二面角的求法復(fù)習(xí)

●吳旻玲

(嘉興市第一中學(xué) 浙江嘉興 314050)

二面角的求法復(fù)習(xí)

●吳旻玲

(嘉興市第一中學(xué) 浙江嘉興 314050)

2012年11月6～7日，由本刊主辦的浙江省首屆高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)有效性研討會在浙江省嘉興市第一中學(xué)舉行.在研討會上，筆者執(zhí)教了高三第一輪復(fù)習(xí)課“二面角的求法”.

1 課堂實(shí)錄

1.1 分析考情，引入課題

(投影：近3年高考立體幾何考查內(nèi)容統(tǒng)計(jì)表、考試說明.)

教師：你知道什么是二面角嗎？

學(xué)生：有一條直線和從這條直線出發(fā)的2個(gè)半平面構(gòu)成的圖形稱為二面角.

教師：二面角的大小用什么來度量？

學(xué)生：二面角的平面角，范圍是[0,π].

教師：很好.考試說明對二面角的要求是“理解”，我們不僅要知道二面角的概念，還要會熟練地求解二面角.今天，我們就一起來復(fù)習(xí)二面角的求法.

圖1

1.2 具體實(shí)例，回顧方法

(1)二面角B-AP-D的大小.

學(xué)生：90°.因?yàn)锳B⊥PA,AD⊥PA,所以∠BAD即二面角B-AP-D的平面角.

教師：很好.由二面角平面角的定義(如圖2)，我們解決了這個(gè)問題.

(板書：定義法.)

圖2 圖3 圖4

由圖3也可以看出，棱與直線a,b所在平面垂直，因此我們也可以作出棱的一個(gè)垂面，找到這個(gè)面和已知2個(gè)半平面的交線，從而找出平面角.

(板書：作棱的垂面.)

(2)二面角A-PC-B的平面角的余弦值.

學(xué)生：作BH⊥AC，又AP⊥BH，因此BH⊥面APC，得BH⊥PC.

作BE⊥PC于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)EH.因?yàn)镻C⊥面BEH，所以PC⊥BE，PC⊥EH,由定義可知，∠BEH即二面角的平面角.

(學(xué)生口述，教師板書.)

教師：為什么要作BH⊥AC呢？

學(xué)生：因?yàn)槠矫鍼AC與平面ABC垂直，只要作交線的垂線，就能從面面垂直的性質(zhì)得到線面垂直.

教師：非常好，這也是我們作一個(gè)面的垂線常用的方法.在此題中，通過在一個(gè)面內(nèi)過一個(gè)點(diǎn)作另一個(gè)面的垂線，再過這個(gè)點(diǎn)作棱的垂線，然后聯(lián)結(jié)2個(gè)垂足，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，可直接找出二面角的平面角,如圖4.你能快速給出解答嗎？

(板書：作其中一個(gè)面的垂線.)

從而

(3)平面PAB與平面PCD所成的銳角.

教師：這個(gè)二面角與前面的二面角不一樣，它沒有棱，只有一個(gè)交點(diǎn).這2個(gè)面會不會只有一個(gè)交點(diǎn)呢？

學(xué)生：不會，根據(jù)公理2，2個(gè)平面相交，一定有1條交線.

教師：那這條交線在哪里呢？

學(xué)生1：過點(diǎn)P作AB的平行線，這條直線就是二面角的棱.

教師：你是怎么找到這條直線的？為什么這條直線與AB，CD平行呢？

教師：直線CD與平面PAB是什么關(guān)系？

學(xué)生1：平行.

教師：而二面角的棱是平面PAB與平面PCD的交線，那么……

學(xué)生1：由線面平行的性質(zhì)，過直線CD的平面PCD與平面PAB的交線與CD平行.

教師：很好，由線面平行的性質(zhì)可以找出這條隱形棱.那二面角的平面角可以找到了嗎？

圖5

學(xué)生1：∠APD就是平面角.

