在Grassmann流形上構(gòu)造非相干酉空時碼

符達(dá)偉，彭立，王利嬌，彭秋平

（華中科技大學(xué) 電信系 武漢國家光電實驗室，湖北 武漢 430074）

1 引言

多發(fā)射和多接收（MIMO）無線通信系統(tǒng)可分為相干通信和非相干通信2種方式，與之相對應(yīng)的有相干空時碼（CSTC）和非相干空時碼（NSTC）。CSTC已經(jīng)進(jìn)入了工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，而NSTC目前仍處于研究階段。眾所周知，相干通信需要接收端確切的知道信道狀態(tài)信息，通常采用的方法是發(fā)射端發(fā)射接收端已知的導(dǎo)頻信號，接收端根據(jù)接收的導(dǎo)頻信號來估計信道狀態(tài)信息。顯然，導(dǎo)頻信號會消耗信道帶寬，信道估計會增加解調(diào)器的延遲，這些缺陷阻礙了相干通信在高速移動的快衰落信道上的應(yīng)用。非相干通信是根據(jù)非相干空時碼的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行解調(diào)的，它不需要發(fā)送導(dǎo)頻信號，也不必進(jìn)行信道估計，延遲較小，有可能在未來的高速移動通信中獲得應(yīng)用。

NSTC分為差分空時碼[1]和一般酉空時碼[2]。Marzetta和Hochwald在1999年提出了非相干空時碼的設(shè)計準(zhǔn)則[3]，并得出一個重要結(jié)論：逼近容量限的NSTC具有酉矩陣的結(jié)構(gòu)形式。本文主要研究一般酉空時碼的結(jié)構(gòu)設(shè)計。目前關(guān)于酉空時碼的結(jié)構(gòu)設(shè)計成果并不多，已經(jīng)發(fā)表的結(jié)構(gòu)設(shè)計包括：系統(tǒng)設(shè)計[4]、正交設(shè)計[5]和基于三角函數(shù)的酉空時星座圖[6]，這些酉空時星座圖的優(yōu)勢是具有代數(shù)結(jié)構(gòu)特征，已知一個星座點(diǎn)，通過計算能夠得到整個星座圖，缺陷是沒有采用優(yōu)化方法設(shè)計，不能確定性能是否最優(yōu)。ZHENG等人解決了非相干通信系統(tǒng)的信息論問題，給出了NSTC的信道容量，它的另一個重要貢獻(xiàn)是將Grassmann流形這一數(shù)學(xué)工具引入到NSTC的研究中，認(rèn)為酉空時星座圖的每一個星座點(diǎn)對應(yīng)于Grassmann流形上的一個點(diǎn)，故非相干酉空時星座圖的設(shè)計方法等效于在Grassmann流形上尋找點(diǎn)的最優(yōu)包絡(luò)（packings）分布[7]。在此之后，KAMMOUN提出了基于指數(shù)映射的Grassmannian酉空時碼，由于涉及到指數(shù)映射，構(gòu)造方法較復(fù)雜，此外，沒有進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，因此性能也不是最優(yōu)的[8]。

