線性規(guī)劃法在路基填料調(diào)配中的應(yīng)用

牛璽榮

（1.山西省交通科學研究 黃土地區(qū)公路建設(shè)與養(yǎng)護技術(shù)交通行業(yè)重點實驗室，太原 030006；2.長安大學 特殊地區(qū)公路工程教育部重點實驗室，西安 710064)

現(xiàn)代建筑體系建立后，鋼筋、水泥、混凝土的廣泛應(yīng)用不僅耗費了大量的能源、材料、土地和水等資源，而且造成了嚴重的環(huán)境破壞。據(jù)統(tǒng)計，現(xiàn)代建筑的全過程不僅耗用了全球50%的能源、42%水資源和50%的原材料，而且導(dǎo)致了全球50%的空氣污染、42%的溫室效應(yīng)、50%的水污染、48%的固體廢物、50%氟氯化物的排放。建筑高能耗對社會造成了沉重的能源負擔，已成為制約我國可持續(xù)發(fā)展的突出問題［1］。

我國在“十二五”期間，仍將擴大內(nèi)需作為重點發(fā)展方向，隨著擴大內(nèi)需政策的進一步實施，公路建設(shè)任務(wù)仍將會日益繁重。作為公路建設(shè)管理工作的重要組成部分，如何在貫徹“可持續(xù)發(fā)展”的理念下管理好有限的建設(shè)資金，以使其最大限度的發(fā)揮作用，是擺在每一位管理者面前的一項重要課題。合理的確定和有效的控制工程造價是造價管理最基本也是最重要的任務(wù)之一，而在目前市場經(jīng)濟的條件下，影響工程造價的諸多因素中，比較難以控制也是較為混亂的就是材料費，尤其是地方材料。

在公路工程成本中，材料費平均占50%左右，材料的采購、運輸、儲存與管理在工程施工中占重要地位［2］。國內(nèi)工程技術(shù)人員和科研工作者就建筑材料經(jīng)濟指標的計算以及選優(yōu)等方面大量利用了線性規(guī)劃法，涉及到水利、鐵路、公路等諸多行業(yè)［3-4］。曹征海［5］較早運用線性規(guī)劃提出了建筑材料供應(yīng)分配的最優(yōu)方案。謝時雨［6］在水電站施工建筑材料的調(diào)配中利用線性規(guī)劃法推求了3個水泥廠向4個工地供應(yīng)水泥的最優(yōu)方案。黃玉剛［7］（2006)利用線性規(guī)劃法計算了鐵路工程材料經(jīng)濟運距問題。趙祖林［8］將線性規(guī)劃法用在了土石方平衡運輸和調(diào)配中，并且取得了滿意的效果。但將線性規(guī)劃法用在公路路基填料的調(diào)配上報道較少。

山西忻（州)五（臺山)高速公路沿線有土、石料、砂礫、砂、石灰、工業(yè)廢料、水泥、水等地方性材料和資源，由于其分布相對比較分散，加上忻五高速公路路線作業(yè)面較長，考慮到“因地制宜、就地取材”的原則，筑路材料的選擇和調(diào)運存在最優(yōu)方案的選擇問題。下文以路基填料為例，介紹線性規(guī)劃法在路基填料調(diào)運中應(yīng)用。

1 線性規(guī)劃法及其求解方法

1.1 線性規(guī)劃法

決策變量、約束條件、目標函數(shù)是線性規(guī)劃的三要素，其數(shù)學模型的三要素具體為：

1)與自變量有關(guān)的若干個線性約束條件；

2)自變量的取值限制；

3)關(guān)于自變量的線性目標函數(shù)值。

線性規(guī)劃的一般形式為：

單純形算法和大M法只考慮最小值問題，即

對于最大值問題，可根據(jù)線性規(guī)劃的對偶定理轉(zhuǎn)化為最小問題。地方性材料的利用問題主要涉及材料費的問題，所以解決的是最小值問題。

1.2 求解方法

求解線性規(guī)劃的方法包括圖解法、單純形法、修正的單純形法、大M法、變量有界單純形法等。最基本的方法是單純形法，不管是修正的單純形法、大M法，還是變量有界單純形法，最終都是轉(zhuǎn)換成基本單純形法求解。本文重點介紹單純形算法的基本原理和求解步驟。

1.2.1 單純形法的算法原理

單純形法的基本思路是將可行域中某個基本可行解轉(zhuǎn)換到一個新的可行解，同時使得目標函數(shù)的值有所改善。

用單純形法求解線性規(guī)劃，應(yīng)先把一般形式轉(zhuǎn)換為標準形式再求解，即通過引進人工變量，將不等式約束變?yōu)榈仁郊s束，具體的操作過程可參考運籌學或線性規(guī)劃方面的書籍。