(板書：補(bǔ)棱.)

學(xué)生2：還可以把這個(gè)圖形補(bǔ)成一個(gè)長方體，如圖5，這樣只要求二面角A-PQ-D的大小就可以了.

教師：非常好，通過補(bǔ)形,將這個(gè)無棱二面角變成了一個(gè)常規(guī)的二面角,問題也就迎刃而解了.補(bǔ)形是我們在解決立體幾何問題時(shí)常用的方法.

學(xué)生3:可以找2個(gè)面的垂線.作AG⊥PD,可以證明AG⊥平面PCD,而AD⊥平面PAB,那么二面角的大小可以轉(zhuǎn)化成AG,AD所成角.

教師：很好，這個(gè)類似于用平面的法向量求2個(gè)平面所成的角.需要注意的是，直線所成角與二面角的范圍是不一樣的，可能會是補(bǔ)角.

(板書：找2個(gè)面的垂面.)

教師：如果這是個(gè)選擇題或者填空題，還有更快捷的方法嗎？

學(xué)生4：可以用面積法.

教師：好的，但是這個(gè)方法不太適用于解答題.

(板書：面積法.)

教師：以上這些方法，是我們求二面角常用的幾種途徑.求二面角的平面角有以下幾種途徑：①利用定義；②作棱的垂面；③作面的垂線；④無棱二面角：尋找隱形的棱、找2個(gè)面的垂線、面積法……

(4)過點(diǎn)B作AC的垂線交AD于點(diǎn)E，取PC的中點(diǎn)F，求平面BEF與面BAP所成的角.

教師：這也是一個(gè)無棱的二面角，剛才我們已經(jīng)研究了無棱二面角的幾種求法，現(xiàn)在到了你自己選擇最優(yōu)方法的時(shí)候，請思考.

圖6 圖7

學(xué)生：如圖6，跟第(3)小題類似，只要找到面BEF的垂線，即PC.因此平面BEF與平面BAP所成的角也就是PC,BC所成角，即∠PCB=45°.

教師：非常好.這是2010年陜西省數(shù)學(xué)高考題，解題的關(guān)鍵在于找到平面BEF的垂線.在解題時(shí)，往往有很多種途徑，這就要求我們能很快地篩選出適合這道題目的最優(yōu)方法.這需要我們在平時(shí)不斷地去嘗試、積累經(jīng)驗(yàn).

1.3 變式教學(xué)，提升能力

(1)求二面角A-PB-C的平面角的余弦值.

學(xué)生5(投影)：取AB的中點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)CE，則CE⊥面PAB.作CF⊥PB，聯(lián)結(jié)EF，則PB⊥面EFC，從而PB⊥EF,PB⊥FC,因此∠EFC即所求角.

教師：這位同學(xué)用了我們前面復(fù)習(xí)的作另一個(gè)面的垂線的方法作出了二面角的平面角，并將它放入一個(gè)直角三角形中求解.在求CF的時(shí)候，用到了面積轉(zhuǎn)換法，這是求點(diǎn)線距離的一種常用方法.

學(xué)生6(投影)：設(shè)H為點(diǎn)C在平面PAB內(nèi)的射影.因?yàn)閂P-ABC=VC-PAB,所以

教師：從一個(gè)面內(nèi)找一個(gè)點(diǎn)作另一個(gè)面的垂線是難點(diǎn)，有時(shí)垂足很難找到.這位同學(xué)用體積轉(zhuǎn)換法求點(diǎn)到面的距離，不需要找到垂足，是一種很好的方法.

學(xué)生：聯(lián)結(jié)AC交BD于點(diǎn)O，則OQ⊥BD,OC⊥BD，∠QOC即二面角Q-BD-C的平面角.

教師：很好，由定義找出平面角.怎么求解呢？

學(xué)生：如圖8，放到△PAC里求解.

