多渦卷四階Jerk系統(tǒng)的仿真研究

劉明華

多渦卷四階Jerk系統(tǒng)的仿真研究

劉明華

(井岡山大學電子與信息工程學院，江西，吉安 343009)

對四階Jerk系統(tǒng)中通過引入具有多個線性分段的鋸齒波函數(shù)實現(xiàn)多渦卷混沌吸引子的機理進行了分析。在MATLAB中分別采用M語言和SIMULINK平臺實現(xiàn)了多渦卷四階Jerk系統(tǒng)的數(shù)值仿真，設計了多渦卷四階Jerk電路，在EWB電路仿真軟件中搭建了電路并進行了相關電路仿真。理論分析、數(shù)值仿真及電路仿真的相關結果一致，進一步證實了多渦卷混沌吸引子的存在。多渦卷混沌吸引子的存在，為混沌在信息安全中的應用提供了理論基礎。

四階Jerk系統(tǒng)；鋸齒波函數(shù)；多渦卷混沌吸引子；仿真

0 引言

混沌行為是一種非常復雜的動力學行為，它具有對初始值的高度敏感性、不可預見性、內隨機性和類噪聲性[1-3]。正因為混沌具有這些特性，它在諸如保密通信領域、圖像加密領域中有著廣泛的應用前景。與單或雙渦卷混沌吸引子相比，多渦卷混沌吸引子具有更多更復雜的動力學行和多個螺旋密鑰參數(shù)[4]，在信息安全、保密通信等工程領域具有更好的應用前景，是目前混沌研究領域的一個熱點課題[5-12]。

1 多渦卷形成機理分析

文獻[5]在只能產生雙渦卷混沌吸引子的四階Jerk系統(tǒng)的基礎上，通過引入具有多個線性分段的鋸齒波函數(shù)()，使系統(tǒng)可以產生多渦卷混沌吸引子。多渦卷四階Jerk系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

式中鋸齒波函數(shù)()為

參數(shù)=7.9，＞ 0，≥ 1。參數(shù)A可以控制渦卷的大小，即A越小時渦卷就越小，在運算放大器的有限電壓范圍內能產生更多數(shù)量，反之A越大時渦卷就越大，在運算放大器的有限電壓范圍內能產生數(shù)量就受到限制。

令(1)式的左邊為零，可知系統(tǒng)的平衡點方程為

以=4為例，鋸齒波函數(shù)()的平衡點分布如圖1所示，圖中符號“O”和“×”分別表示指標2和指標1的鞍焦平衡點?，F(xiàn)在考察指標2的鞍焦平衡點對應的特征值。對應的Jacobian矩陣為

式中=7.9。得對應的特征值為λ1,2=0.18682± 1.1956i，λ3=-6.866，λ4=-0.78568。因而“O”表示的平衡點為指標2的鞍焦平衡點，每個鞍焦平衡點能產生一個渦卷，故圖1所示的鋸齒波函數(shù)()可產生8或9卷混沌吸引子。

2 多渦卷系統(tǒng)的MATLAB仿真

MATLAB是一種面向科學與工程計算的高級語言，將數(shù)值分析、矩陣計算、科學數(shù)據(jù)可視化及非線性動態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真等強大功能集于一體，為科學研究、工程設計等提供一種全面解決方案，具有極高的編程效率。值得注意的是，MATLAB中還集成了SIMULINK，它提供了圖形編輯器、可自定義的定制模塊庫以及和求解器，便于進行動態(tài)系統(tǒng)建模和仿真[15]。

下面以8渦卷混沌吸引子為例，分別采用M語言和SIMULINK平臺這兩種不同方法實現(xiàn)系統(tǒng)(1)的數(shù)值仿真。這時系統(tǒng)(1)的狀態(tài)方程可改寫為

式中() = -+[sgn() + sgn(-2) + sgn(+2) + sgn(-4) + sgn(+4) + sgn(-6) + sgn(+6)]，參數(shù)=7.9，=1。

采用M語言來實現(xiàn)的步驟為：(a)根據(jù)(4)式的微分方程，建立相應的函數(shù)文件。

function dxdt=Jerk_multiscroll(t,x)

eta=7.9; A=1; b=9.19; c=4; d=7.278;

f=-eta*x(1)+eta*A*(sign(x(1))+sign(x(1)-2*A)+

sign(x(1)+2*A)+sign(x(1)-4*A)+sign(x(1)+4*A)+

sign(x(1)-6*A)+sign(x(1)+6*A))；%鋸齒波函數(shù)

dxdt=[x(2);x(3);x(4);-b*x(2)-c*x(3)-d*x(4)+f];

