功能梯度材料板斷裂分析

魏 巍，彭 楊，張澤輝，徐啟成，張艷艷

（1.沈陽(yáng)飛機(jī)設(shè)計(jì)研究所，遼寧 沈陽(yáng) 110035；2.沈陽(yáng)大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110044；3.遼寧電力勘測(cè)設(shè)計(jì)院，遼寧 沈陽(yáng) 110179；4.沈陽(yáng)建筑大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110168）

1984年日本學(xué)者［1］率先提出了功能梯度（Functionally Graded Materials，簡(jiǎn)稱(chēng)FGM）的概念.早期主要應(yīng)用于航天飛機(jī)的防熱系統(tǒng)和發(fā)動(dòng)機(jī).與宏觀均質(zhì)復(fù)合材料相比，功能梯度材料具有良好的比剛度、比強(qiáng)度及可設(shè)計(jì)性，其應(yīng)用領(lǐng)域已從航空航天拓展到核能、生物醫(yī)學(xué)、機(jī)械、石油化工、信息、民用及建筑等其他諸多領(lǐng)域.在FGM生產(chǎn)和制備過(guò)程中功能梯度材料表面或內(nèi)部經(jīng)常出現(xiàn)裂紋或缺陷，在服役過(guò)程中，這些裂紋和缺陷會(huì)進(jìn)一步生長(zhǎng)，導(dǎo)致FGM在低應(yīng)力下斷裂破壞.因此，研究功能梯度材料的斷裂行為很有必要.

FGM的斷裂行為研究引起了科研人員的高度重視.Delale和Erdogan［2］采用指數(shù)函數(shù)形式的物性參數(shù)模型和積分變換——奇異積分方程求解技術(shù)，對(duì)非均勻材料平面裂紋Ⅰ、Ⅱ型問(wèn)題進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)泊松比對(duì)裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子影響非常小.Chen和Erdogan［3］分析了有限厚度功能梯度涂層與均勻半平面基底之間的界面斷裂問(wèn)題.Jin和Noda［4］對(duì)比均勻材料和功能梯度材料裂紋前沿位移場(chǎng)并指出：非均勻材料裂紋尖端場(chǎng)的奇異性與均勻材料一致.2001年Chan等人［5］利用位移法分析梯度材料的反平面問(wèn)題.Erdogan和 Wu［6］針對(duì)含有內(nèi)部和邊界裂紋的功能梯度板進(jìn)行了研究，其中梯度參數(shù)為指數(shù)形式.Kim等［7］利用有限元法對(duì)含有任意方向裂紋的正交各向異性功能梯度材料進(jìn)行了分析.他們的研究表明對(duì)于與材料梯度成任意角度的混合型裂紋問(wèn)題，裂紋回路積分和位移法可以精確地求解應(yīng)力強(qiáng)度因子，而且與均勻材料相比，泊松比和邊界條件對(duì)正交各向異性材料的能量釋放率有顯著影響.果立成等［8］對(duì)含有任意機(jī)械屬性功能梯度材料進(jìn)行研究表明：裂紋表面受壓時(shí)，裂紋尖端以Ⅰ 型開(kāi)裂為主；裂紋表面受剪力時(shí)，裂紋尖端以Ⅱ型開(kāi)裂為主.果立成和Noda［9］利用奇異積分方程技術(shù)將任意機(jī)械屬性功能梯度材料模型假設(shè)分層指數(shù)形式，運(yùn)用這個(gè)模型更準(zhǔn)確的反映了材料的真實(shí)屬性.黃干云［10］利用分層模型分析梯度材料在動(dòng)靜態(tài)反平面剪切載荷作用下的裂紋問(wèn)題，計(jì)算梯度材料在該模型下的應(yīng)力強(qiáng)度因子.程站起［11］假設(shè)功能梯度材料的剪切模量的倒數(shù)為坐標(biāo)的線(xiàn)性函數(shù)，采用積分變換方法，通過(guò)求解奇異積分方程獲得功能梯度板條Ⅲ型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子.李小武［12］等在恒總應(yīng)變幅控制的條件下研究了含晶界孔洞粗晶工業(yè)純鐵的疲勞變形特征，研究結(jié)果表明：含晶界孔洞的粗晶工業(yè)純鐵隨著總應(yīng)變幅的增加，滑移開(kāi)裂更趨顯著，原來(lái)位于晶界上的微觀孔洞發(fā)生扭曲變形、聚合、長(zhǎng)大而產(chǎn)生裂紋，甚至導(dǎo)致沿晶開(kāi)裂.

