乾坤挪移二合一 弦長化減理相通 論定特方破難關(guān)
——2012年江蘇省數(shù)學(xué)高考第19題簡解

●

(六合區(qū)程橋高中 江蘇南京 211504)

乾坤挪移二合一弦長化減理相通論定特方破難關(guān)
——2012年江蘇省數(shù)學(xué)高考第19題簡解

●王安寓

(六合區(qū)程橋高中 江蘇南京 211504)

2012年江蘇省數(shù)學(xué)高考第19題,網(wǎng)上評(píng)論很多,褒貶不一.面對(duì)這道計(jì)算繁雜的題目,如何化難為簡、化陌生為熟悉？如何突破命題人設(shè)置的關(guān)卡，找到問題的本質(zhì)快速解題？

圖1

(1)求橢圓的方程.

(2)設(shè)A,B是橢圓上位于x軸上方的2個(gè)點(diǎn)，且直線AF1與直線BF2平行，AF2與BF1交于點(diǎn)P．

②求證：PF1+PF2是定值．

本題主要考查直線與橢圓的相關(guān)知識(shí)，考查運(yùn)算能力和推理能力.本題構(gòu)思新穎，設(shè)問獨(dú)特(在合理處設(shè)置不合理的問法)，考查學(xué)生活用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，體現(xiàn)重思維的命題理念.合理運(yùn)用橢圓的對(duì)稱性轉(zhuǎn)化題設(shè)條件，將2條平行線轉(zhuǎn)移到一條上，必有利于解題.本文就此作一點(diǎn)探討.

1 乾坤挪移二合一，弦長化減理相通

由此可以看出，該題實(shí)際上是常見題目的逆向命題.我們常見的題目是:給定橢圓和過焦點(diǎn)的直線,求弦長CF2+BF2或CF2-BF2,即直線斜率k為定值,則弦長CF2+BF2或CF2-BF2也為定值(常規(guī)思路是聯(lián)立方程組,利用韋達(dá)定理和弦長公式).反之，CF2-BF2為定值,則直線斜率k為定值；弦長CF2+BF2為定值，則求直線的斜率k可能有正、負(fù)2個(gè)值.這恰好是常見題目的逆向.如何解決呢?還是需要常規(guī)思路.設(shè)出直線方程,聯(lián)立方程組,利用弦長公式構(gòu)造關(guān)于k的方程求解即可.

當(dāng)BC斜率不存在時(shí),顯然不合題意.當(dāng)BC的斜率存在時(shí),設(shè)BC的方程為

y=k(x-1),

設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2)，聯(lián)立并消去y，用韋達(dá)定理得

解得

2 乾坤挪移二合一，數(shù)形結(jié)合顯奇跡

圖2

過點(diǎn)B,C分別作橢圓右準(zhǔn)線l:x=2的垂線,垂足分別為M,N,過點(diǎn)B作BS⊥CN于點(diǎn)S,則

欲求斜率k,只需求BC(在△BCS中,k=tan∠BCS).已知結(jié)論

即

又

即

從而

解得

因此

即

評(píng)注數(shù)與形完美結(jié)合,讓人賞心悅目.該題的幾何解釋很美,解法2用漂亮的圖解決該問題：給定斜率k,求CF2-BF2.

為敘述方便,設(shè)CF2=n,BF2=m,則

(證明略.)

3 運(yùn)用結(jié)論和定義，消除差異破難關(guān)

(2)②證法1延長BF2,交橢圓于另一點(diǎn)C.因?yàn)锳F1∥BF2,所以由橢圓的對(duì)稱性,知AF1=CF2,則

即

因?yàn)锳F1∥BF2,所以

即

同理可得

因此

即PF1+PF2是定值.

4 運(yùn)用特值來探路，構(gòu)建方程破難關(guān)

由待證結(jié)論聯(lián)想到橢圓的定義，即證明點(diǎn)P在某橢圓上.為尋求該橢圓方程(目標(biāo)意識(shí))，可先從特例入手，求出橢圓的方程，再證明點(diǎn)P適合橢圓方程，即證得PF1+PF2是定值.

即

下面證明動(dòng)點(diǎn)P適合上述橢圓方程.設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),則A(-x2,-y2),

聯(lián)立得點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足

設(shè)BC:x=my+1,代入橢圓方程，由韋達(dá)定理得

從而

此時(shí)

消去m，得

因此點(diǎn)P在橢圓上,即

評(píng)注證法2與常規(guī)的圓錐曲線題目相仿:設(shè)出直線方程,聯(lián)立方程組,利用韋達(dá)定理,代入計(jì)算,有一種熟悉感.另外，證法2采用“先猜后證”的解題方法，有的放矢，目標(biāo)明確，但運(yùn)算量稍大.

5 圓錐曲線三兄弟，類比拓展尋共識(shí)

經(jīng)過上述研究,我們得到如下結(jié)論.

(1)若直線AF1的斜率不存在,則

BF2-AF1=0;

若直線AF1的斜率存在(為k),則

(2)若BF2-AF1=0,則直線AF1的斜率不存在;

結(jié)論3同結(jié)論2的條件,設(shè)直線AF2,BF1交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P的軌跡方程為

即

對(duì)于雙曲線有類似結(jié)論.

(1)若直線AF1的斜率不存在,則BF2-AF1=0;

若直線AF1的斜率存在(為k),則

(2)若BF2-AF1=0,則直線AF1的斜率不存在;

結(jié)論5同結(jié)論4的條件,設(shè)直線AF2,BF1交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P的軌跡方程為

即

對(duì)于拋物線,也有類似結(jié)論.

結(jié)論6拋物線y2=±2px(p>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過焦點(diǎn)F1,F2分別作相互平行的直線AF1,BF2,與拋物線的x軸同側(cè)部分交于點(diǎn)A,B，則

(1)若直線AF1的斜率不存在,則BF2-AF1=0;

若直線AF1的斜率存在(為k),則

(2)若BF2-AF1=0,則直線AF1的斜率不存在;

結(jié)論7F1,F2是圓錐曲線(拋物線取2個(gè))的左、右焦點(diǎn),過F1,F2分別作相互平行的直線AF1,BF2,與曲線x軸同側(cè)部分交于點(diǎn)A,B,e為離心率,則

(1)若直線AF1的斜率不存在,則BF2-AF1=0;

若直線AF1的斜率存在(為k),則

(2)若BF2-AF1=0,則直線AF1的斜率不存在;