(b)調用微分方程求解函數(shù)ode45。

t0=[0 1e+3]; %仿真時間

x0=[0.1, 0.27, 0.3, 0.4]; %系統(tǒng)初始值

[t,x]=ode45(' Jerk_multiscroll ',t0,x0,options);

圖2 8渦卷四階Jerk系統(tǒng)的SIMULINK仿真圖

基于SIMULINK平臺的動態(tài)仿真步驟為：(a)先用SIMULINK模型庫構建仿真系統(tǒng)。根據(jù)系統(tǒng)(4)的狀態(tài)方程特點，將所需要用到的單元功能模塊(積分模塊、求和模塊、增益模塊以及實現(xiàn)符號函數(shù)的模塊Sign)拖放到平臺搭建窗口，并按系統(tǒng)(4)的狀態(tài)方程把各模塊連接起來，搭建好的仿真系統(tǒng)如圖2所示。(b)設置系統(tǒng)的初始值及仿真時間。在此，初始值為設置為(0.1, 0.2, 0.3, 0.4)，仿真時間為200s，其它參數(shù)為默認。用XY graph觀察混沌吸引子相圖，觀察到的8渦卷混沌吸引子數(shù)值仿真結果如圖3(a)所示，采用類似方法可搭建9渦卷的SIMULINK仿真系統(tǒng)并進行相關的數(shù)值仿真，仿真結果如圖3(b)所示。

(a)

(b)

圖3 數(shù)值仿真結果 (a)8渦卷; (b)9渦卷

Fig.3 The results of numerical simulation (a)8-scroll; (b)9-scroll

3 電路仿真

根據(jù)系統(tǒng)(4)的狀態(tài)方程，設計了一種可以產生8渦卷混沌吸引子的四階Jerk電路，如圖4所示。整個電路由兩大模塊組成，分別為實現(xiàn)非線性函數(shù)-()的N1模塊和實現(xiàn)系統(tǒng)(1)中的微積分函數(shù)的N2模塊，其中N2模塊又是由反相比例加法電路、積分電路和反相電路組成。

圖4 8渦卷四階Jerk電路圖

再將電流轉換為電壓，可以得到

故非線性函數(shù)-()的狀態(tài)方程可表示為

當=4，=7.9，=1，可產生8多渦卷混沌吸引子的鋸齒波函數(shù)()的表達式為

在N2中，可以推導出電路對應的狀態(tài)方程為

(a)

(b)

4 結論

本文采用M語言和SIMULINK平臺實現(xiàn)了多渦卷四階Jerk系統(tǒng)的數(shù)值仿真，更進一步，在EWB電路仿真軟件中搭建了多渦卷四階Jerk電路并進行了相關電路仿真，數(shù)值仿真與電路仿真結果一致，證實了多渦卷混沌吸引子的存在，為其在信息安全中的應用提供了理論基礎。本文采用的有關數(shù)值仿真和電路仿真方法具有普適性，可以推廣到其它混沌系中。

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SIMULATION INVESTIGATION MULTI-SCROLL FOUR-ORDER JERK SYSTEM

LIU Ming-hua

(School of Electronics and Information Engineering, Jinggangshan University, Ji’an, Jiangxi 343009, China)

The mechanism of generating multi-scroll chaotic attractors which can be obtained by introducing sawtooth function based on four-order Jerk system is analyzed. Some numerical simulations of multi-scroll chaotic attractors are realized by M language and SIMULINK platform in MATLAB. A novel multi-scroll four-order Jerk circuit is designed. The circuit is built on Electronics Workbench (EWB) platform, and circuit simulation is experimented. Theoretical analysis, numerical simulation results and circuit simulation results are agreed, which confirmed the multi-scroll chaotic attractors exist. The existing of multi-scroll chaotic attractors provides the theoretical basis for the application of chaos in information security.

fourth-order Jerk system; sawtooth nonlinear function; multi-scroll chaotic attractor; simulation

TN710；TN918

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2013.04.012

1674-8085(2013)04-0059-05

2013-02-18；

2013-05-20

江西省教育廳科技項目 (GJJ13542)；井岡山大學自然科學基金項目 (JZB1203)

劉明華(1975-)，男，江西吉水人，副教授，博士，主要從事非線性電路與系統(tǒng)研究(E-mail:liuminghua2000@sina.com).