本文采用基于非均勻單元的有限元方法對(duì)含有中心裂紋功能梯度板平面斷裂問(wèn)題進(jìn)行研究.在數(shù)值計(jì)算的過(guò)程中引入了非均勻單元，即在積分點(diǎn)處引入材料的真實(shí)屬性進(jìn)行計(jì)算；采用疊加方法，把應(yīng)力場(chǎng)轉(zhuǎn)化為裂紋表面載荷.分析了功能梯度材料結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)及材料屬性對(duì)裂紋尖端無(wú)量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子，并考察了中心裂紋兩端應(yīng)力強(qiáng)度因子的變化規(guī)律.

1 建立有限元模型

1.1 利用疊加法簡(jiǎn)化對(duì)稱(chēng)裂紋問(wèn)題

圖1a為無(wú)限長(zhǎng)功能梯度材料板，其材料屬性沿x軸變化，材料沿y軸方向?yàn)闊o(wú)限長(zhǎng)，裂紋面垂直于y軸，功能梯度板的寬度為h，裂紋的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)分別為（a，0）和（b，0）.功能梯度板表面的楊氏模量分別為E1、E2，彈性模量分別取如下兩種形式：

式（1）和式（2）分別代表功能梯度板內(nèi)的幾何參數(shù)為指數(shù)函數(shù)和線(xiàn)性函數(shù).

本文利用經(jīng)典疊加方法，將圖1a的模型問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖1b和圖1c兩個(gè)模型問(wèn)題，由于圖1b模型與斷裂無(wú)關(guān)，最終圖1a的模型問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化圖1c的模型問(wèn)題，其實(shí)質(zhì)是把應(yīng)力場(chǎng)轉(zhuǎn)化為裂紋表面載荷.

圖1 疊加法簡(jiǎn)化裂紋問(wèn)題Fig.1 Superposition method to simplify the crack problem

圖2 含內(nèi)部裂紋功能梯度板模型Fig.2 Model of functionally graded material plate with internal crack

有限元建模時(shí)充分利用對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，將含有裂紋的功能梯度板沿x軸方向在平面內(nèi)對(duì)稱(chēng)剖開(kāi)，取理論模型的一半為研究對(duì)象，利用PATRAN有限元軟件建立有限元模型，這樣大大減少了建立模型時(shí)的工作量.圖2和圖3分別為實(shí)際計(jì)算模型圖和有限元網(wǎng)格劃分圖.圖3將均布載荷σ0加在了裂紋面上，模型的底端無(wú)裂紋位置處加上y方向的約束限制其運(yùn)動(dòng)，其中板寬h為200，長(zhǎng)L為1 000，L／h＞4，裂紋位于板的中心位置，材料模量比為E2／E1＝0.2，材料采用指數(shù)函數(shù)形式.計(jì)算時(shí)兩種不同函數(shù)形式材料的泊松比取值都為ν＝0.3，即ν1＝ν2.本文問(wèn)題為二維平面應(yīng)變問(wèn)題.

圖3 裂紋尖端有限元網(wǎng)格劃分圖Fig.3 Schematic for crack tip finite element mesh

1.2 基于非均勻單元的有限元方法

本文采用位移法求解裂紋尖端Ⅰ應(yīng)力強(qiáng)度因子，即

式中，平面應(yīng)力狀態(tài)時(shí)k＝（3-ν）／（1＋ν）；平面應(yīng)變狀態(tài)時(shí)k＝3-4ν.G 為剪切模量；νy為裂紋尖端的位移場(chǎng).

針對(duì)功能梯度材料變化的非均勻?qū)傩?，單元?jiǎng)偠染仃嚳梢詫?xiě)為

式（4）中D（x，y）為材料屬性矩陣，本文采用基于非均勻單元的有限元方法，即在計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃嚂r(shí)直接取高斯積分點(diǎn)處的實(shí)際材料屬性進(jìn)行積分，這樣可以使每個(gè)單元內(nèi)部也能夠體現(xiàn)材料屬性的變化，提高計(jì)算精度和效率.同時(shí)，為了模擬裂紋尖端的應(yīng)力奇異性，采用的單元形式如圖4所示，將單元前沿線(xiàn)上20節(jié)點(diǎn)等參單元的邊中間節(jié)點(diǎn)移至距裂紋前沿1／4處，這種單元求解應(yīng)力場(chǎng)在改進(jìn)的單元邊上具有負(fù)平方根奇異性.

