一類非線性廣義系統(tǒng)的精確線性化和極點配置一步設(shè)計

楊 光，武 帥

（沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，沈陽 110034）

0 引 言

非線性系統(tǒng)極點配置常用的方法是精確線性化和極點配置兩步設(shè)計法［1］。因該法必須滿足苛刻的對合條件，對于高于二階的實際系統(tǒng)很難滿足。文獻(xiàn)［2］給出了回避苛刻對合條件的一步設(shè)計法，即對非線性系統(tǒng)精確線性化和極點配置一步完成。

到目前為止，有大量文獻(xiàn)研究非線性系統(tǒng)的控制問題［3－8］，但針對非線性廣義系統(tǒng)控制的研究仍然是個難題，本文將非線性系統(tǒng)的控制方法［2］應(yīng)用到非線性廣義系統(tǒng)的控制問題。首先給出將非滿秩陣化為滿秩陣的算法，然后求得非線性廣義系統(tǒng)的狀態(tài)空間實現(xiàn)；進(jìn)而通過解一個擬線性PDEs（偏微分方程），利用Zubov's方法，完成該狀態(tài)空間實現(xiàn)的精確線性化、極點配置一步設(shè)計，從而實現(xiàn)非線性廣義系統(tǒng)的精確線性化、極點配置的一步控制。與以往常用的方法相比，無需滿足嚴(yán)格的對合條件，精確線性化和極點配置兩步由一個PDEs表達(dá)，且一步完成。使復(fù)雜的問題簡單化。利用此方法解決Logistic增長的SIS傳染病數(shù)學(xué)模型的一步控制問題，達(dá)到控制消除該傳染病的目的。通過計算機仿真模擬表明：該方法有效可行。

1 非線性廣義系統(tǒng)的狀態(tài)空間實現(xiàn)

考慮如下多輸出多輸入非線性廣義系統(tǒng)：

這里x∈Χ?Rn是系統(tǒng)的變量，z∈Ζ?Rp是系統(tǒng)的代數(shù)變量，X和Z是連通開集，u∈Rm是系統(tǒng)的控制輸入，f（x）和k（x）是具有維數(shù)為n和p的光滑向量場，g（x）、c（x）、b（x）、l（x）分別為n×m、p×m、n×p、p×p階光滑矩陣，h（x）為X→Rm的實解析函數(shù)。

定義1 對于廣義系統(tǒng)（1），［l（x），c（x）］為非行滿秩矩陣，通過對該系統(tǒng)中的代數(shù)方程求導(dǎo)，使得［l（x），c（x）］轉(zhuǎn)化為行滿秩的矩陣，最低求導(dǎo)次數(shù)稱為廣義系統(tǒng)（1）的階數(shù)θd。

例如

假設(shè)廣義系統(tǒng)（1）的階數(shù)θd為有限的。

定義2 對于廣義系統(tǒng)（1），如果通過算法可將 ［l（x），c（x）］轉(zhuǎn)化為行滿秩的矩陣，且存在一個反饋控制作用在系統(tǒng)（1）中得到一個正常系統(tǒng)，則稱該正常系統(tǒng)為廣義系統(tǒng)（1）的狀態(tài)空間實現(xiàn)。

將 ［l（x），c（x）］轉(zhuǎn)化為行滿秩矩陣的算法如下：

設(shè)秩 ［l（x），c（x）］＝p1＜p，存在p×p階可逆矩陣M1（x）使得

這里（x）、k1（x）分別為p1×p、（p－p1）×p階矩陣。對k1（x）＝0求導(dǎo)，得到新的代數(shù)方程：

這里bj（x）、gj（x）分別表示矩陣b（x）、g（x）的第j列。

v為新的控制輸入。

證明 存在p階可逆陣P（x）使得

其中l(wèi)′（x）、l″（x）、c′（x）、c″（x）分別為k×k、k×（p－k）、（p－k）×（p－k）、（p－k）×（m＋k－p）階矩陣。不失一般性，假設(shè)l′（x）和c′（x）皆為可逆陣。

用P（x）分別左乘廣義系統(tǒng)（1）中的代數(shù)方程得到：

將反饋控制（6）代入式（8）中得到

將反饋控制（6）代入系統(tǒng)（1）中得到系統(tǒng)（7）。特別地，當(dāng)秩 ［l（x），c（x）］＝秩 ［l（x）］＝p時，取B＝0，從而有代數(shù)變量表達(dá)式

