能一起設(shè)計(jì)（分?jǐn)?shù)時(shí)延微分器）。文獻(xiàn)[3]對(duì)分?jǐn)?shù)時(shí)延的研究進(jìn)行了綜述；強(qiáng)大的最優(yōu)化算法可以獲得極佳的分?jǐn)?shù)時(shí)延，然而在實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)通信領(lǐng)域，往往考慮采用較簡(jiǎn)單的時(shí)延算法（通常使階數(shù)較少的FIR），簡(jiǎn)單的方法可以快速調(diào)整到不同的時(shí)延值。要得到濾波器系數(shù)，通常使用閉式表達(dá)式，盡管它們的次最優(yōu)性能部分地抵消了它們的實(shí)現(xiàn)優(yōu)勢(shì)。本文的目的就是探討加窗方法對(duì)簡(jiǎn)單分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器的性能改善情況，特別是加Chebyshev窗時(shí)的時(shí)延精度進(jìn)行了深入的研究。

1、分?jǐn)?shù)間隔時(shí)延的FIR近似

首先，我們研究理想期望傳輸函數(shù)的近似方法。

其中f是歸一化頻率，且

對(duì)于N個(gè)系數(shù)的FIR濾波器，a等于(N-1)/2，與線性相位濾波器設(shè)計(jì)相同。另一個(gè)時(shí)延因子d平移了濾波器沖激響應(yīng)的對(duì)稱(chēng)中心，且與傳統(tǒng)意義上的線性相位設(shè)計(jì)不同。事實(shí)上，即使d選為[-a,a]之間的整數(shù)，由于系數(shù)長(zhǎng)度限定為N，對(duì)稱(chēng)的系數(shù)丟棄一端的一些數(shù)據(jù)之后，系數(shù)也就不再對(duì)稱(chēng)了。我們只對(duì)這樣的情況感興趣，當(dāng)d是[-0.5,0.5]之間的小數(shù)，此時(shí)，濾波器系數(shù)會(huì)出現(xiàn)稍微的不對(duì)稱(chēng)。

我們的任務(wù)就是設(shè)計(jì)一個(gè)z域傳輸函數(shù)H(z)使總的誤差

達(dá)到可接受的程度。對(duì)于任意的，在零頻，誤差要求可以很容易達(dá)到，但在Nyquist頻率處是不可能達(dá)到的。因此，我們只需關(guān)注95%帶寬的近似程度。全頻帶的高保真近似也是無(wú)意義的。時(shí)延濾波器沒(méi)有低通濾波器那樣的截止頻率。在研究過(guò)程中，我們只關(guān)注兩個(gè)方面的分?jǐn)?shù)時(shí)延精度：f=[0,0.5](即半帶設(shè)計(jì)，占全頻帶的50%)與f=[0,0.9](即寬帶設(shè)計(jì)，占全頻帶的90%)。

如果帶限信號(hào)用離散時(shí)間信號(hào)表示，則固定時(shí)延可以用幅度與群時(shí)延分別為1與D的離散時(shí)間線性相位全通濾波器來(lái)近似。通過(guò)FOURIER變換，它的沖激響應(yīng)可表示為

把式1代入式4得

此沖激響應(yīng)形狀與sinc函數(shù)相似，sinc函數(shù)定義為

2、加窗SINC分?jǐn)?shù)延時(shí)器

截?cái)郤INC函數(shù)濾波器的性能太差，在實(shí)際中根本不能應(yīng)用。降低Gibbs效應(yīng)的常用方法就是進(jìn)行時(shí)域加窗。加窗的濾波器沖激響應(yīng)為：

其中，n是時(shí)間，取值范圍是0到N-1，h(n)是與H(ej2πf)對(duì)應(yīng)的沖激響應(yīng)序列。

精度評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)是：

其中，Dc某個(gè)頻點(diǎn)的進(jìn)延近似值，N是濾波器階數(shù)，d是期望的時(shí)延值。

使用升余弦窗與Chebyshev窗前后的SINC濾波器的時(shí)延精度性能如圖1所示：

從圖中可看出von Hann窗(c=0.5)群時(shí)延特性要好于矩形窗，但CHebyshev窗的精度更好。圖1 的仿真條件是d=0.1，濾波器長(zhǎng)度是17。

圖1 時(shí)延精度隨頻率的變化情況

圖2 寬帶時(shí)時(shí)延精度與濾波器階數(shù)的關(guān)系

寬帶時(shí)延精度與濾波器階數(shù)的關(guān)系如圖2所示，從圖中可以看出，Hann與Chebeyshev在階數(shù)為10左右時(shí)有一個(gè)拐點(diǎn)，當(dāng)階進(jìn)一步增大時(shí)，加Hann窗的精度隨數(shù)增大而減?。坏覥hebeyshev窗時(shí)，精度并不是隨階數(shù)增大而減小，而是有一個(gè)最佳值，最佳值是65，相對(duì)Hann窗有40dB的好處；Chebeyshev窗的副瓣為-80dB。

半帶時(shí)延精度與濾波器階數(shù)的關(guān)系如圖3所示，此時(shí)精度的低階數(shù)拐點(diǎn)消失，加Chebeyshev窗的精度隨階數(shù)迅速提高，當(dāng)階數(shù)為13時(shí)，就達(dá)到了最佳點(diǎn)，相對(duì)Hann窗有40dB的好處，同樣精度下Hann需要133階。

圖3 半帶時(shí)時(shí)延精度與濾波器階數(shù)的關(guān)系

時(shí)延精度與Chebeyshev窗主副比的關(guān)系如圖4與圖5所示，主副比越大，時(shí)延精度越高，主副比每增加20dB，時(shí)延精度也會(huì)提高20dB左右，但要達(dá)到最佳點(diǎn)，濾波器階數(shù)也要相應(yīng)增加。半帶時(shí)，階數(shù)小于20就可以達(dá)到很高的時(shí)延精度。

圖4 寬帶時(shí)延精度與Chebeyshev窗主副比的關(guān)系

圖5 半帶時(shí)延精度與Chebeyshev窗主副比的關(guān)系

3、結(jié)語(yǔ)

分?jǐn)?shù)階時(shí)延可以使用FIR濾波器來(lái)近似，加窗FIR濾波器是比較簡(jiǎn)單有效的設(shè)計(jì)方法。本文研究了加窗分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器的時(shí)延精度，對(duì)加Chebyshev窗的時(shí)延精度進(jìn)行了深入研究，加Chebyshev窗的時(shí)延精度與窗的主副比有關(guān)，主副比越大，時(shí)延精度越高，需要的濾波器階數(shù)越高，并不是濾波器階數(shù)越高，精度越高，而是主副比一定時(shí)，濾波器階數(shù)有一個(gè)最佳值。

[1]Erup,L.,F.M.Gardner and R.A.Harris,"Interpolation in digital modems -Part II:implementation and performance",IEEE Trans.Comms.,vol.41,no.6,pp.998-1008,June 1993.

[2]Cain,G.D.,N.P.Murphy and A.Tarczynski,"Evaluation of several variable FIRfractional-sample delay filters",Proc.ICASSP94,Adelaide,Australia,vol.3,pp.621-624,19-22 April 1994.

[3]Timo I.LAAKSO,Splitting the unit delay !FIR all pass filters design,IEEE Signal processing magazine,January,1996.