自然數(shù)的等差分拆類型的探究

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(寧波市第二中學(xué) 浙江寧波 315000)

自然數(shù)的等差分拆類型的探究

●江一鳴

(寧波市第二中學(xué) 浙江寧波 315000)

對高中數(shù)學(xué)教學(xué)頗有研究，十分重視對學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)，尤其在利用計算解決問題的教學(xué)探索中，有獨特的見解.代表作《自然數(shù)的等差分拆》被評為浙江省第十屆自然科學(xué)二等獎.

把自然數(shù)表示成自然數(shù)所組成的等差數(shù)列之和的形式，本文稱為等差分拆.自然數(shù)的分拆問題古老而有趣，易嘗試，不易探求一般規(guī)律.關(guān)于自然數(shù)的等差分拆的問題，雖在文獻(xiàn)[1]中作了一些研究，但關(guān)于存在哪些類型的等差分拆問題，筆者再次通過運用計算機作輔助，獲得了更多的數(shù)據(jù)，經(jīng)分組、分類處理，發(fā)現(xiàn)了自然數(shù)所含因素與等差分拆的項數(shù)之間存在的某些結(jié)構(gòu)關(guān)系;然后，歷經(jīng)歸納、合情推理得到一組基本結(jié)論，并在驗證基礎(chǔ)上給出了論證.本文呈現(xiàn)探究過程，與同行分享.

首先，用True BASIC語言，編程并運行,把結(jié)果歸類如表1.

表1 自然數(shù)31～50等差分拆類型及項數(shù)統(tǒng)計表

在文獻(xiàn)[1]中對自然數(shù)1～30等差分拆已具體列出，這里不再重復(fù).經(jīng)研究可知：素數(shù)均不能拆成自然數(shù)等差數(shù)列之和.通過分析自然數(shù)50以內(nèi)等差分拆類型和項數(shù)與自然數(shù)所含不同因素之間的關(guān)系，探究了可等差分拆類型及種數(shù)的具體結(jié)論.

1 項數(shù)為奇數(shù)的自然數(shù)等差分拆

根據(jù)文獻(xiàn)[1]中自然數(shù)的等差分拆的數(shù)據(jù)和部分結(jié)果，結(jié)合表1的歸類數(shù)據(jù)可得如下結(jié)論：

結(jié)論1若自然數(shù)Sn可表示為3K(K≥2,K∈N)型，則存在項數(shù)為3的等差分拆有K-1種，公差d分別為1，2，3,…,K-1.

通過歸納上述結(jié)論，并猜想出如下一般性結(jié)論：

證明不妨記此2r+1項的等差數(shù)列為

a1,a2,a3,…,ar，ar+1,…,a2r+1,

利用等差數(shù)列的等和性，知

a1+a2r+1=a2+a2r=…=ar+ar+2=2ar+1,

此時

a1+a2+a3+…+a2r+1=(2r+1)ar+1,

而Sn=(2r+1)K,故此等差數(shù)列中間項ar+1=K.

記等差數(shù)列{ar}的首項為a1，公差為d，則

ar+1=a1+rd(a1≥1,d≥1,a1d∈N+)，

即

K=a1+rd,

所以

a1=K-rd≥1，

從而

K-rd,K-(r-1)d,…,K-d,K,K+d,K+2d,…,K+rd.

定理2對任一自然數(shù)Sn與某一奇數(shù)2r+1(r∈N+),若Sn不整除2r+1，則Sn不可能存在2r+1項的等差分拆(可用反證法證明，略).

2 項數(shù)為偶數(shù)的自然數(shù)等差分拆

2．1 項數(shù)為4的自然數(shù)等差分拆

2.1.1Sn=4K型

分析自然數(shù)16，20，24存在4項等差分拆各1種.自然數(shù)28，32，36存在4項等差分拆各2種.而自然數(shù)40，則存在4項等差分拆有3種.

于是歸納猜想得出結(jié)論4.

2.1.2Sn=4K+2型

自然數(shù)10，14，18其4項等差分拆各有1種,自然數(shù)22，26，30其4項等差分拆各有2種,自然數(shù)34，38，42其4項等差分拆各有3種，于是歸納推理得出結(jié)論5.