CONWAYGE和HARDIN從純數(shù)學(xué)的角度給出了Grassmann流形上最優(yōu)包絡(luò)分布，但它沒有采用Frobenius弦距離，而是采用其他形式的弦距離和地測距離，所搜索到的最優(yōu)包絡(luò)結(jié)果并不能直接成為酉空時碼[9]。文獻(xiàn)[10]證明了Frobenius弦距離是設(shè)計Grassmann流形上非相干酉空時星座圖的最佳距離度量準(zhǔn)則，并用貪心算法搜索酉空時星座圖，由于貪心算法的局部最優(yōu)特征只能提供次優(yōu)的搜索結(jié)果；于是提出的改進(jìn)措施是采用直接設(shè)計和旋轉(zhuǎn)設(shè)計，它們的特點(diǎn)是兩階段設(shè)計策略。本文提出改進(jìn)方案不是在搜索算法上挖掘潛力，而是在信號矩陣的結(jié)構(gòu)上尋找突破點(diǎn)，提出基于Grassmann流形的酉空時矩陣框架結(jié)構(gòu)。算法設(shè)計的基本原理是：根據(jù)數(shù)學(xué)領(lǐng)域已經(jīng)有的Grassmann流形上的最優(yōu)包絡(luò)研究成果，設(shè)定 Frobenius弦距離閾值，在Grassmann流形上尋找滿足酉空時碼結(jié)構(gòu)約束的酉矩陣（星座點(diǎn)），大于閾值的點(diǎn)被保留，小于閾值的點(diǎn)被丟棄。仿真實驗表明在酉空時矩陣框架約束下，通過設(shè)置最優(yōu)閾值的方法所搜索到的酉空時星座圖的性能優(yōu)于現(xiàn)有酉空時碼星座圖的性能。

2 系統(tǒng)模型和信號模型

2.1 信道模型

本文采用瑞利平坦衰落信道[1～3]。M 根發(fā)射天線，N根接收天線，發(fā)射符號間隔為T，在一個T間隔內(nèi)，信道衰落系數(shù)維持不變，從一個T間隔到另一個T間隔，信道衰落參數(shù)將隨之改變，有些文獻(xiàn)也稱該信道為準(zhǔn)靜態(tài)瑞利衰落信道[12]。在文獻(xiàn)[7]和文獻(xiàn)[10]中分析得出：為了在高信噪比下酉空時通信可以達(dá)到信道容量，發(fā)射符號間隔T必須滿足T ≥ min ｛ M , N ｝ +N，當(dāng)給定M和N后，非相干信道的容量會隨著T的增加與相干信道接近；在給定N和T的條件下，為了獲得最大的通信自由度，發(fā)射天線數(shù)目M必須滿足設(shè)發(fā)射信號為（文獻(xiàn)[2]稱為酉空時調(diào)制（USTM）），其中，Φl是一個T×M的酉矩陣。設(shè)Y表示接收信號矩陣，由此得到系統(tǒng)模型為

其中，H是M×N維的信道衰落系數(shù)矩陣，W是T×N維的加性高斯白噪聲（AWGN）矩陣，H和W中的所有元素都是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，服從CN （ 0,1）分布，ρ代表每根接收天線處的信噪比（SNR），歸一化系數(shù)能保證每根接收天線的平均信噪比是ρ。

接收端采用最大似然解調(diào)[2]，其解調(diào)表達(dá)式為

其中，Tr(?)表示矩陣的跡運(yùn)算，(?)?表示復(fù)共軛轉(zhuǎn)置。從式(2)可以看出，接收端根據(jù)發(fā)射信號星座圖和接收信號Y，就能進(jìn)行最大似然解調(diào)，不需要進(jìn)行信道估計。

2.2 Grassmann流形上的酉矩陣框架

設(shè) GT,M表示Grassmann流形，是T維復(fù)歐式空間CT上所有M維子空間的集合，它也構(gòu)成一個齊次空間，與正交群的商空間 O ( T ) /(O( M ) × O ( T -M))或酉群的商空間 U ( T ) (U( M ) × U ( T - M ))同構(gòu)，因此，GT,M上所有T×M維的酉矩陣構(gòu)成等效類，或者說 GT,M可用一個酉矩陣來表示。

定義1 (Grassmann流形上非相干酉空時碼矩陣框架)：設(shè)矩陣Φ ∈ GT,M，其中，T表示相干時間間隔，M表示發(fā)射天線數(shù)， φij∈ C (i = 1 ,…,T,j = 1 ,… ,M )表示Φ中的元素，如果構(gòu)造矩陣