將式（10）代入廣義系統(tǒng)（1）中，得到如下非線性正常系統(tǒng)：

系統(tǒng)（11）為廣義系統(tǒng)（1）的狀態(tài)空間實現(xiàn)。

2 非線性廣義系統(tǒng)精確線性化和極點配置一步控制

考慮如下系統(tǒng)

精確線性化和極點配置一步設(shè)計的方法就是利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)移和尋找反饋控制律把非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為線性的、能控的系統(tǒng)與極點配置一步完成［2］，而這一問題由解PDEs來實現(xiàn)。

假設(shè)存在一個可逆映射ξ＝w（x）和一個狀態(tài)反饋u＝－Cw（x），則

從而得到一次擬線性PDEs

這里：C為m×n階矩陣，w（x）∈Rn是式（14）的解，控制律

如果滿足引理1的條件，該PDEs是可解的。

引理1［2］（Lyapunov's輔助定理）對于一次擬線性偏微方程：

其中：Φ（x，w）：Rn×Rn→Rn，Ψ（x，w）：Rn×Rn→Rn，w∈Rn→Rn為 PDEs（15）的解，n×n矩陣，0）（0，0）的特征值分別為k、γ（i＝1，2，…，n），且滿足以下條件：ii

1）0 ?CH｛k1，k2，…，kn｝，這里CH 代表一個凸包；

2）ki與γi線性無關(guān)，即對任意非負(fù)數(shù)mi，不滿足

則PDEs（15）在平衡點x0＝0的鄰域內(nèi)一定存在唯一的解析解。

定理2 對于非線性廣義系統(tǒng)（1）滿足以下條件：

1）［l（x），c（x）］行滿秩；

2）A＝diag（－λ1，－λ2，…，－λn），其中λ1，λ2，…，λn為正數(shù)；

①0?CH｛η1，η2，…，ηn｝，這里CH 代表一個凸包；

②ηi與－λi線性無關(guān)，即對任意非負(fù)數(shù)mi不滿足：

在平衡點x0＝0的鄰域內(nèi)一定存在唯一的解析解w（x）。

證明 因為已知條件1），由定理1可得：一定存在m×p階矩陣B和u＝Bz＋v，使得［l（x）＋c（x）B］為滿秩的，得到廣義系統(tǒng)（1）的狀態(tài)空間實現(xiàn)（7）。因為x0＝0、z0＝0為系統(tǒng)（1）平衡點，在平衡點處u＝0，顯然f（0）＝0、k（0）＝0，系統(tǒng)（7）在平衡點處v0＝0。又因為當(dāng)再利用已知條件2）、3），由引理1可知定理2中的結(jié)論成立，且有

由于w（x）含有調(diào)節(jié)參數(shù)λ1，λ2，…，λn，將v＝－w（x）代入系統(tǒng)（7）中，則該系統(tǒng)可寫為如下形式：

其中

由已知條件2）可知A為 Hurwitz的，從而系統(tǒng)（18）在平衡點全局漸近穩(wěn)定（x，λ1，λ2，…，λn）為Hurwitz的。從而實現(xiàn)了非線性系統(tǒng)（7）一步設(shè)計，進(jìn)而實現(xiàn)了非線性廣義系統(tǒng)（1）的精確線性化和極點配置一步設(shè)計。

3 Logistic增長的SIS模型一步控制

有些傳染病如傷風(fēng)感冒、痢疾等，愈后免疫力很低，也可視為無免疫力，染病者被治愈后變成易感者，易感者還可以感染成為染病者，這類疾病用SIS模型描述。如果種群總數(shù)量（或密度）N的變化滿足Logistic模型［9］：

其中K為容納量，不妨假設(shè)K＝1。則Logistic增長的SIS模型為

其中：x為易感者，y為染病者，N為種群總數(shù)量，a，b，γ，d為正常數(shù)，a為傳染力，b為內(nèi)稟自然增長率，γ為恢復(fù)率，d表示因為傳染病而引起的死亡率。

引理3［9］區(qū)域且x＋y＝N≤1｝是系統(tǒng)（19）的正向不變集。如果a＞b＋γ＋d，則系統(tǒng)（19）在U內(nèi)存在平衡點（0，0，0）、（1，0，1）和唯一正平衡點（~x，~y，~N），而且系統(tǒng)（19）在（1，0，1）是不穩(wěn)定的。

由引理3知，當(dāng)a＞b＋γ＋d時，此傳染病將在該地區(qū)蔓延，要采取控制措施，使傳染病在該地區(qū)消除，也就是使（1，0，1）成為穩(wěn)定平衡點?？刂葡到y(tǒng)如下：