2.2 項數(shù)為6的自然數(shù)的等差分拆

在處理項數(shù)為6的等差分拆的種類時，發(fā)現(xiàn)與項數(shù)4的等差分拆有類似之處，大致也發(fā)現(xiàn)存在2類：Sn=6K+3型和Sn=6K(K≥6,K∈N)型.

首先，因為6項自然數(shù)等差分拆各項最小和為1+2+3+4+5+6=21，即21是自然數(shù)中能夠被分拆6項等差數(shù)列之和的最小數(shù).又可知自然數(shù)21，27，33，39，45，各存在6項等差分拆有1種,自然數(shù)51，57的6項等差分拆有2種，等等，同理可歸納得：

2．3 項數(shù)為2p(偶數(shù))的自然數(shù)等差分拆

綜上所述從結(jié)論4至結(jié)論7，可對分拆項為偶數(shù)項的等差分拆種類作出如下2個推測：

證明事實上，若自然數(shù)Sn存在項數(shù)為2p的等差分拆，不妨記為

a1,a2,a3,…，ap,ap+1,…,a2p(p≥2).

根據(jù)等差數(shù)列的等和性，有

a1+a2p=a2+a2p-1=…=ap+ap+1,

因此

Sn=p(ap+ap+1).

對于此數(shù)列的中間2項ap，ap+1，其和ap+ap+1的奇偶性有且只有2種情況：即ap+ap+1為偶數(shù)或ap+ap+1為奇數(shù).

(1)當(dāng)ap+ap+1為偶數(shù)時，則ap與ap+1同為奇數(shù)或同為偶數(shù)，于是可設(shè)ap=m-d，ap+1=m+d(d∈N+,m∈N+)，則

Sn=p(ap+ap+1)=p[(m+d)+(m-d)]=2pm.

已知Sn=2pk，從而K=m.依此等差數(shù)列的各項可表示為

m-(2p-1)d,…,m-d,m+d,m+3d,…,m+(2p-1)d，

此數(shù)列首項

a1=m-(2p-1)d≥1，

得

(2)當(dāng)ap+ap+1為奇數(shù)時，則ap與ap+1恰為一奇一偶.由ap

ap=m-d，ap+1=m+1+d(d∈N,m∈N+),

故

根據(jù)此等差數(shù)列的和為Sn=2pK+p，其數(shù)列各項可統(tǒng)一表示為

K-(p-1)-(2p-1)d,…,K-1-3d,K-d,K+1+d,K+2+3d,…,K+p+(2p-1)d，

此等差數(shù)列首項為

a1=K-(p-1)-(2P-1)d≥1，

從而

(2p-1)d≤K-p,

即

定理5對任一自然數(shù)Sn,若Sn不能表示為

的形式，則Sn不可能存在2p項的等差分拆(證明可用反證法，易證略).

例2用上述定理來解析數(shù)“36”的等差分拆類型及種數(shù)，可作表2進(jìn)行說明.

表2 自然數(shù)36等差分拆類型及種數(shù)表

綜觀上述，自然數(shù)Sn小些，易求得等差分拆的類型及種數(shù)，并能快速寫出所有的具體分拆的等差數(shù)列.如果自然數(shù)Sn增大，則借助計算機強大的計算功能分析解決更為快捷.限于篇幅，本文不再例舉.

隨著浙江省實行高中新課程改革，“算法”內(nèi)容被引入高中數(shù)學(xué)教學(xué)，計算機能夠作為一種解決問題的研究工具，被大家進(jìn)一步認(rèn)識，并且本文是很能說明“作用”的一個好例.同時，本文所涉及到的數(shù)據(jù)處理方法和在探究過程中所反映出的“歸納推理”等重要數(shù)學(xué)思想方法的運用，對數(shù)學(xué)思維能力的提升大有裨益.

[1] 江一鳴.自然數(shù)的等差分拆[J].數(shù)學(xué)教學(xué),1997(5):29-30.

江一鳴，男，1957年出生，現(xiàn)為寧波二中副校長.1980年參加工作至今一直耕耘在教學(xué)一線.2000年被評為浙江省數(shù)學(xué)特級教師，2002年被評為寧波市名教師，2007年被評為浙江省優(yōu)秀教師.