圓錐曲線中最值、范圍、定值及存在性問題

●虞金龍

(紹興市第一中學(xué) 浙江紹興 312000)

圓錐曲線中最值、范圍、定值及存在性問題

●虞金龍

(紹興市第一中學(xué) 浙江紹興 312000)

1 考點回顧

圓錐曲線中最值、范圍、定值及存在性問題是歷年高考命題的熱點之一.此類問題涉及的知識面廣、綜合性大、隱蔽性強、計算量大，常常令考生頭疼.解決此類問題常常要用到數(shù)學(xué)思想方法，有時題設(shè)條件紛繁復(fù)雜，使得考生答題舉步維艱.近幾年的浙江省數(shù)學(xué)高考都考到圓錐曲線中最值、范圍、定值及存在性問題，本文給出該類題型的一些解法，旨在拋磚引玉.

2 典題剖析

2.1 最值問題

解答圓錐曲線中最值問題的常用方法有：幾何法、函數(shù)法、不等式法.幾何法是根據(jù)圖形幾何性質(zhì)求解的方法；函數(shù)法是指將所求變量表示成某個相關(guān)變量的函數(shù)，再求函數(shù)的最值；不等式法是根據(jù)曲線性質(zhì)及條件建立一個關(guān)于所求變量的不等式，再解不等式求其最值的方法．

圖1

(1)求橢圓C的方程;

(2)求△ABP的面積取最大時直線l的方程.

(2012年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

從而

從而

3x2-3mx+m2-3=0.

顯然Δ=(3m)2-4×3(m2-3)=3(12-m2)>0,

故

由韋達(dá)定理，得

又因為點P(2,1)到直線l的距離為

下面利用導(dǎo)數(shù)求解:令u(m)=(4-m)2(12-m2),則

u′(m)= -4(m-4)(m2-2m-6)=

評注本題是利用函數(shù)法求最值，特別是最后用導(dǎo)數(shù)求解，學(xué)生往往難以想到，有一定的難度.

2.2 范圍問題

圓錐曲線中的范圍問題，一般先根據(jù)條件列出所求目標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、不等式法、單調(diào)性法、導(dǎo)數(shù)法以及三角函數(shù)最值法等求出它的最大值和最小值，從而確定參數(shù)的范圍.

圖2

例2如圖2,動點M與2個定點A(-1,0),B(2,0)構(gòu)成△MAB,且∠MBA=2∠MAB,設(shè)動點M的軌跡為C.

(1)求軌跡C的方程;

(2012年四川省數(shù)學(xué)高考試題)

分析(1)軌跡C的方程為

3x2-y2-3=0(x>1).

由題意,方程(1)有2個根且均在(1,+∞)內(nèi).設(shè)f(x)=x2-4mx+m2+3,則

解得

m>1且m≠2.

設(shè)點Q,R的坐標(biāo)分別為(xQ,yQ),(xR,yR),由|PQ|<|PR|，得

由m>1且m≠2,得

2.3 定值問題

圓錐曲線中的定值問題包括幾何量的定值或曲線系(直線系)過定點等問題，處理時可以直接推理求出定值，也可以先通過特定位置猜測結(jié)論后進(jìn)行一般性證明.對于客觀題，通過特殊值法探求定點、定值能達(dá)到事半功倍的效果．

例3在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的點均在圓C2:(x-5)2+y2=9外,且對C1上任意一點M,M到直線x=-2的距離等于該點與圓C2上點的距離的最小值.

(1)求曲線C1的方程.

(2)設(shè)P(x0,y0)(y0≠±3)為圓C2外一點,過點P作圓C2的2條切線,分別與曲線C1相交于點A,B和點C,D.證明:當(dāng)點P在直線x=-4上運動時,點A,B,C,D的縱坐標(biāo)之積為定值.

(2012年湖南省數(shù)學(xué)高考試題)

分析(1)曲線C1的方程為y2=20x.