滿足以下3個條件。

1)Φ?Φ = IM，其中， IM為M維的單位矩陣。

2)Φ中元素的自由度為 d imΦ(GT,M)=M(TM )，表示Φ的TM個復(fù)元素中有 M ( T - M )個復(fù)元素是獨(dú)立的，余下 T M - M ( T - M ) = M2個元素可由獨(dú)立的 M ( T - M )個元素確定。

3) φij≠0， i = 1 ,… ,T , j = 1,…,M ，則稱Φ 是基于Grassmann流形的酉空時碼矩陣框架。

如果將復(fù)元素φij看成廣義的QAM調(diào)制符號，那么式(3)的酉矩陣Φ實際上是對任意復(fù)數(shù)的調(diào)制符號φij∈C進(jìn)行空時編碼。由于定義 1只給出了酉空時矩陣Φ的部分信息，如維數(shù)T×M和矩陣的某種結(jié)構(gòu)關(guān)系（酉矩陣結(jié)構(gòu)和元素獨(dú)立約束），但沒有給出每個元素φij的值，因此稱Φ為發(fā)射信號星座圖的矩陣框架。 L =2RT由式(3)確定的Φl矩陣構(gòu)成Grassmann流形上的酉空時信號星座圖，編碼速率為R =(lbL)/T(bit/s/Hz)。對于Φl中所有元素φij∈ C (i = 1 ,… , T , j = 1,… ,M )，當(dāng) φij≠ 0時，酉空時調(diào)制保證給出滿發(fā)射；當(dāng)某個 φij= 0時，表示第j∈[1,M ]根天線在第i∈[1,T]個時刻沒有發(fā)射信號，發(fā)射端不能形成滿發(fā)射分集。初步觀察可以發(fā)現(xiàn)：如果發(fā)射的酉矩陣Φ的所有元素均不為零，那么空時碼一定能達(dá)到最大分集增益和最大編碼增益（反之，不一定成立）。因此，本文的主要任務(wù)是在 Grassmann流形上尋找最優(yōu)分布的，使所有Φl滿足定義1中的3個條件。

2.3 距離測度

于是，本文定義的最優(yōu)包絡(luò)問題描述如下：給定L、T、M，在酉矩陣框架(3)的約束條件下，尋找集合，使盡可能得大。

在文獻(xiàn)[9]中，研究了Grassmann流形上的最優(yōu)包絡(luò)問題，采用與式(4)不同的距離測度，給出了L= 2 ～50的最優(yōu)包絡(luò)搜索結(jié)果，如 L = 1 6的最優(yōu)包絡(luò)給出的弦距離為=1（這里 dc不是Frobenius弦距離）， L = 1 8的最優(yōu)包絡(luò)構(gòu)成正多邊形，邊長為 dc= 1 ，但所得到的最優(yōu)包絡(luò)不能很好地充當(dāng)空時碼，因為搜索到的任意中，可能存在一定數(shù)量 φij= 0 的情況，使空時碼的編碼增益和分集增益有所損失。文獻(xiàn)[10]研究以 4為測度，利用貪心算法、直接設(shè)計和旋轉(zhuǎn)設(shè)計等方法尋找的最優(yōu)分布問題，由于沒有給出類似于定義1的框架約束條件，所得到的最優(yōu)并不是在Grassmann流形上的點(diǎn)，并且尋找最優(yōu)分布的搜索工作存在下列 2個問題：1）能夠搜索到的次優(yōu)或最優(yōu)分布，但不一定是最優(yōu)空時碼，出現(xiàn)與文獻(xiàn)[9]一樣的情況；2）在未加約束的任意范圍內(nèi)搜索，可能找到最優(yōu)分布，但搜索工作的計算量相當(dāng)大。本文引入滿足酉矩陣條件1）、Grassmann流形的參數(shù)條件 2）和空時碼條件 3）的框架約束，不僅能找到Grassmann流形上的最優(yōu)包絡(luò)，也能保證在滿分集增益和滿編碼增益條件下，搜索到距離特性最優(yōu)的酉空時碼星座圖。

