高等數(shù)學(xué)中的輔助函數(shù)設(shè)計(jì)

成麗波，劉振文

（長(zhǎng)春理工大學(xué) 理學(xué)院，長(zhǎng)春 130022）

0 引 言

輔助函數(shù)即是輔助解決問題所用的函數(shù)，構(gòu)造輔助函數(shù)的方法是在講授一元函數(shù)微分中值定理之后出現(xiàn)的一種重要方法，在文獻(xiàn)［1－10］中從不同角度進(jìn)行了論述，文獻(xiàn)［11－13］對(duì)于微分中值定理證明中關(guān)于輔助函數(shù)的做法也進(jìn)行了討論。微分中值定理［14－15］的理解和應(yīng)用是教學(xué)中的難點(diǎn)，因此如何應(yīng)用中值定理證明一些問題也給一些教師和學(xué)生帶來不少困惑，本文通過例子總結(jié)一下在教學(xué)過程中做輔助函數(shù)的一些體會(huì)，希望能引起同行的共鳴。

1 關(guān)于利用微分中值定理證明問題中輔助函數(shù)的做法

微分中值定理是Rolle定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理和Taylor定理的統(tǒng)稱，這幾個(gè)定理的核心是Lagrange中值定理，證明過程都是以Rolle定理為基礎(chǔ)，適當(dāng)構(gòu)造滿足Rolle定理?xiàng)l件的輔助函數(shù)，使中值定理成為一個(gè)整體。本段介紹如何構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)，利用中值定理完成證明過程中的一些題。

首先，Rolle定理適合于證明導(dǎo)數(shù)在個(gè)別點(diǎn)ξ處的值為等式的問題，即在ξ點(diǎn)處使得F′（ξ）＝0的問題。解決這類問題的關(guān)鍵是找到這個(gè)輔助函數(shù)（即原函數(shù)）F（x），使其滿足Rolle定理的3個(gè)條件，則有F′（ξ）＝0成立，需要注意的是有些問題還需要尋找滿足定理?xiàng)l件的閉區(qū)間。下面作者給出幾個(gè)具體例子，介紹用逆推法觀察得到輔助函數(shù)（原函數(shù)）和利用不定積分求出輔助函數(shù)（原函數(shù)）的方法。

例1 設(shè)f（x）在［0，1］上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且證明存在ξ∈（0，1），使

分析 題目中是要證明某個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在個(gè)別點(diǎn)ξ處的值為等式的問題，可以考慮用Rolle定理解決。即找到一個(gè)輔助函數(shù)F（x），使得ξ是F′（x）＝0的根，亦即F′（ξ）＝0，因此找輔助函數(shù)F（x）就是解決此問題的關(guān)鍵。從結(jié)論入手開始逆推：要證明ξ是F′（x）＝f′（x）－1＝0的根，也就是要找到函數(shù)F（x）在某個(gè)閉區(qū)間［a，b］上滿足Rolle定理?xiàng)l件，且使F′（x）＝f′（x）－1，由求導(dǎo)法則很容易觀察出F（x）＝f（x）－x，需要注意這個(gè)函數(shù)滿足Rolle定理?xiàng)l件的區(qū)間并不是題目給定的閉區(qū)間［0，1］，因此，還需要尋找新的閉區(qū)間，通常情況下此區(qū)間的端點(diǎn)應(yīng)該在題目給定的閉區(qū)間［0，1］上，可通過閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理得到此區(qū)間的端點(diǎn)。由于F（x）＝f（x）－x在［0，1］上連續(xù)，且所以可由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理找到一點(diǎn)這樣對(duì)F（x）在閉區(qū)間［0，x］上應(yīng)用Rolle定理問題就可以順0利解決了。詳細(xì)證明過程如下：

證明 作輔助函數(shù)F（x）＝f（x）－x，由已知條件可知F（x）＝f（x）－x在［0，1］上連續(xù)，又因?yàn)槔瞄]區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知至少存在一點(diǎn)使F（x）＝0，又F（0）＝0，因此F（x）在［0，x］上滿足Rolle定理的00條件，故至少存在一點(diǎn)ξ∈（0，x0）?（0，1），使得F′（ξ）＝0，即f′（ξ）＝1。證畢。

如果在尋找輔助函數(shù)（原函數(shù)）時(shí)不容易直接觀察得到，也可以通過不定積分法求得原函數(shù)，就是所要尋找的輔助函數(shù)，如下例所示。

例2 假設(shè)f（x）和g（x）在［a，b］上存在二階導(dǎo)數(shù)，并且g″（x）≠0，在（a，b）內(nèi)g（x）≠0，證明在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使

分析 本題同樣可考慮使用Rolle定理。要證明ξ是的根，因此，需要尋找輔助函數(shù)（原函數(shù)）F（x），使

此題不同于例1能直接觀察出原函數(shù)，所以可通過求不定積分得到原函數(shù)F（x）。因此將式（＊）兩端同時(shí)求不定積分得

再利用分部積分法可知

因此F（x）＝f（x）g′（x）－f′（x）g（x），再由Rolle定理即可解決問題。證明過程如下：

證明 設(shè)輔助函數(shù)F（x）＝f（x）g′（x）－f′（x）g（x），由已知條件可知F（x）在［a，b］上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且F（a）＝f（a）g′（a）－f′（a）g（a）＝0，F(xiàn)（b）＝f（b）g′（b）－f′（b）g（b）＝0。

