活躍在高中的高斯函數(shù)

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(浬浦中學(xué) 浙江諸暨 311824)

活躍在高中的高斯函數(shù)

●蔡明

(浬浦中學(xué) 浙江諸暨 311824)

近幾年的數(shù)學(xué)高考以高等數(shù)學(xué)中的一些知識為背景進(jìn)行考查，越來越受到大家的青睞.課外適當(dāng)了解一些與初、高等數(shù)學(xué)相關(guān)知識的信息，對復(fù)習(xí)備考大有裨益，與眼下高觀點的數(shù)學(xué)教學(xué)相吻合.下面以數(shù)論中的一個特殊函數(shù)——高斯函數(shù)為例，與大家一起探討.

1 知識脈絡(luò)

1.1 定義

高斯函數(shù)，也叫取整函數(shù)，設(shè)x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)(如[-1.5]=-2,[1.5]=1,[2]=2)，則函數(shù)f(x)=[x]叫做高斯函數(shù).

1.2 性質(zhì)

(1)函數(shù)f(x)=[x]的定義域為R，值域為Z；

(2)對任意實數(shù)x∈R，都有[x]≤x<[x]+1，也即x-1<[x]≤x；

(3)對于對任意實數(shù)x∈R，k∈Z，都有[x+k]=[x]+k.

事實上,在高中教材中已有高斯函數(shù)的習(xí)題(人教A版《數(shù)學(xué)(必修1)》習(xí)題1.2B組第3題).縱觀近幾年數(shù)學(xué)高考試題，源于課本的背景、例題、習(xí)題也屢見不鮮.查閱近幾年的數(shù)學(xué)高考、會考以及各地模擬卷，在高斯函數(shù)的命題上主要以上述3條性質(zhì)為主，并結(jié)合其他相關(guān)知識考查.

2 試題賞析

2.1 與函數(shù)結(jié)合考查

例1某學(xué)校要召開學(xué)生代表大會，規(guī)定各班每10人推選一名代表，當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時再增選一名代表.那么各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)y=[x]可以表示為

( )

(2010年陜西省數(shù)學(xué)高考試題)

分析本題的關(guān)鍵是取整問題的處理，可考慮采用特殊值法解選擇題.

解法1(特殊取值法)若x=56,y=5,排除選項C,D;若x=57,y=6，排除選項A.故選B.

解法2設(shè)x=10m+α(0≤α≤9)，當(dāng)0≤α≤6時，

當(dāng)6<α≤9時，

故選B.

點評本題圍繞取整函數(shù)的解析式進(jìn)行處理，將所求問題轉(zhuǎn)化成數(shù)，得到取整條件.

2.2 與不等式結(jié)合考查

例2[x]表示不超過x的最大整數(shù)，設(shè)集合A={(x,y)|x2+y2≤1}，集合B={(x,y)|[x]2+[y]2≤1}，則集合A∪B所表示的平面區(qū)域的面積等于______.

(2013年浙江省數(shù)學(xué)會考試題)

分析本題的關(guān)鍵是將[x]2+[y]2≤1轉(zhuǎn)化成x,y的關(guān)系，根據(jù)高斯函數(shù)的值域為整數(shù)集，易實現(xiàn)轉(zhuǎn)化.

圖1

解由于[x],[y]的值為整數(shù)，結(jié)合不等式可知

結(jié)合高斯函數(shù)性質(zhì)(2)可得

點評準(zhǔn)確利用值域為整數(shù)集的性質(zhì)，將取整函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為一般可行區(qū)域進(jìn)行處理，達(dá)到“柳暗花明又一村”之感.

2.3 與方程(組)結(jié)合考查

分析本題與常見方程組比較，出現(xiàn)不一樣的量[x],[x-3]，如能轉(zhuǎn)化就可迎刃而解.

解由[x-3]=[x]-3，知原方程組變成

解得

[x]=20.

由于x不是整數(shù)，故20

點評本題的關(guān)鍵在于性質(zhì)(3)的應(yīng)用，達(dá)到歸一思想.

2.4 與數(shù)列結(jié)合考查

( )

A.是等差數(shù)列但不是等比數(shù)列

B.是等比數(shù)列但不是等差數(shù)列

C.既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列

D.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列

(2009年湖北省數(shù)學(xué)高考試題)

分析本題中{x}=x-[x]，即數(shù)的小數(shù)部分處理是重點.

(2013年浙江省五校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題)

即

點評本題雖以高斯函數(shù)為背景，但真正考查在于其他知識的處理，體現(xiàn)醉翁之意不在酒.

①當(dāng)a=5時,數(shù)列{xn}的前3項依次為5,3,2;

②對數(shù)列{xn}都存在正整數(shù)k,當(dāng)n≥k時總有xn=xk;

其中真命題有______(寫出所有真命題的編號).

(2012年四川省數(shù)學(xué)高考試題)

分析結(jié)合本題的特殊性，可考慮使用特殊值法(a=1,2,3)處理，得①③④是真命題.

對③，由xn為整數(shù)，得

則

故③正確；

點評此題難度較大,不容易尋找解題的切入點,特殊值列舉是很有效的解決辦法.

從上述試題來看，與高斯函數(shù)相關(guān)的命題主要集中在函數(shù)與數(shù)列問題，同時可發(fā)現(xiàn)高斯函數(shù)以概念給出，其性質(zhì)需要自己去挖掘，這也是將問題轉(zhuǎn)化的一種手段.當(dāng)然高中階段所學(xué)的知識方法與能力，是解決這些問題的關(guān)鍵 .倘若能借助于高等數(shù)學(xué)知識去理解問題，則具有茅塞頓開的感覺，對處理問題有事半功倍之效.眼下實行深化新課改，教師可在適當(dāng)時機(jī)運用選修課程的形式，冠以高等數(shù)學(xué)中與高中數(shù)學(xué)密切相關(guān)知識的學(xué)習(xí)，拓展學(xué)生的視野與能力.