3 在G4,2上非相干酉空時碼設(shè)計

3.1 在G4,2上的酉空時碼矩陣框架重構(gòu)

蠻力搜索式(3)的Φ矩陣是很困難的，可以根據(jù)元素間存在的相互關(guān)系，對Φ進(jìn)行重組。重組方案有2種，一種是將Φ矩陣看成M個列矢量，可以在矢量空間中尋找M個彼此標(biāo)準(zhǔn)正交的列矢量構(gòu)成的T×M維Φ矩陣，并由此尋找L個Φ矩陣構(gòu)成相應(yīng)的星座圖，關(guān)于這個方法的論述見文獻(xiàn)[9]；另一種是本文討論的將Φ矩陣按列分成K個子塊，即當(dāng)T = KM，K為任意大于等于2的正整數(shù)，要求每個分塊子矩陣都是一個M×M的方陣，故Φ可以表示為表示矩陣轉(zhuǎn)置。有

為了便于展示本文所提出的構(gòu)造星座圖方法的過程和性能，給出了發(fā)射時間間隔為 4T= ，發(fā)射天線和接收天線均為2(即 2K= )條件下的星座圖構(gòu)造(T和M的選取滿足 3.1節(jié)中的約定，且T KM= ，K為常數(shù))。根據(jù)定義1的框架結(jié)構(gòu)，本節(jié)給出Grassmann流形4,2G 上酉空時碼星座圖的設(shè)計方法。根據(jù)式(5)，可將搜索自由度為4的42×矩陣簡化為搜索2個22×子矩陣，其中每個子矩陣的自由度為2。設(shè)1φ和2φ是自由度為2的一個22×酉矩陣中的2個復(fù)元素，且1φ和2φ相互獨(dú)立。如果允許每個復(fù)元素能進(jìn)行乘-1、乘和共軛操作，那么1φ和2φ在22×的酉矩陣中的分布會有許多排列方案，下面是幾種排列的例子：

可任取其一作為Φ4×2矩陣的子矩陣，為了簡單起見，假設(shè)取Φ1=，那么Φ2與Φ1有相同的結(jié)構(gòu)：

其中，φ1, φ2, φ3, φ4相互獨(dú)立。考慮對列矢量的歸一化，得到Grassmann流形 G4,2上的酉空時碼矩陣框架為

φi（ i = 1 ,2,3,4）可以表示成幅值A(chǔ)和輻角θ的極坐標(biāo)形式，即 φi= Aiejθi，i = 1 ,2,3,4，j為虛數(shù)單位。由此可得在 T = 2 M = 4時基于QAM調(diào)制符號的酉空時編碼矩陣

記式(7)為G4,2上酉空時碼矩陣框架，稱在該框架下構(gòu)造的星座圖為G4,2-QAM酉空時星座圖。余下的問題是在 G4,2上尋找最優(yōu)包絡(luò)，以便確定Ai和θi，i= 1 ,2,3,4。

3.2 在G4,2上酉空時星座圖的優(yōu)化搜索

對于 L = 1 6， T = 2 M = 4，構(gòu)造Grassmann流形 G4,2上最優(yōu)星座圖的問題等效于下列優(yōu)化問題。即尋找滿足矩陣框架(7)的Ai和θi(i=1,2,3,4)，使盡可能大。G4,2可看成 R4空間的一個球[9]，由式(7)構(gòu)成的酉矩陣集合是球上的點(diǎn)，這個球的半徑是1，球上位于直徑兩端的點(diǎn)稱為對跖點(diǎn)，對跖點(diǎn)之間的距離是2，也是球上任意兩點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離(即球的直徑)。設(shè)QΦ表示T維復(fù)空間的M維子空間，QΦ⊥是QΦ的補(bǔ)空間，該補(bǔ)空間內(nèi)的點(diǎn)也是 Grassmann流形上的點(diǎn)，實際上Φ∈QΦ和是Grassmann流形上的對跖點(diǎn)。

