基于非線性模型預(yù)測的船舶動力定位控制器設(shè)計

王元慧，隋玉峰，吳靜

(哈爾濱工程大學(xué) 自動化學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

船舶動力定位(dynamic positioning，DP)是指在有風(fēng)、浪、流的干擾情況下，不借助錨泊系統(tǒng)，利用本身的推進(jìn)裝置使船舶保持一定的位置和角度或按照預(yù)定的運動軌跡運動.動力定位系統(tǒng)主要應(yīng)用于海上作業(yè)船和平臺的定點系泊，還可應(yīng)用于相對潛水器的軌跡控制.其控位精度高、靈活性好，而且成本不會隨著水深增加而增加，日益受到重視，得到大力發(fā)展.DP系統(tǒng)的控制技術(shù)發(fā)展到現(xiàn)在可分為3個階段，第1階段通常采用常規(guī)的PID控制規(guī)律，第2階段以現(xiàn)代控制理論為基礎(chǔ)，即最優(yōu)控制和Kalman濾波理論相結(jié)合，第3階段采用智能控制理論和方法，例如魯棒控制、模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、非線性模型預(yù)測控制等［1-3］.模型預(yù)測控制是20世紀(jì)70年代產(chǎn)生，發(fā)展至今成為在工業(yè)中被廣為接受的先進(jìn)控制技術(shù).它能夠顯示的處理帶有不同類型約束、而控制規(guī)律又不能離線計算得到的多變量約束控制問題，而且有提前預(yù)測的功能，可以在偏差產(chǎn)生之前就進(jìn)行校正，對系統(tǒng)參數(shù)和環(huán)境變化有很好的魯棒性.國內(nèi)外對模型預(yù)測控制的研究不斷深入，取得了很多新的研究成果，例如一些基于非線性模型(Wiener模型、Hammerstein模型、Volterra模型等)的預(yù)測控制算法;還有一些與智能控制算法相結(jié)合的算法產(chǎn)生，例如模糊預(yù)測控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測控制、支持向量機預(yù)測控制等［4-6］.Chen在前人的基礎(chǔ)上提出了切換解析模型預(yù)測控制算法.該算法具有模型預(yù)測控制一般特點，并吸取反饋線性化的優(yōu)點，成為一種重要的算法.張國銀等人對Chen提出的切換解析模型預(yù)測控制算法進(jìn)行改進(jìn)，提出了基于相關(guān)度的非切換解析模型預(yù)測控制算法，避免了控制器在不同狀態(tài)間進(jìn)行切換，有效的避免了系統(tǒng)震蕩［7-8］.

本文基于非切換解析模型預(yù)測控制理論和方法，設(shè)計一種船舶動力定位控制器，使船舶能夠快速準(zhǔn)確移動到指定位置，并保持位置.

1 船舶仿真系統(tǒng)模型

在風(fēng)、浪、流共同作用的復(fù)雜海況下，船舶在海面上作六自由度的運動.在船舶動力定位中，對于傳統(tǒng)水面船，一般只考慮水面3種自由度的運動即可，即:縱蕩(surge)、橫蕩(sway)、艏搖(yaw).在建模中，假設(shè)船舶模型的慣性矩陣M以及阻尼矩陣D均為已知，并且均為時不變矩陣，船舶做低速運動，二次項可以忽略不計，最終可以得到三自由度船舶模型如下所示［9-12］:

式中:η=［x y ψ］T為北東坐標(biāo)系下船舶的北向位置、東向位置和艏向角，v=［u v r］T為船體坐標(biāo)系下縱向速度、橫向速度以及轉(zhuǎn)艏角速度，R(ψ)為北東坐標(biāo)系與船體坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)變換矩陣，M為包括剛體質(zhì)量和附加質(zhì)量的船舶慣量矩陣，D為阻尼矩陣，τ為控制力和力矩矩陣.它們的結(jié)構(gòu)形式如下:

本文控制器的設(shè)計理論基于微分方程組形式，因此根據(jù)式(2)～(5)，將式(1)展開可以得到船舶方程的微分方程組形式:

2 動力定位系統(tǒng)控制器設(shè)計

2.1 基本概念

定義1 給定一個x= [x1x2… xn]T的標(biāo)量函數(shù) h(x)與一個向量函數(shù) f(x)=[f1f2…fn]T，則沿著f的李導(dǎo)數(shù)定義為

即函數(shù)h沿向量場f的李導(dǎo)數(shù)就是h在向量場方向的梯度.