由Rolle定理知在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使F′（ξ）＝0，即f（ξ）g″（ξ）－f″（ξ）g（ξ）＝0，又因?yàn)樽C畢。

以上2例都是從結(jié)論入手采用逆推法尋找輔助函數(shù)，但有時(shí)也可從已知條件入手采用正推法，再結(jié)合積分上限函數(shù)作輔助函數(shù)也是比較方便的，下舉一例。

例3 設(shè)f（x）在［0，π］上連續(xù)，且試證在（0，π）內(nèi)至少存在2個(gè)不同點(diǎn)ξ1和ξ2，使得f（ξ1）＝f（ξ2）。

分析 與例1和例2類似知此題可考慮用Rolle定理解決，但是如果采用前2例的方法很難做出輔助函數(shù)，知道積分上限函數(shù)是被積函數(shù)的原函數(shù)，結(jié)合已知條件啟發(fā)考慮函數(shù)作為輔助函數(shù)，再通過與例1類似的方法找出使Rolle定理?xiàng)l件成立的閉區(qū)間，2次使用Rolle定理即可得出所要求的2個(gè)不同點(diǎn)ξ1和ξ2，使F′（ξ1）＝0，F(xiàn)′（ξ2）＝0，這樣f（ξ1）＝f（ξ2）成立。證明過程如下：

在討論代數(shù)方程根的唯一性問題中也可以涉及到引入輔助函數(shù)的方法，請(qǐng)看以下例子：

例4 證明方程x3＋x－1＝0在（0，1）內(nèi)只有一個(gè)實(shí)根。

分析 此類問題通?？紤]兩個(gè)方面，即根的存在性和唯一性。存在性往往需要做一個(gè)在［0，1］上連續(xù)的輔助函數(shù)，一般可將方程的一端作為輔助函數(shù)，利用連續(xù)函數(shù)的介值定理說明根的存在性；唯一性可用反證法或單調(diào)性加以說明即可。證明過程如下：

證明 先證存在性.做輔助函數(shù)F（x）＝x3＋x－1，則因F（x）在［0，1］上連續(xù)，且F（0）＝－1＜0，F(xiàn)（1）＝1＞0，故由連續(xù)函數(shù)的介值定理知方程在（0，1）內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根；

再證唯一性，采用反證法：假設(shè)方程在（0，1）內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)根x1，x2（不妨設(shè)x1＜x2），即F（x1）＝F（x2）＝0，對(duì)F（x）在［0，1］上應(yīng)用Rolle定理即知必存在一點(diǎn)ξ∈（x1，x2）?（0，1），使F′（ξ）＝3ξ2＋1＝0，這在實(shí)數(shù)域上是不可能的，所以方程在（0，1）內(nèi)只有一個(gè)實(shí)根。證畢。

2 關(guān)于不等式證明問題中輔助函數(shù)的做法

不等式的證明是微積分中的常見問題之一，運(yùn)用單調(diào)性及Lagrange中值定理結(jié)合輔助函數(shù)是比較常用的方法。在利用單調(diào)性證明不等式問題中，通常情況下是將不等式兩邊相減之后的函數(shù)作為輔助函數(shù)，請(qǐng)考慮如下例題。

例5 設(shè)x∈（0，1），證明不等式成立。

分析 因x∈（0，1），故1－x＞0，于是所證的不等式變?yōu)椋?－x）e2x＜1＋x，所以可對(duì)f（x）＝（1－x）e2x－（1＋x）利用單調(diào)性得到結(jié)論。證明過程如下：

證明 設(shè)輔助函數(shù)f（x）＝（1－x）e2x－（1＋x），x∈（0，1），則由f′（x）＝（1－2x）e2x－1，f′（0）＝0，f″（x）＝－4xe2x＜0，得知f′（x）在（0，1）上單調(diào)減少，故在（0，1）內(nèi)f′（x）＜0，從而f（x）在（0，1）上單調(diào)減少，再由f（0）＝0知在（0，1）內(nèi)f（x）＜0，即（1－x）e2x－（1＋x）＜0，從而得證當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，成立。證畢。

利用Lagrange中值定理證明不等式也是比較常見的方法，解決這類問題一般采用逆推法，適當(dāng)選取輔助函數(shù)，通過Lagrange中值定理中個(gè)別點(diǎn)ξ滿足的不等關(guān)系可將問題解決?？紤]如下例題：

例6 設(shè)a＞b＞0，證明

分析 因a＞b＞0，故a－b＞0，這樣要證明的不等式可化為中間部分可由f（x）＝lnx在［b，a］上使用Lagrange中值定理得到，即再通過b＜ξ＜a即可得到結(jié)論。證明過程如下：

證明 設(shè)輔助函數(shù)f（x）＝lnx，則f（x）在［b，a］上連續(xù)，在（b，a）內(nèi)可導(dǎo)，由Lagrange中值定理知至少存在一點(diǎn)ξ∈（b，a），使故而a－b＞0，所以即證畢。

3 結(jié) 語

本文談到的關(guān)于輔助函數(shù)的做法是在教學(xué)過程中總結(jié)的一點(diǎn)體會(huì)，經(jīng)過分析總結(jié)，學(xué)生很容易就能夠接受這些問題。通過學(xué)習(xí)如何設(shè)計(jì)輔助函數(shù)，許多同學(xué)反映不再害怕利用中值定理作證明題這個(gè)攔路虎了，也達(dá)到了事半功倍的教學(xué)效果。

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