集值擬變分不等式間隙函數(shù)的一個注記*

胡玉萍

(重慶師范大學數(shù)學學院，重慶401331)

近年來，許多學者致力于變分不等式的研究.2011年，D.Aussel.J.Dutta提出了集值變分不等式和弱集值變分不等式的概念，并證明了有限性和誤差界的性質(zhì).同年，RachanaGupta和AparanaMehra用正則化間隙函數(shù)和D-間隙函數(shù)得到了擬變分不等式的局部和全局誤差界.在文獻［1-3］的基礎(chǔ)上定義了集值擬變分不等式和弱集值變分不等式的概念，并建立了它的間隙函數(shù).

1 預備知識

定義1［1］設(shè)F:Rn→Rn是一個函數(shù)，C是Rn的一個凸子集.變分不等式(VI(F，C))是找到x∈C，使得≥0，?y∈C.

定義2［2］設(shè)F:Rn→Rn是一個函數(shù)，C:Rn→2Rn是一個集值映射，且對每一個 x∈Rn，C(x)是Rn的一個閉凸集.擬變分不等式(QVI(F，C(x)))是找到)，使得≥0，?y∈).

定義3［3］設(shè)T:Rn→2Rn是一個集值映射，C是Rn的一個非空凸子集.集值變分不等式的解集(S(T，C))，即:

2 集值擬變分不等式

定義5 設(shè)T:Rn→2Rn是一個集值映射，C是Rn的一個非空凸子集.集值擬變分不等式的解集(S(T，C(x)))，即:

定理1 假設(shè)集值映射T是方向閉的，那么對任意的α＞0，函數(shù)gα是集值弱擬變分不等式QVIω(T，C)的一個間隙函數(shù).而且，如果對每一個x，C(x)是閉凸集，T是凸值映射，則 gα是集值擬變分不等式QVI(T，C)的一個間隙函數(shù).

證明 函數(shù)gα顯然是非負的.

如果gα(x)=0，則對任意的y∈C(x)，有，x－ y］.又因為 T 是方向閉的，則 Tα是方向閉的，從而對每一個y∈C(x)，存在∈Tα(x)，使得［，y－ x］≥0.由定義 2 可知，x是 QVIω(T，C)的一個解.如果 x是 QVIω(T，C)的一個解，由定義2立即可得 gα(x)=0.故 gα是集值弱擬變分不等式 QVIω(T，C)的一個間隙函數(shù).

由Sion’s最小最大定理可得定理的后半部分的證明.

間隙函數(shù)gα的正則化間隙函數(shù)如下:

定理2 設(shè)對任意的x＞0，C(x)是一個閉凸集，T:Rn→2Rn是一個有非空值的方向閉集值映射，則對任意的 α ＞0，β ＞0，對任意的 x∈C(x)，g(α，β)(x)≥0.而且 g(α，β)=0當且僅當Sω(T，C(x)).

證明 由 g(α，β)(x)的定義，顯然有對任意的 x∈C(x)，g(α，β)(x)≥0.

假設(shè) g(α，β)=0，任意取一個固定的點x0∈C(x)，考慮如下子列:

［1］PATRICE M，DAO L ZH.Weak sharp solutions of variational inequalities［J］.SIAM JOptim，1998(9):179-189

［2］RACHANA G，APARANA M.Gap functions and error bounds for Quasi variational inequalities［M］.J Glob Optim，published on line，2011

［3］AUSSEL D，DUTTA J.On gap functions for multivalued stampacchia variational inequalities［J］.Joptim Theory Appl，2011，149:513-527.

［4］FACCHINEI F，PANG J S.Finite-Dimensional Variational Inequalities and Complementarity Problems［M］.New York:Springer-Verlag，2003

［5］SION M.On general minimax theorems［J］.Pac JMath，1958(8):171-176