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    具有階段結(jié)構(gòu)、時(shí)滯和接種的幼年染病單種群模型的穩(wěn)定性

    2013-10-29 09:32:42陳斯養(yǎng)
    關(guān)鍵詞:平衡點(diǎn)時(shí)滯全局

    王 烈,陳斯養(yǎng)

    (陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,陜西 西安710062)

    文獻(xiàn)[1-2]研究了具有階段結(jié)構(gòu)的單種群模型,作者假設(shè)種群從幼年到成年的平均成熟期為一個(gè)常數(shù),在模型中將其用一個(gè)時(shí)滯來(lái)表示.疾病的傳播主要依賴于疾病本身的特性.例如麻疹、腮腺炎、水痘、猩紅熱、白喉等疾病主要在幼年人群中傳播,而淋病、梅毒等傳染病只在成年人群中傳播,因此將階段結(jié)構(gòu)引入到傳染病模型中能夠更好地反映實(shí)際情況.文獻(xiàn)[3-10]研究了具有階段結(jié)構(gòu)的傳染病模型,得到平衡點(diǎn)穩(wěn)定的充分條件及平衡點(diǎn)處發(fā)生Hopf分支等動(dòng)力學(xué)行為.文獻(xiàn)[1-7]中用rx2(t-τ)exp(-d1τ)表示在t-τ時(shí)刻出生的幼年并且存活到時(shí)刻t的密度;而文獻(xiàn)[8-10]用rx2(t-τ)表示在t-τ時(shí)刻出生的幼年并且存活到時(shí)刻t的密度.為更好地控制疾病,近年來(lái)的研究表明接種疫苗是預(yù)防和控制疾病傳播的主要措施,文獻(xiàn)[11-13]討論了帶有接種的傳染病模型.

    基于以上研究結(jié)果,本文主要研究具有階段結(jié)構(gòu)、時(shí)滯和接種的幼年染病單種群模型:

    其中x1(t)、I(t)和W(t)分別表示易感染幼年、染病幼年和直接通過(guò)接種而產(chǎn)生暫時(shí)免疫能力的接種者的種群密度,x2(t)表示成年種群的密度.流行病只在幼年種群中傳播,而成年種群不會(huì)染?。畢?shù)r、d1、α、ρ、μ、ε、d2、β、δ、τ均為正常數(shù),它們的生物意義可以參看文獻(xiàn)[3-13].

    1 平衡點(diǎn)的存在性

    通過(guò)計(jì)算,得到系統(tǒng)(1)以下平衡點(diǎn):

    (ⅰ)當(dāng)R1>1、R2>1時(shí),存在地方病平衡點(diǎn)(正平衡點(diǎn))P1(x*1,x*2,V*,I*),其中

    I*是方程f(I)-g(I)=0的唯一正根,其中

    下面證明地方病平衡點(diǎn)的存在性和唯一性.正平衡點(diǎn)P1(x*1,x*2,V*,I*)滿足代數(shù)方程組

    由方程組(4)的第2、3、4個(gè)方程,易得

    將它們代入到第1個(gè)方程,可得

    對(duì)函數(shù)f(I)求導(dǎo),可得

    通過(guò)計(jì)算可知,當(dāng)I<I0時(shí),函數(shù)f′(I)>0,即當(dāng)I<I0時(shí)函數(shù)f(I)是單調(diào)遞增的;當(dāng)I>I0時(shí),函數(shù)f′(I)<0,即當(dāng)I>I0時(shí)函數(shù)f(I)是單調(diào)遞減的.函數(shù)g(I)在區(qū)間(0,+∞)上是單調(diào)遞增的.

