非自治強(qiáng)阻尼梁方程的漸近行為

任永華，張建文

（太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，太原 030024）

眾所周知，非線性發(fā)展方程領(lǐng)域中系統(tǒng)的漸近行為自然地由相應(yīng)的半群的吸引子來(lái)描述[1-6]。其中，對(duì)系統(tǒng)吸引子的研究一直受到眾多數(shù)學(xué)物理學(xué)工作者的高度關(guān)注。宋雪麗等證明了具有非線性耗散項(xiàng)的三維Navier-Stokes方程強(qiáng)解整體吸引子的存在性[3]；而 Simsen Jacson和 Simsen Mariza Stefanello討論了p（x）-拉普拉斯微分方程組的漸近行為[4]。當(dāng)系統(tǒng)明顯地依賴于時(shí)間t時(shí)，情況變得相當(dāng)復(fù)雜，由于非自治系統(tǒng)中受到的與時(shí)間有關(guān)的外力作用破壞了自治系統(tǒng)所產(chǎn)生的半群性質(zhì)，那些在自治系統(tǒng)中發(fā)揮重要技術(shù)的關(guān)鍵理論不再適用，需要進(jìn)一步推廣。目前，非自治系統(tǒng)已經(jīng)取得了相當(dāng)?shù)倪M(jìn)展，文獻(xiàn)[5]研究了非自治弦方程的吸引子，但對(duì)于非自治梁方程的一致吸引子的研究相對(duì)較少。本文著重考慮如下非自治強(qiáng)阻尼梁系統(tǒng)在空間E＝V×H中的一致吸引子的存在性：

其中k≥0，u＝u（x，t）是關(guān)于變量x和t的Ω×[τ，＋∞）的算子函數(shù)。Ω?Rn（n∈N）是一個(gè)有界開集，且具有充分光滑的邊界Γ.h＝h（x，t）∈Η（h0）與時(shí)間相關(guān)，且在（R，L2（Ω））上是平移緊的。這里，我們?cè)O(shè)

1 解的存在唯一性

是一個(gè)自伴正定線性算子，并具有特征值｛λi｝i∈N滿足0＜λ1≤λ2≤ … ≤λm…，λm→＋∞（m→＋∞）；

分別表示H＝L2（Ω），和V＝H20（Ω）上的內(nèi)積和范數(shù)。

下面考慮系統(tǒng)（1）-（3）.為了證明解的存在性，我們假設(shè)

其中?s1，s2∈R，C1，C2為非負(fù)常數(shù)，｜·｜0為 R上數(shù)的絕對(duì)值。

其中?s∈R，β1，β2為常數(shù)。

這樣我們?nèi)菀讓⑾到y(tǒng)（1）-（3）簡(jiǎn)化為關(guān)于時(shí)間的一階抽象發(fā)展方程。令?u／?t＝v，系統(tǒng)等價(jià)于Hilbert空間E上的初值問(wèn)題：

由文獻(xiàn)[1，2]知，C是一個(gè)扇形算子，且是E中解析半群eCt的無(wú)窮小生成元。由參考文獻(xiàn)[6]，易知N（U，t）在E上是全局Lipschitz連續(xù)的。再由微分方程的解的存在唯一性理論，有如下定理。

定理1 假設(shè)條件（H1）、（H2）成立，則對(duì)于任意的Uτ∈E，存在唯一的函數(shù)U（·，Uτ）∈C（（τ，＋∞），E），使得Uτ＝U（τ，Uτ）且U（t）滿足下面的積分方程

U（t，Uτ）關(guān)于t和Uτ共同連續(xù)，且?T＊＞0，

2 一致吸引子的存在性

分別表示E＝V×H上的內(nèi)積和范數(shù)。

引理1 對(duì)于?φ＝（u，v）T，有

根據(jù)Gronwall不等式，在空間（E，｜·｜E）中，得到下面的吸收不等式：

據(jù)上，可得出下面引理。

引理3 對(duì)應(yīng)于問(wèn)題（6）的過(guò)程族｛Sh（t，τ）｝，h∈H（h0）有一個(gè)一致有界的吸收集B0.也就是說(shuō)，吸收集

是一致吸收的；則，對(duì)于所有的h∈Η（h0）和對(duì)于E的任意的有界集B，對(duì)于t≥τ＋t1（B），Sh（t，τ）B?B0成立。

引理4 對(duì)應(yīng)于問(wèn)題（6）的過(guò)程族｛Sh（t，τ）｝，h∈Η（h0）是一致漸近緊的，和（E×H（h0），E）-連續(xù)的。

證明 設(shè)φ（t）＝（u（t），v（t））T是問(wèn)題（6）的解。初值分別為φ1τ和φ2τ的（6）的兩個(gè)解φ1（t）和φ2（t）.它們的差φ＝φ1-φ2滿足

用φ對(duì)式（11）做內(nèi)積（·，·）E，得

下面我們逐項(xiàng)估計(jì)。

因此，對(duì)于?t≥τ，過(guò)程族｛Sh（t，τ）｝，h∈Η（h0）是（E×H（h0），E）-連續(xù)的。從而，由上述引理結(jié)合定理1可得如下定理。

定理2 由問(wèn)題（6）所定義的算子半群在空間E中具有一致吸引子。

[1]陳雙全，周盛凡，李紅艷.黏彈性和熱黏彈性方程的全局吸引子[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2008，22（1）：14-20.

[2]姜金平，侯延仁，王小霞.含線性阻尼的2D-非自治g-Navier-Stokes方程的拉回吸引子[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2011，32（2）：144-157.

[3]Song Xueli，Hou Yanren.Attractors for the three-dimensional incompressible Navier-Stokes equations with damping[J].Discrete and Continuous Dynamical Systems，2011，31（1）：239-252.

[4]Simsen Jacson，Simsen Mariza Stefanello.Existence and upper semicontinuity of global attractors for p（x）-Laplacian systems[J].J Math Anal Appl，2012，388（1）：23-38.

[5]Wan Li，Zhou Qinghua.Attractor and boundedness for stochastic Cohen-Grossberg neural networks with delays[J].Neurocomputing，2012，79：164-167.

[6]Temam R.Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics[M].New York：Springer，1988.