高階李導(dǎo)數(shù)定義為

若g是另一個向量場，則

式中:x∈Rn，u∈R，y∈R分別為系統(tǒng)的狀態(tài)向量、控制輸入和系統(tǒng)輸出.f(x)、g(x)、h(x)均為光滑的向量函數(shù).假設(shè)對上述系統(tǒng)的平衡點 x0有f(x0)=0，h(x0)=0，g(x0)≠0.

定義2 非線性系統(tǒng)稱為在x0點處具有確定相關(guān)度ρ，如果

考慮單輸入單輸出的非線性系統(tǒng):

條件2)說明x0的任意一個鄰域內(nèi)系統(tǒng)都具有相關(guān)度ρ.

如果在x0滿足=0，而在x0的一個鄰域內(nèi)存在一點滿足條件≠0，那么 x0稱為奇異點(singular point)，此時稱上述非線性系統(tǒng)的相關(guān)度不確定(ill-defined).

2.2 控制器設(shè)計過程

非線性模型預(yù)測控制與傳統(tǒng)的線性模型預(yù)測控制一樣，也是一種基于優(yōu)化的控制策略，都符合模型預(yù)測控制的基本原理:預(yù)測模型、滾動優(yōu)化和反饋校正.由于其本身的非線性特性，最適合用于強非線性、多約束等過程控制系統(tǒng)，因此得到廣泛應(yīng)用.

船舶模型具有非線性、時滯性等特點，考慮其控制的特殊性，本文利用系統(tǒng)相關(guān)度概念，根據(jù)非線性模型預(yù)測控制原理，設(shè)計實現(xiàn)控制器.

控制目標(biāo)是:設(shè)計控制器 (τX，τY，τN)使得系統(tǒng)的輸出x、y和ψ能夠快速準(zhǔn)確的移動到設(shè)定狀態(tài)，并且能夠保持狀態(tài).

假設(shè)1 系統(tǒng)輸出(x，y，ψ)和期望輸出(xd，yd，ψd)連續(xù)，可做足夠次數(shù)的微分運算.

將系統(tǒng)寫成如下的規(guī)范形式:

其中，x∈Rn為系統(tǒng)的狀態(tài)向量，u∈Rl為系統(tǒng)的控制輸入，y∈Rm為系統(tǒng)的輸出，n=6，l=3，m=3.

其中:

模型預(yù)測控制設(shè)計需要給出一個具體的性能指標(biāo).為了能夠綜合考慮各個方面的作用，給出一個在滾動時域內(nèi)的性能指標(biāo)函數(shù)如下所示:

式中:T 是預(yù)測周期，μ1、μ2、μ3是非負(fù)的(通常情況下，μ2是正數(shù)，而 μ1，μ3可以取零)，分別反映了輸出終端約束、跟蹤誤差以及控制量所占的權(quán)重;(t+T)和(t+T)分別為系統(tǒng)的輸出和期望輸出在滾動時域［t，t+T］內(nèi)的預(yù)測值，上標(biāo)“∧”代表預(yù)測值，期望輸出的預(yù)測值一般是設(shè)定值，因此是確定的.

模型預(yù)測控制可以表述為在一個滾動時域［t，t+T］內(nèi)，用 ^x(τ)表示系統(tǒng)狀態(tài)，用 ^u(τ)表示控制輸入，那么系統(tǒng)在滾動時域內(nèi)的動態(tài)方程可表示為

其初始狀態(tài)即為系統(tǒng)當(dāng)前狀態(tài)，即

根據(jù)式(18)和(19)的約束下，可以預(yù)測［t，t+T］時間段內(nèi)系統(tǒng)的輸出.據(jù)此，最小化性能指標(biāo)J的問題就是尋找［t，t+T］時間段內(nèi)的最優(yōu)控制輸入^u(t+τ).綜上所述，非線性模型預(yù)測控制可以描述為:

式(18)和(19)約束.

式(20)與其他的控制思想一樣，并不需要計算 τ∈［0，T］內(nèi)所有的控制輸入 ^u(t+ τ)，而只需計算其初始值 ^x(t).實際的控制量u(t)可以采用最優(yōu)預(yù)測控制律 ^u(t+τ)的初始值 ^u(t)，即

綜上所述，在非線性預(yù)測控制中，系統(tǒng)的控制輸入總是取使性能指標(biāo)J最小的控制輸入，并且只關(guān)心^u(t+τ)的初始值.當(dāng)滾動時域時，性能指標(biāo)J逐漸減小，同時系統(tǒng)輸出逐漸接近期望值u(t).在數(shù)字控制技術(shù)及其工程實踐中，通常的控制量是分段函數(shù)，因此可以作如下假設(shè):

假設(shè)2 控制輸入在滾動時域［t，t+T］內(nèi)假設(shè)為常數(shù)，即

在這個假設(shè)條件下，^u的各階導(dǎo)數(shù)均為零.