1.2.2 單純形法的算法步驟

用單純形算法求解如下線性規(guī)劃問題

的步驟如下；

a.確定初始基變量矩陣B，求解方程。

b.令xN＝0，計算f＝cBxB.其中xB和xN分別代表基變量和非基變量的值；cB表示基變量在目標函數(shù)中的系數(shù)。

c.求解方程ωB＝cB，對于所有非基變量計算判別數(shù)zj-cj＝ωpj-cj，其中pj為非基變量在約束系數(shù)矩陣中相對應(yīng)的列，令zk-ck＝max（zj-cj)，如果zk-ck≤0，則停止計算，輸出最優(yōu)解，否則轉(zhuǎn)d。

d.求解方程Byk＝pk，若yk的每個分量均不大于0，則問題不存在最優(yōu)解，否則轉(zhuǎn)e。

當求解變量比較多時，計算過程可以在計算機上編程實現(xiàn)。

2 路基填土的選擇

忻五高速公路K0—K43為平原微丘區(qū)，大部分段落為填方段落，本文路基填土選擇的計算過程以忻五高速公路路基第二合同段（K15＋210—K32＋000)主線為例，路基填筑段落以1km為一個單元，填方數(shù)量見表1。因挖方運距相對較短，且挖方填料一般都在本合同段內(nèi)使用，不存在購買問題，故填料選擇時未考慮挖方利用情況，材料費主要由較遠處的料場調(diào)運產(chǎn)生。

表1 路基二合同段填方段落及數(shù)量

經(jīng)過調(diào)查平原微丘區(qū)主要土場有部落、南王、閆徐莊、王家莊、青石北街、望景崗和黃土坡7處，望景崗和黃土坡已進入山嶺重丘區(qū)，運輸條件較差，可行的取土場為前5處。每個取土場可供的土方量按310000m3計，取土場相關(guān)信息見表2。取土場沿線分布情況見圖1所示。

圖1 取土場沿線分布示意圖

土方運費按0.4元／（km·m3)計，不考慮各料場的開采費用、不同運輸?shù)缆返牟町惣案采w層攤銷、松實方換算等，僅計算運費。計算運距時，以取土場至填筑單元（段落)中間樁號為準。計算后土方運費單價如表3所示。

表2 路基取土場統(tǒng)計表

表3 土方單位運費（aij)表（系數(shù)矩陣) 元／m3

與一般數(shù)學規(guī)劃問題類似，路基填土的選擇主要包括目標函數(shù)的建立、約束方程的確定和決策變量的限制三大步驟。

2.1 目標函數(shù)

式中：Vij為取土場i運往填筑區(qū)j的填筑用料，m3；Ci為料場i單位體積填筑料的開采單價，元／m3；Cij為單位體積填筑料從取土場i運往填筑區(qū)j的運輸單價，元／m3。為方便分析假定Ci＝0。

2.2 約束方程

2.2.1 儲量約束

填筑土方運輸數(shù)量不能超過該取土場的開采量，即：

填筑需要量約束，填筑段落運輸土方量等于需求數(shù)量，即：

2.2.2 決策變量的非負條件

以上問題為不平衡運輸問題，根據(jù)上述模型列出本問題的數(shù)學方程組如下：

因數(shù)據(jù)較多，需要引入多個松弛變量，求解較為復(fù)雜，本文采用Matlab提供的規(guī)劃求解方法進行分析［9］。以下為求解的部分源程序：

其計算結(jié)果見表4。

表4 各取土場土方調(diào)配結(jié)果 m3

通過對各約束變量的敏感性分析可知，采用優(yōu)化調(diào)配后方案為最優(yōu)解。優(yōu)化后運費為9591087元。

若以表3中85個系數(shù)矩陣的平均值作為平均運費，則其為8.07元／m3。若以平均運費為基準計算總運費，則產(chǎn)生的總運費為（8.07×1528495＝)12338263元。由此可見，采用線性規(guī)劃調(diào)運路基填料節(jié)約運費2747176元，經(jīng)濟效益顯著。

3 結(jié)束語

通過線性規(guī)劃法在忻五高速公路路基填料調(diào)運中的應(yīng)用，大量降低了材料運費?？梢哉J為所建立的線性規(guī)劃數(shù)學模型合理可行，為降低材料投資額提供了理論基礎(chǔ)，可以為類似工程所借鑒。

線性規(guī)劃法在工程實踐應(yīng)用過程中作了諸多假定，并不能真實反映實際情況，如合同段內(nèi)借方的無償利用帶來的對優(yōu)化求解的干擾，以及人為和社會因素等對約束方程的影響。應(yīng)在工程實施過程中隨 時調(diào)整目標函數(shù)和約束方程，以求調(diào)配方案的最優(yōu)。

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