    記τ0=ln(2)/d1,下面以τ>τ0和τ<τ0分別進(jìn)行討論:

    a)當(dāng)τ>τ0時(shí),2-exp(d1τ)<0,有I0<0,則函數(shù)f(I)在區(qū)間(0,+∞)上是單調(diào)遞減的.當(dāng)R1>1,R2>1時(shí),f(0)>g(0)>0,所以方程(5)一定存在唯一正根I*.

    b)當(dāng)τ<τ0時(shí),2-exp(d1τ)>0,對(duì)于r∈(0,d2exp(d1τ)/(2-exp(d1τ))),I0<0,參照在a)中的討論可知方程(5)一定存在唯一正根I*;對(duì)于r∈ (d2exp(d1τ)/(2-exp(d1τ)),+ ∞),I0>0,則函數(shù)f(I)在區(qū)間(0,I0)上是單調(diào)遞增的,在區(qū)間(I0,+∞)上是單調(diào)遞減的.當(dāng)R1>1、R2>1時(shí),f(0)>g(0)>0,所以方程(5)一定存在唯一正根I*.

    對(duì)應(yīng)地可以求出

    (ⅱ)當(dāng)R1>1、R2<1或R1>1、R2<1、R3<1時(shí),存在無(wú)病平衡點(diǎn)(邊界平衡點(diǎn))P2(x1,x2,V,0),其中

    下面以τ>τ0和τ<τ0分別進(jìn)行討論:

    a)當(dāng)τ>τ0時(shí),2-exp(d1τ)<0,有I0<0,則函數(shù)f(I)在區(qū)間(0,+∞)上是單調(diào)遞減的.當(dāng)R1>1,R2<1時(shí),g(0)>f(0)>0,所以方程(5)無(wú)實(shí)根.

    b)當(dāng)τ<τ0時(shí),2-exp(d1τ)>0時(shí),對(duì)于r∈(0,d2exp(d1τ)/(2-exp(d1τ))),I0<0,參照在a)中的討論可知方程(5)無(wú)實(shí)根.

    c)當(dāng)τ<τ0時(shí),2-exp(d1τ)>0時(shí),對(duì)于r∈(d2exp(d1τ)/(2-exp(d1τ)),+ ∞),I0>0,則函數(shù)f(I)在區(qū)間(0,I0)上是單調(diào)遞增的,在區(qū)間(I0,+∞)上是單調(diào)遞減的.當(dāng)R1>1,R2<1,R3<1時(shí),g(0)>f(0)>0,g(I0)>f(I0)>0,所以方程(5)無(wú)實(shí)根.

    綜上所述,可知當(dāng)R1>1、R2<1或R1>1、R2<1、R3<1時(shí),存在無(wú)病平衡點(diǎn)(邊界平衡點(diǎn)).將系統(tǒng)(1)中的4個(gè)方程相加,可得

    則通過(guò)計(jì)算可知

    通過(guò)以上討論,可得以下引理:

    引理1 集合Ω是系統(tǒng)(1)的正不變集.

    以下僅在集合Ω上討論系統(tǒng)(1)的動(dòng)力學(xué)行為.

    2 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析

    通過(guò)計(jì)算可知,系統(tǒng)(1)線性近似系統(tǒng)的特征根出現(xiàn)等于零的情況,因此下面通過(guò)構(gòu)造Liapunov函數(shù)的辦法討論系統(tǒng)(1)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性.

    定理1 當(dāng)R1>1、R2<1或R1>1、R2<1、R3<1時(shí),無(wú)病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的.

    證明 當(dāng)R1>1、R2<1或R1>1、R2<1、R3<1時(shí),無(wú)病平衡點(diǎn)P2存在.當(dāng)R2<1時(shí),可知x1<x*1.定義集合Ω1= {(x1,x2,W,I)|(x1,x2,W,I)∈

    下面在區(qū)域Ω1內(nèi)討論系統(tǒng)(1)的穩(wěn)定性.因?yàn)楫?dāng)x1<x*1時(shí),從系統(tǒng)(1)的第4個(gè)等式可知:I=I(t)在Ω1區(qū)域上是單調(diào)遞減的且t→+∞時(shí)I→0.根據(jù)極限系統(tǒng)理論,系統(tǒng)(1)的動(dòng)力學(xué)性態(tài)等價(jià)于系統(tǒng)

    當(dāng)R1>1時(shí),系統(tǒng)(10)存在唯一平衡點(diǎn)P1(x1,x2,V),其中

    則系統(tǒng)又等價(jià)于

    定義Liapunov函數(shù)

    其中m、n、p均為正數(shù).