圖8

教師：非常好.我們在計(jì)算立體幾何中的數(shù)量關(guān)系時(shí)，常常把要求解的問題放到平面中去解決，這體現(xiàn)了一種化歸的思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想是我們高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中重要的數(shù)學(xué)思想之一.下面我們一起來解決這個(gè)問題(學(xué)生口述，教師板書).

……

教師：我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)Q為靠近C的三等分點(diǎn)時(shí)，滿足題意.若我們在PB,PD上各取中點(diǎn)M,N，你能找出二面角A-MN-Q的平面角嗎？

學(xué)生：取MN的中點(diǎn)S，根據(jù)定義，∠ASQ就是所求的平面角.

教師：這就是2012年浙江省數(shù)學(xué)高考題.我們已經(jīng)解決了其中的第一步，剩下的部分留作大家的課后作業(yè).

1.4 課堂小結(jié)，總結(jié)升華

教師：這節(jié)課你有什么收獲呢？請從數(shù)學(xué)知識、方法、思想這3個(gè)方面來說明.

學(xué)生：鞏固了二面角的概念、復(fù)習(xí)了求二面角的幾種方法、體會了轉(zhuǎn)化與化歸的思想.

圖9

1.5 作業(yè)布置，鞏固提升

(2012年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

2 教學(xué)反思

本節(jié)課是有關(guān)“二面角”的高三第一輪復(fù)習(xí)課，在本課題之前，學(xué)生已經(jīng)復(fù)習(xí)了平面與平面平行、垂直的判定及性質(zhì)，具備了一定的空間想象能力和求解論證的能力.本節(jié)課的內(nèi)容是高考中立體幾何考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，因此，筆者特意安排了一節(jié)課專門復(fù)習(xí)二面角的求法.由于還未復(fù)習(xí)空間向量的內(nèi)容，因此在本節(jié)課的設(shè)計(jì)中并未涉及用空間向量求解二面角的方法，有待于后面繼續(xù)學(xué)習(xí).

本節(jié)課的重點(diǎn)是二面角平面角的概念和作法.因此設(shè)計(jì)了問題1中的前3個(gè)小題，用以鞏固二面角的概念，通過具體的實(shí)例，提煉尋找二面角平面角的常用方法.問題1的第(4)小題，則讓學(xué)生體驗(yàn)如何在已有的方法中選擇最優(yōu)方法來求解，提高解題效率.

本節(jié)課的難點(diǎn)是如何作二面角的平面角.在教學(xué)過程中，特別關(guān)注學(xué)生在作平面角過程中的體驗(yàn)，在學(xué)生自主思考和回答的基礎(chǔ)上，教師及時(shí)地點(diǎn)撥和總結(jié)，師生共同體會作平面角的關(guān)鍵步驟和方法，比如如何借助面面垂直的性質(zhì)作另一個(gè)面的垂線、在難以作出垂線的情況下又如何用其他的方法求解等.通過教師層層遞進(jìn)的問題，學(xué)生親自動(dòng)手的體驗(yàn)，逐步突破難點(diǎn).

問題2的設(shè)計(jì)是問題1的變式和拓展，將問題1的點(diǎn)定求角問題，變化成為了角定求點(diǎn)問題，將學(xué)生的思維引向了一個(gè)更高的層次.期望通過這些問題的解決，使學(xué)生體會轉(zhuǎn)化與化歸的思想，提高學(xué)生空間想象能力和運(yùn)算求解能力.

2.1 成功之處

本節(jié)課的內(nèi)容是高考中立體幾何考查的重點(diǎn)內(nèi)容，教師對例題的選擇精到且典型，思維張力大，教學(xué)密度高.從問題中引出概念、提煉方法，有效地變化和延伸，層層遞進(jìn)，巧妙地實(shí)現(xiàn)知識的拓展與遷移.問題設(shè)置由淺入深、環(huán)環(huán)相扣，將學(xué)生思維牢牢吸引，與教師一起鉆研和求證.整堂課師生在一同探求知識的同時(shí)，還非常注重?cái)?shù)學(xué)思想和方法的學(xué)習(xí).