(2)當(dāng)點P在直線x=-4上運動時,點P的坐標(biāo)為(-4,y0).又y0≠±3,則過點P且與圓C2相切的直線斜率k存在且不為0.由題意，每條切線都與拋物線C1：y2=20x有2個交點,則切線方程為

y-y0=k(x+4),

即

kx-y+y0+4k=0,

于是

整理得

(2)

設(shè)過P所作的2條切線PA,PC的斜率分別為k1,k2,則k1,k2是方程(2)的2個實根,故

設(shè)點A,B,C,D的縱坐標(biāo)分別為y1,y2,y3,y4,則y1,y2是方程(4)的2個實根,所以

(6)

于是由式(3)～(6)得

因此，當(dāng)點P在直線x=-4上運動時,點A,B,C,D的縱坐標(biāo)之積為定值6 400.

評注本題考查曲線與方程、直線與曲線的位置關(guān)系,考查運算能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)思想方法.第(1)小題用直接法或定義法求出曲線的方程;第(2)小題設(shè)出切線方程,把直線與曲線方程聯(lián)立,由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到點A,B,C,D縱坐標(biāo)之積為定值,體現(xiàn)“設(shè)而不求”思想.

2.4 存在性問題

圓錐曲線中的存在性問題也很受高考命題教師的青睞.這類題的解題策略有2個：(1)先假設(shè)存在，然后建立等量關(guān)系,若能求出相應(yīng)的量就存在，否則就不存在；(2)若能直接找到所求的量，則就能判斷存在與否，進(jìn)而解決問題.

(1)求曲線C的方程.

(2)動點Q(x0,y0)(-2

(2012年江西省數(shù)學(xué)高考試題)

分析(1)曲線C的方程:x2=4y.

解得點D,E的橫坐標(biāo)分別是

則

又因為

所以

對任意x0∈(-2,2),要使△QAB與△PDE的面積之比是常數(shù),t只需滿足

解得t=-1,此時△QAB與△PDE的面積之比為2.故存在t=-1,使△QAB與△PDE的面積之比是常數(shù)2.

評注本題以平面向量為載體,考查拋物線的方程、直線與拋物線的位置關(guān)系以及分類討論的數(shù)學(xué)思想.

2.5 綜合性問題

圓錐曲線中最值、范圍、定值及存在性等綜合性問題，它涉及到圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，同時又與三角函數(shù)、函數(shù)、不等式、方程、平面向量等代數(shù)知識緊密聯(lián)系.解這類問題時，需要有較強的代數(shù)運算能力和圖形識別能力，能準(zhǔn)確地進(jìn)行數(shù)與形的語言轉(zhuǎn)換和運算、推理轉(zhuǎn)換，并在運算過程中注意思維的嚴(yán)密性.

(1)求拋物線C的方程.

(2)是否存在點M,使得直線MQ與拋物線C相切于點M?若存在,求出點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

(2012年山東省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析(1)拋物線C的方程為x2=2y.

從而

由x2=2y,得

則

即

從而

Δ=4k2+2>0.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則

|AB|2= (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=

(1+k2)(4k2+2).

于是

評注本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與拋物線的位置關(guān)系引申出的相關(guān)探討性問題及最值問題，是一個綜合性較強的題目.

例6設(shè)A是單位圓x2+y2=1上的任意一點,l是過點A與x軸垂直的直線,D是直線l與x軸的交點,點M在直線l上,且滿足|DM|=m|DA|(m>0且m≠1).當(dāng)點A在圓上運動時,記點M的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程,判斷曲線C為何種圓錐曲線,并求其焦點坐標(biāo).

(2)過原點且斜率為k的直線交曲線C于點P,Q,其中點P在第一象限,它在y軸上的射影為點N,直線QN交曲線C于另一點H.問：是否存在m,使得對任意的k>0,都有PQ⊥PH?若存在,求m的值;若不存在,請說明理由.