優(yōu)化搜索算法描述如下：設(shè){Φ}表示一個空集，選擇一個初始點(diǎn) ( Φ4×2)1放入集合{Φ}中，計算(Φ4×2)1的對跖點(diǎn)，將也放入{Φ}中。根據(jù)式(7)構(gòu)造一個4×2的(Φ4×2)l矩陣，具體做法是設(shè)置變化的步長為a，θi變化的步長為b，由于Ai不能為0（因為 φij≠0），所以Ai的取值范圍為[a,1]，θi的取值范圍為[0,2π]。在步長a和b的控制下，選取4個復(fù)數(shù)值 φ = A e jθi， i = 1 ,2,3,4，構(gòu)成形如式(7)

i i的酉矩陣(Φ4×2)l，計算(Φ4×2)l與集合{Φ}中所有已有星座點(diǎn)的Frobenius弦距離，如果所有距離值均大于事先確定的距離閾值dth，那么將(Φ4×2)l保留在集合{Φ}中，如果所計算出的距離值中有一個小于dth，則放棄這個(Φ4×2)l。繼續(xù)修改Ai和θi值，生成新的(Φ4×2)l，重復(fù)上述過程，直到集合{Φ}中的元素個數(shù)為 L = 1 6，則完成星座圖的設(shè)計。

對上述算法有如下幾點(diǎn)說明。

1) 初始點(diǎn) (Φ4×2)1的選取可以是任意滿足式(7)的酉矩陣，為簡單起見，本文規(guī)定 Ai= 1 和 θi=0,i= 1 ,2,3,4，即可得到 ( Φ4×2)1，設(shè)它的對跖點(diǎn)為(Φ4×2)1和中的列矢量存在彼此正交的關(guān)系，它們的結(jié)構(gòu)如下

2) 步長a的選擇可以是(0,1]之間的任意值，取a = 1 /m，m是正整數(shù)，步長b的選擇可以是[0,2π]任意值，取 b = 2 π/n，n是正整數(shù)。則候選矩陣的個數(shù)為，由此可以看出，m和n的取值決定了上述搜索算法的復(fù)雜度。顯然，步長a和b的取值越小，步長的倍數(shù)值m和n的取值越大，等待候選的矩陣個數(shù)就越多，搜索計算量就越大。例如，當(dāng) m = 4 ， n = 4 ， a = 0 .25， b =π/2時，候選點(diǎn)的數(shù)量為上述搜索算法的一個簡化方案 Ai是：只需搜索7個點(diǎn)，然后求它們的對跖點(diǎn)。

3) 距離閾值 dth的選取根據(jù)實際情況確定。根據(jù)文獻(xiàn)[9]提供的 Grassmann流形 G4,2上的最優(yōu)包絡(luò)搜索結(jié)果，對于 L = 1 6的最優(yōu)包絡(luò)，幾何弦距離的最小值為1，所對應(yīng)的最小Frobenius弦距離初步估計略大于0.8，所以取 dth= 0 .8。這16個星座點(diǎn)的Frobenius弦距離分布如圖1所示。在G4,2-QAM酉空時星座圖集合中，到初始點(diǎn) (Φ4×2)1的Frobenius弦距離為1.082 4的酉矩陣有2個，弦距離為0.808 3的酉矩陣有6個，弦距離為1.345 0的酉矩陣有6個，弦距離為 2。0的酉矩陣有 1個。在這個星座圖中，成對最小Frobenius弦距離為0.808 3。