2.2 幾點(diǎn)遺憾

課題以高考考情分析和考綱分析引入，讓學(xué)生明白本課題在高考中的重要地位.這樣做目的明確，但難以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)本課題的興趣.

課堂容量稍大.問題1的前3個(gè)小題用以復(fù)習(xí)概念、提煉方法，第(4)小題讓學(xué)生體會如何選擇最優(yōu)方法.問題2的第(1)小題與問題1的第(2)小題題型有雷同，所用時(shí)間較多，且學(xué)生思維層次沒有得到提高，導(dǎo)致后面的問題時(shí)間緊張，有虎頭蛇尾之感.

由于課堂容量大，教師的課堂節(jié)奏較快，在學(xué)生思考時(shí)有牽著學(xué)生走的感覺，以教師的思維引導(dǎo)和替代學(xué)生的思維.

2.3 如何設(shè)計(jì)一節(jié)有效的立體幾何復(fù)習(xí)課

本次研討會的主題是“數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的有效性研究”，這也是一直縈繞著筆者的一個(gè)難題.很多高三教師都覺得，立體幾何復(fù)習(xí)課不好上，那么怎樣的立體幾何復(fù)習(xí)課才是有效的呢？以下是筆者的一點(diǎn)看法.

2.3.1 以生為本，以學(xué)定教

任何一節(jié)課都應(yīng)遵循“以學(xué)生發(fā)展為本”的新課程理念，讓學(xué)生在教師的幫助和指導(dǎo)下，有意識、有興趣地參與課堂教學(xué)活動(dòng)，感受知識的學(xué)習(xí)過程，才能實(shí)現(xiàn)知識的有效遷移與重組，才能真正的實(shí)現(xiàn)課堂的高效.同時(shí)，也只有根據(jù)學(xué)生身心發(fā)展規(guī)律及其學(xué)習(xí)情況來確定教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方式，也即“以學(xué)定教”，才能獲得真正符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的教學(xué)設(shè)計(jì)，使得學(xué)生在有限的40分鐘課堂內(nèi)學(xué)到更多的知識和方法.

2.3.2 問題成串，引導(dǎo)思維

問題是引發(fā)學(xué)生思維與探索活動(dòng)的向?qū)?，是學(xué)生課堂活動(dòng)的載體，有效的問題能激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲.通過問題，可以把知識的邏輯結(jié)構(gòu)與學(xué)生的思維過程有機(jī)聯(lián)系起來，使知識的邏輯結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)；通過問題，能使學(xué)生主動(dòng)探究、發(fā)現(xiàn)問題、理解數(shù)學(xué)本質(zhì).但是，問題不是越多越好，應(yīng)該從問題能否引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突、能否激發(fā)學(xué)生求知欲望、能否幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律、能否幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)等方面來衡量問題的好壞與有效性.

2.3.3 舍得放手，培養(yǎng)能力

高三復(fù)習(xí)課，教師的講授仍然是最重要的教學(xué)方式之一，但要注意的是必須關(guān)注學(xué)生的主體參與，師生互動(dòng).尤其在課堂上，要舍得放手，留出讓學(xué)生思考的時(shí)間和空間.授人以魚不如授人以漁，教師要教會學(xué)生學(xué)習(xí)的方法，要培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的能力，而不是以自己的思維代替學(xué)生的思維.當(dāng)然，學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)重在平時(shí),比如空間想象能力的培養(yǎng)，絕不是一、兩節(jié)課就能達(dá)成的，平時(shí)可通過讓學(xué)生自己作圖、學(xué)會看圖來增加空間感覺，通過圖形轉(zhuǎn)化、構(gòu)造新圖形等等，來培養(yǎng)空間的想象能力.能力的培養(yǎng)，滲透在每一堂課的教學(xué)之中；能力的培養(yǎng)，任何時(shí)候開始都不算早.