圖3

(2012年湖北省數(shù)學(xué)高考試題)

分析(1)如圖3,設(shè)M(x,y),A(x0,y0),則由|DM|=m|DA|(m>1,且m≠1),得x=x0,|y|=m|y0|,從而

(7)

因為點A在單位圓上運動,所以

將式(7)代入式(8),即得所求曲線C的方程為

圖4 圖5

(2)如圖4和圖5,對任意k>0，設(shè)P(x1,kx1),H(x2,y2),則點Q的坐標(biāo)為(-x1,-kx1),點N的坐標(biāo)為(0,kx1),直線QN的方程為

y=2kx+kx1,

將其代入橢圓C的方程并整理可得

依題意可知此方程的2個根為-x1,x2,于是由韋達(dá)定理可得

即

因為點H在直線QN上,所以

而PQ⊥PH等價于

評注本題主要考查曲線的軌跡方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,要求能正確理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì),并能熟練運用代數(shù)方法解決幾何問題,對運算能力有較高要求.

3 精題集萃

圖6

(1)求橢圓E的方程.

(2)設(shè)動直線l:y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P,且與直線x=4相交于點Q.試探究:在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M?若存在,求出點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

(2012年福建省數(shù)學(xué)高考試題)

2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知雙曲線C1:2x2-y2=1.

(1)過C1的左頂點引C1的一條漸近線的平行線,求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積.

(2)設(shè)斜率為1的直線l交C1于點P,Q,若l與圓x2+y2=1相切,求證:OP⊥OQ.

(3)設(shè)橢圓C2:4x2+y2=1.若M,N分別是C1,C2上的動點,且OM⊥ON,求證:點O到直線MN的距離是定值.

(2012年上海市數(shù)學(xué)高考試題)

(1)求橢圓的方程.

(2)設(shè)A,B是橢圓上位于x軸上方的2個點,且直線AF1與直線BF2平行,AF2與BF1交于點P.

②求證:PF1+PF2是定值.

(2012年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題)

圖7 圖8

(1)求直線AA1與直線A2B交點M的軌跡方程.

(2012年遼寧省數(shù)學(xué)高考試題)

(1)求橢圓C的方程.

(2)在橢圓C上,是否存在點M(m,n),使得直線l:mx+ny=1與圓O:x2+y2=1相交于2個不同的點A,B,且△OAB的面積最大?若存在,求出點M的坐標(biāo)及對應(yīng)的△OAB的面積;若不存在,請說明理由.

(2012年廣東省數(shù)學(xué)高考試題)

參考答案

(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.

由題意，得

Δ=64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,

即

4k2-m2+3=0.

因為

從而

由于對任意m,k恒成立,聯(lián)立可得x1=1.故存在定點M(1,0)符合題意.

從而

同理可得

設(shè)點O到直線MN的距離為d，因為

(|OM|2+|ON|2)d2=|OM|2|ON|2,

所以

即

綜上,點O到直線MN的距離是定值.

(2)①解由第(1)小題得F1(-1,0),F2(1,0).因為AF1∥BF2,所以可設(shè)AF1,BF2的方程分別為my=x+1,my=x-1.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),y1>0,y2>0,則

從而

即

因此

(9)

(10)

由式(9)和式(10)得

即

解得

m2=2.

②證明因為AF1∥BF2,所以

即

從而

因此

同理

于是

由式(9)和式(10)得

從而

即PF1+PF2是定值.

(2)證明設(shè)A′(x2,y2)，由矩形ABCD與矩形A′B′C′D′的面積相等，得

4|x1||y1|=4|x2||y2|,

故

因為點A，A′均在橢圓上，所以

由t1≠t2,知x1≠x2,因此

從而

于是

而M(m,n)是橢圓上的點,因此

即

m2=3-3n2,

于是

綜上所述,橢圓上存在4個點，坐標(biāo)分別為