圖4 裂紋尖端單元示意圖Fig.4 Schematic for the crack tip element

2 數(shù)值結(jié)果

2.1 可靠性驗(yàn)證

下面計(jì)算裂紋面加載功能梯度板不同裂紋長(zhǎng)度的裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子.本裂紋為張開(kāi)型Ι型裂紋，內(nèi)部裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子由k0＝σ0進(jìn)行無(wú)量綱化，其中無(wú)量綱裂紋中心位置橫坐標(biāo)為（b＋a）／2h＝0.5，無(wú)量綱裂紋長(zhǎng)度a0為（b-a）／2h，取裂紋無(wú)量綱長(zhǎng)度分別為 0 .05，0.10，0.15，0.20，0.25，0.30和0.40.表1和表2分別給出了不同無(wú)量綱裂紋長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)的裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的數(shù)值計(jì)算結(jié)果，并與理論解析結(jié)果比較.從表中可以看到，與Kadioglu［13］和果立成［14］對(duì)比裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的誤差在2%左右，從計(jì)算結(jié)果可以看出有限元計(jì)算方法和理論方法吻合較好，因此本文的數(shù)值計(jì)算方法是可靠的.

比較表1和表2的計(jì)算結(jié)果可以看出，①裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子隨著無(wú)量綱裂紋長(zhǎng)度的增加而增加；②材料的非均勻性導(dǎo)致裂紋兩端應(yīng)力強(qiáng)度因子有顯著差別.由于材料模量比為E2／E1＝0.2時(shí)，裂紋a端的材料模量高于裂紋b端的材料模量，因此，在裂紋a端的應(yīng)力強(qiáng)度因子大于裂紋b端的應(yīng)力強(qiáng)度因子，即在接近剛度大的區(qū)域的裂尖無(wú)量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子比接近剛度小的區(qū)域的裂紋尖端無(wú)量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子大.

表1 裂紋a端無(wú)量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子與文獻(xiàn)的比較Table1 Comparison between reference and stress intensity factor of a-tip for the center crack

表2 裂紋b端無(wú)量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子與文獻(xiàn)比較Table 2 Comparison between reference and stress intensity factor of b-tip for the center crack

2.2 遠(yuǎn)場(chǎng)載荷下的中心裂紋問(wèn)題

無(wú)量綱裂紋中心位置橫坐標(biāo)為（b＋a）／2h＝0.5，無(wú)量綱裂紋長(zhǎng)度為（b-a）／2h＝a0.材料屬性分布形式為指數(shù)函數(shù)形式，材料模量比分別為E2／E1＝0.1和10.內(nèi)部裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子由k0＝進(jìn)行無(wú)量綱化.

圖5 中心裂紋a端應(yīng)力強(qiáng)度因子Fig.5 Stress intensity factor of a-tip for the center crack

圖5中，橫坐標(biāo)代表無(wú)量綱裂紋長(zhǎng)度，縱坐標(biāo)代表中心裂紋a端的應(yīng)力強(qiáng)度因子值.圖5中給出兩條曲線(xiàn)，分別代表不同的模量比對(duì)應(yīng)的應(yīng)力強(qiáng)度因子.當(dāng)E2／E1＜1時(shí)，功能梯度板x＝h側(cè)的材料模量E2大于x＝0側(cè)的材料模量E1；E2／E1＞1（例如10），功能梯度板x＝h側(cè)的材料模量小于x＝0側(cè)的材料模量.可以看到，當(dāng)裂紋長(zhǎng)度較小時(shí)（例如a0＝0.05），隨著無(wú)量綱裂紋長(zhǎng)度的增加，裂紋尖端的無(wú)量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子不斷增加，當(dāng)裂紋長(zhǎng)度增加到a0＝0.3時(shí)，E2／E1＝0.1與E2／E1＝10時(shí)的無(wú)量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子差別很大，因此，不同的材料的模量比對(duì)裂紋尖端的無(wú)量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子有一定影響，由計(jì)算數(shù)據(jù)分析可以獲知，隨著裂紋長(zhǎng)度的增加，裂紋尖端靠近模量大的一側(cè)無(wú)量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子增加幅度大，這說(shuō)明材料剛度裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子受影響比較大.裂紋尖端無(wú)量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子一般隨著裂紋尺寸的增大而增大，在模量大的地方裂紋尖端無(wú)量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子較大.

3 結(jié) 語(yǔ)

功能梯度材料的斷裂往往源于材料內(nèi)部或表面裂紋的擴(kuò)展，而裂紋的擴(kuò)展又是從裂紋尖端開(kāi)始，應(yīng)力強(qiáng)度因子代表裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)的強(qiáng)弱.研究結(jié)果表明，功能梯度材料結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)及材料屬性對(duì)裂紋尖端無(wú)量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子的變化規(guī)律具有顯著影響.

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