    對(duì)V1沿系統(tǒng)(11)求右上導(dǎo)數(shù),可得

    對(duì)(14)式在區(qū)間[0,t]上積分,變形可得

    根據(jù)文獻(xiàn)[14]的方法,可知平衡點(diǎn)P1是全局漸近穩(wěn)定的.

    由R1>1、R2<1可推出r∈ (r0,r1);由R1>1、R3<1可知存在實(shí)數(shù)r2>0,r∈ (r0,r2).

    由定理1可得如下推論:

    推論1 若τ0<τ,則當(dāng)r0<r<r1時(shí),無(wú)病平衡點(diǎn)P2是全局漸近穩(wěn)定的.

    推論2 若τ0>τ,則當(dāng)r0<r<r2<r1時(shí),無(wú)病平衡點(diǎn)P2是全局漸近穩(wěn)定的.

    推論1和推論2說(shuō)明,在一定的接種率下,且整個(gè)種群的生育率位于某一區(qū)間時(shí),疾病將趨于滅絕,而且生育率的區(qū)間長(zhǎng)度隨接種率的提高而隨之?dāng)U大,隨時(shí)滯的增加而隨之縮?。?/p>

    定理2 當(dāng)R1>1、R2>1時(shí),正平衡點(diǎn)P1是全局漸近穩(wěn)定的.

    證明 由前面分析可知,當(dāng)R1>1、R2>1時(shí),平衡點(diǎn)P1存在.對(duì)系統(tǒng)(1)進(jìn)行變形,可得

    定義Liapunov函數(shù)為

    其中m、n、q、p均為正數(shù).

    對(duì)V2沿系統(tǒng)(16)求右上導(dǎo)數(shù),可得

    對(duì)(19)式在區(qū)間[0,t]上積分,變形可得

    根據(jù)文獻(xiàn)[14]的方法,可知平衡點(diǎn)P1是全局漸近穩(wěn)定的.

    由前面分析并結(jié)合定理2可得如下推論:

    推論3 當(dāng)r>r1,正平衡點(diǎn)P1是全局漸近穩(wěn)定的.

    推論3說(shuō)明,在一定的接種率下,且種群的生育率高于某一閾值時(shí),正平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定,疾病將成為地方?。?/p>

    3 結(jié)語(yǔ)

    本文提出一類具有階段結(jié)構(gòu)、時(shí)滯和接種的幼年染病單種群模型,研究了存在正平衡點(diǎn)和無(wú)病平衡點(diǎn)的充分條件,證明了正平衡點(diǎn)的唯一性.由于該單種群線性近似系統(tǒng)的特征根出現(xiàn)等于零的情況,所以通過(guò)構(gòu)造Liapunov函數(shù)的辦法討論單種群系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性,得到了正平衡點(diǎn)和無(wú)病平衡點(diǎn)保持全局漸近穩(wěn)定的充分條件.通過(guò)討論可知,在一定的接種率下,且整個(gè)種群的生育率位于某一區(qū)間時(shí),疾病最終將趨于滅絕,而且生育率的區(qū)間長(zhǎng)度隨著接種率的提高而隨之?dāng)U大;隨著時(shí)滯的增加而隨之縮小.當(dāng)種群的生育率高于某一閾值時(shí),正平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定,疾病將最終成為地方?。Y(jié)果表明時(shí)滯和接種因素在模型中有著非常重要的地位.

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