為了得到非線性預(yù)測控制規(guī)律，需要將滾動時域［t，t+T］內(nèi)系統(tǒng)的輸出以及性能指標(biāo)進(jìn)行適當(dāng)階次的泰勒級數(shù)展開.

系統(tǒng)輸出^y(t+τ)以及期望輸出^yd(t+τ)可以表示為

因此式(17)所示的性能指標(biāo)J的N階泰勒級數(shù)展開可以近似為

式中

同理，

同理

在這里記

在此討論一下確定相關(guān)度以及不確定關(guān)系的問題.從以上的推導(dǎo)公式結(jié)合實際得到的值可以看出:對于所有狀態(tài)x滿足Lg3Lfh3=b2≠0，因此從相關(guān)度的定義可以看出，ρ3，3是確定相關(guān)度，并且 ρ3，3=2，在某些狀態(tài) x 為零，這就意味著 ρ11，ρ12，ρ13，ρ21，ρ22，ρ23，ρ31，ρ32是不確定相關(guān)度，其中 ρij(1≤i≤l，1≤j≤m)代表控制輸出ui到系統(tǒng)輸出yi的相關(guān)度.

文中選取泰勒級數(shù)展開階次為N=3，選取L=2.記

其中:

且

因此可以將^y(t)重寫為

將式(40)、(41)代入到式(29)中，得到方程

式中，

由式(42)，得到非切換解析模型預(yù)測控制的解:

取其初值，即為非切換解析模型預(yù)測控制的非線性船舶動力定位控制規(guī)律:

因為 q.，1(x)TMq.，1(x)+M3一定是正定的，具體證明過程在文獻(xiàn)［5］中有詳細(xì)的說明，因此控制規(guī)律解決了由奇異點引起的不確定相關(guān)度問題;并且該控制規(guī)律對所有狀態(tài)都是連續(xù)的，避免了在不同狀態(tài)之間進(jìn)行切換引起的震蕩，這就是“非切換”控制的由來.

3 仿真驗證

為了驗證基于非線性模型預(yù)測控制規(guī)律的有效性，進(jìn)行如下仿真實驗.本文采用某動力定位船作為仿真對象仿真試驗，主要參數(shù)如表1所示［10-11］.

表1 船舶主要參數(shù)Table 1 The parameters of the ship

選取預(yù)測周期 T=9.0s，μ1=1.0，μ2=0.000 5，μ3=0.

仿真時間共計500 s，設(shè)定仿真時船舶的初始狀態(tài)和期望狀態(tài)分別為:

根據(jù)上述系統(tǒng)的仿真參數(shù)，進(jìn)行船舶動力定位仿真系統(tǒng)，得到的仿真結(jié)果如圖1～3.

圖1 船舶位置和艏向角Fig.1 The position and heading angle of ship

圖2 船舶縱蕩、橫蕩速度和艏搖角速度Fig.2 The Speed and angular velocity of ship

圖3 船舶縱向、橫向力和艏搖力矩狀態(tài)Fig.3 The control force and m oment of ship

從以上仿真結(jié)果可以看出，將非切換模型預(yù)測控制算法應(yīng)用于DP控制器的設(shè)計，船舶動態(tài)響應(yīng)快速，穩(wěn)定性較好.從仿真曲線也可以看出，北向位置和東向位置有少量超調(diào)，但是都收斂較快;艏向角變化范圍比較小，但是穩(wěn)定時間相對較長.

4 結(jié)束語

本文利用非線性模型預(yù)測控制處理強非線性系統(tǒng)的優(yōu)勢，根據(jù)其原理設(shè)計了基于非線性模型預(yù)測控制算法的船舶動力定位控制器，選擇了合理參數(shù)，并在無風(fēng)浪流干擾情況下，驗證了非線性模型預(yù)測控制器的有效性.仿真結(jié)果表明，本文所設(shè)計的基于非線性模型預(yù)測理論的控制器能夠使船舶較快的達(dá)到預(yù)期狀態(tài)，證明了非線性模型預(yù)測在船舶動力定位上應(yīng)用的有效性.

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