4 仿真與結(jié)果分析

非相干酉空時碼的實際應(yīng)用需要考慮與二進(jìn)制信息序列之間的映射關(guān)系，即給星座圖中每一個點(diǎn)分配一個二進(jìn)制序列作為該點(diǎn)的標(biāo)識，對于星座圖需要給每個點(diǎn)分配 nb= lb(L) = 4bit的二進(jìn)制序列。由圖1的距離分布可以看出，星座圖點(diǎn)之間的距離并不是一致的，距離相近的點(diǎn)發(fā)生解調(diào)錯誤的概率較大，若把 Frobenius距離相近的星座圖點(diǎn)分配漢明距離相近的二進(jìn)制序列，這顯然可以改善誤碼性能，這種映射規(guī)則就是準(zhǔn)格雷映射。本文采用文獻(xiàn)[11]中介紹的準(zhǔn)格雷映射算法完成從二進(jìn)制序列到G4,2-QAM星座圖的映射。

圖1 15個G4,2-QAM酉空時碼字到初始點(diǎn)的Frobenius弦距離分布

在天線數(shù)目 M = N= 2 、相干時間 T = 2 M =4和星座圖尺寸 L = 1 6（或數(shù)據(jù)速率 R = 1 bit/s/Hz）的條件下，圖2給出了本文提出的G4,2-QAM非相干酉空時碼與某些現(xiàn)有非相干酉空時碼的性能比較曲線。這些現(xiàn)有非相干空時碼包括：文獻(xiàn)[4]的基于計算機(jī)搜索的系統(tǒng)設(shè)計酉空時碼、文獻(xiàn)[5]的正交設(shè)計的酉空時碼和文獻(xiàn)[6]的基于三角函數(shù)的酉空時碼。圖2的仿真結(jié)果表明，在誤碼率為 1 0-5數(shù)量級時，本文提出的方案比正交設(shè)計的酉空時碼性能改善1 dB，比系統(tǒng)設(shè)計的酉空時碼性能改善2.1 dB，比基于三角函數(shù)的酉空時碼性能改善8 dB。

圖2 G4,2-QAM空時碼與某些已有酉空時碼的性能比較

圖 3給出的是本文構(gòu)造的酉空時碼與文獻(xiàn)[8]中同在Grassmann流形下用指數(shù)映射方法構(gòu)成的酉空時碼的性能比較，容易看出G4,2-QAM非相干酉空時碼比基于指數(shù)映射Grassmann酉空時碼性能改善2dB。這種性能的改善得益于在框架結(jié)構(gòu)約束下Grassmann流形上最優(yōu)包絡(luò)點(diǎn)的搜索結(jié)果。

圖3 G4,2-QAM空時碼與基于指數(shù)映射Grassmann酉空時碼的性能比較

圖4是在本文設(shè)計方法基礎(chǔ)下星座圖大小分別為16和32點(diǎn)的星座圖的性能比較，可以看到16點(diǎn)星座圖碼的性能優(yōu)于 32點(diǎn)星座圖碼，但其傳輸速率低于32點(diǎn)的酉空時碼星座圖，32點(diǎn)星座圖的編碼速率為 1.25R= bit/s/Hz。

圖4 G4,2-QAM空時碼16點(diǎn)和32點(diǎn)星座圖的性能比較

5 結(jié)束語

本文設(shè)計了一種新的具有潛在實用價值的Grassmannian非相干酉空時碼星座圖，它是目前在Grassmann流形上所構(gòu)造出來的最優(yōu)非相干酉空時碼星座圖，其仿真性能也優(yōu)于非Grassmann流形上非相干酉空時碼星座圖的性能。用Grassmann流形這一數(shù)學(xué)工具來研究非相干酉空時碼的理論問題的研究成果較多，但提出實用酉空時碼結(jié)構(gòu)的應(yīng)用研究一直進(jìn)展緩慢，本文所提出的酉矩陣框架結(jié)構(gòu)，給出了非相干酉空時碼的在Grassmann流形上的實用模型，并使Grassmannian星座圖的搜索算法比現(xiàn)有的遍歷搜索算法具有更低的計算復(fù)雜度。未來的研究工作是構(gòu)造有利于降低最大似然解調(diào)算法計算復(fù)雜度的Grassmannian非相干酉空時星座圖。

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