顯而易見（0，0，0）為系統(tǒng)（21）的不穩(wěn)定平衡點。

假設(shè)某地區(qū)流行一種傳染病，其中a＝12，d＝0.001，γ＝10，b＝0.015，將系統(tǒng)（21）化為如下正常系統(tǒng)

可見，施加上述控制在生物上就是對此傳染病模型采取遷入易感者、隔離染病者、對易感者免疫、提高染病者的恢復(fù)率等措施，最終將該傳染病消除?？刂魄芭c控制后染病者y（t）的情形如圖1所示。實線表示染病者y（t）控制前隨時間t的變化趨于平衡點，該傳染病將會成為此地區(qū)的地方??；虛線表示染病者y（t）控制后隨時間t的變化趨于原點，該傳染病將滅絕。

圖1 控制前與控制后染病者y（t）的情形

4 結(jié) 論

本文將非線性系統(tǒng)精確線性化和極點配值一步設(shè)計、Zubov's方法和最優(yōu)化理論結(jié)合起來，應(yīng)用于非線性廣義系統(tǒng)的控制，一步設(shè)計與常用的兩步法比，避免了嚴(yán)格的對合條件，特別是通過解一個系統(tǒng)的一階擬線性奇異PDEs來實現(xiàn)一步設(shè)計。將此法應(yīng)用于Logistic增長的SIS模型，仿真數(shù)據(jù)表明：該方法方便可行。

［1］AIBERTO I.Nonlinear Control systems［M］.London：Springer－Verlag，1995.

［2］KAZANTZIS N，KRAVARIS C.Singular PDEs and the single－step formulation of feedback linearization with pole placement［J］.Systems ＆ Control letters，2000，39（2）：115－122.

［3］CRESPO L G，SUN J Q.Stochastic optimal control of nonlinear systems via short－time Gaussian approximation and cell mapping［J］.Nonlinear Dynamics，2002，28（3／4）：323－342.

［4］CRESPO L G，SUN J Q.Stochastic optimal control of nonlinear systems via short－time Gaussian approximation and cell mapping［J］.Nonlinear Dynamics，2002，28（3／4）：323－342.

［5］GOHARY A E，BUKHARI F A.Optimal stabilization of steady－states of the genital herpes epidemic during infinite time intervals［J］.Appl Math comput，2003，137（11）：33－47.

［6］MATVEEV M A，SAVKIN A V.Application of optimal control theory to analysis of cancer chemotherapy regimens［J］.Systems ＆ Control Letters.2002，46（55）：311－321.

［7］CAULKINS J P，F(xiàn)EICHTINGERr G，GAVRILA C，et al.Dynamic cost－benefit analysis of drug substitution programs［J］.J Opt Theor Appl，2006，128（2）：279－294.

［8］KAZANTZIS N，KRAVARIS C，TSERONIS C，et al.Singular optimal controller tuning for nonlinear processes［J］.Automatics，2005，41：79－86.

［9］STEVAN D，NIKOLAOS K.A new Lyapunov design approach for nonlinear systems based on Zubov's method［J］.Automatics，2002，38：1999－2007.

［10］陳蘭蓀，陳鍵.非線性生物動力系統(tǒng)［M］.北京：科學(xué)出版社，1993.

［11］LIANG J R.Asymptotically stability and harmonic oscillation for singular nonlinear systems［J］.J Mathematical Research and Exposition，2002，22（1）：141－146.

［12］QI Y W，ZHANG X，SONG G D.Analysis of uncertain singular bilinear systems based on passivity theorem［C］∥Proceedings of the 27th Chinese Control Conference，2008：134－137.

［13］FENG Z S，F(xiàn)ENG C Y.The invariance principle of singular nonlinear systems and its applications［C］∥World Congress on Computer Science and Information Engineering，2009：102－106.

［14］CLARKE F H，LEDYAEY Y S，STEM R J，et al.Nonsmooth Analysis and Control Theory［M］.New York：Springer，1998.

［15］DERIVIERE S，AZIZ－ZLAOUI M A.Estimation of attractors and synchronization of generatized Lorenz systems［J］.Applications and Algorithms，2003，10（6）：833－852.

［16］BACCIOTTI A，CERAGIOLI F.Nonsmooth optimal regulation and discontinuous stabilization［J］.Abstract and Applied Analysis，2003，20：1159－1195.

［17］JORGE C.Discontinuous dynamical systems［J］.IEEE Control Systems，Magzine，2008，28（3）：36－73.