高等數(shù)學(xué)中一類證明題的解題方法

周 千

（西安航空學(xué)院 理學(xué)院，陜西 西安 710077）

1 引言

高等數(shù)學(xué)是理工類專業(yè)學(xué)生參加普通高等教育專升本考試的必考課程。每年考試的最后一題一般設(shè)置為證明題，旨在考查學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力。筆者積累多年輔導(dǎo)專升本考試的經(jīng)驗，總結(jié)出了一些解決證明問題的常用而有效的方法。

2 證明題的常見類型及解題方法

在專升本高等數(shù)學(xué)的考試中，證明題的常見類型有兩種，分別是：函數(shù)不等式的證明和適合某種條件下ξ的存在性問題的證明。

2.1 函數(shù)不等式的證明

對于函數(shù)不等式的證明，最常見的方法是利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，其基本思路是：選取變量構(gòu)造輔助函數(shù)，研究輔助函數(shù)的單調(diào)性。而構(gòu)造輔助函數(shù)的基本思想是從欲證問題的結(jié)論入手，通過逆向分析，去尋找一個滿足題設(shè)條件和結(jié)論要求的函數(shù)，一般是將待證不等式進行移向，使其右端為零，則左邊的函數(shù)就是要構(gòu)造的輔助函數(shù)。

例1：（2010年陜西省專升本考試·22題）證明：當(dāng)x＞0時，ex－ln（1＋x）－1＞xln（1＋x）

分析：首先構(gòu)造輔助函數(shù)，將不等式右端的項移至左邊，使右端為零，則不等式變形為ex－ln（1＋x）－1－xln（1＋x）＞0，令f（x）＝ex－ln（1＋x）－1－xln（1＋x），即為輔助函數(shù)，然后分析其單調(diào)性即可證明原不等式。

而對于ex－1－ln（1＋x），無法判斷其正負(fù)，故應(yīng)該繼續(xù)求導(dǎo)。

設(shè)g（x）＝ex－1－ln（1＋x）（x＞0）

總結(jié)：在解決有關(guān)函數(shù)不等式的證明問題時，利用導(dǎo)數(shù)研究輔助函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，但是在有些問題中，僅求一次導(dǎo)數(shù)是無法判斷其單調(diào)性的，此時，需要進一步求導(dǎo)，然后將結(jié)果逆推，即可使待證不等式得到證明。

2.2 適合某種條件下ξ的存在性問題的證明

討論中值存在性的一般方法是：先用逆向分析法尋求輔助函數(shù)，再驗證該輔助函數(shù)滿足某個微分中值定理的條件，從而由該定理結(jié)論導(dǎo)出欲證結(jié)果。在專升本考試中，最常用到的定理是羅爾中值定理。

常用輔助函數(shù)的構(gòu)造步驟：①將欲證結(jié)論中的ξ變?yōu)閤；②通過恒等變形將式子化為易于消去導(dǎo)數(shù)符號的形式；③ 通過觀察法或積分法求出原函數(shù)（即不含導(dǎo)數(shù)符號的式子）；④ 移項使等式一端為零，另一端即為所求輔助函數(shù)F（x）。

構(gòu)造輔助函數(shù)的常用結(jié)論：

① 若方程為f（x）＋xf′（x）＝0，則令F（x）＝xf（x）；

② 若方程為f′（x）＋λf（x）＝0，則令F（x）＝f（x）eλx；

③ 若方程為f′（x）＋f（x）g′（x）＝0，則令F（x）＝f（x）eg（x）；

對于①②③，我們可以總結(jié)為一個更加一般的結(jié)論：若方程為f′（x）＋f（x）g（x）＝0，則令F（x）＝f（x）e∫g（x）dx，②③ 容易證明，我們僅證明 ①：

因此，對于適合某種條件下ξ的存在性問題的證明，都可以先轉(zhuǎn)化為形如f′（x）＋f（x）g（x）＝0的形式，然后利用上述結(jié)論構(gòu)造輔助函數(shù)F（x）。

分析：由f（c）＝－cf′（c）可得，f（c）＋cf′（c）＝0，滿足常用結(jié)論①，故令輔助函數(shù)F（x）＝xf（x）。

3 結(jié)語

對于專升本高等數(shù)學(xué)考試中的證明題，尤其是適合某種條件下ξ的存在性問題的證明，正確的構(gòu)造輔助函數(shù)是解題的關(guān)鍵，應(yīng)用本文給出的結(jié)論，能夠很容易地構(gòu)造出相應(yīng)的輔助函數(shù)，對于學(xué)生正確解答證明問題顯得非常的重要。

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