幾何競(jìng)賽題求解的常見(jiàn)策略

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(東陽(yáng)中學(xué) 浙江東陽(yáng) 322100)

幾何競(jìng)賽題求解的常見(jiàn)策略

●陳碩罡吳國(guó)建

(東陽(yáng)中學(xué) 浙江東陽(yáng) 322100)

1 用函數(shù)(變量)的觀點(diǎn)來(lái)解決問(wèn)題

函數(shù)是描述客觀世界中變量間依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型.抓住問(wèn)題中引起變化的主變量，并用一個(gè)具體的量(斜率或點(diǎn)的坐標(biāo)等)來(lái)表示它，同時(shí)把問(wèn)題中的的因變量用主變量表示出來(lái)，從而變成一個(gè)函數(shù)問(wèn)題，這就是解決問(wèn)題的函數(shù)觀點(diǎn).在解析幾何問(wèn)題中，經(jīng)常會(huì)碰到由于某個(gè)量(很多時(shí)候是線或點(diǎn))的變化，而引起圖形中其他量(面積或長(zhǎng)度等)變化的情況，因此函數(shù)觀點(diǎn)成為解決解析幾何問(wèn)題的一種重要方法.

例1已知拋物線y2=6x上的2個(gè)動(dòng)點(diǎn)A(x1,y1)和B(x2,y2),其中x1≠x2且x1+x2=4.線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)C,求△ABC面積的最大值.

(2010年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

分析通過(guò)對(duì)題目的分析可以發(fā)現(xiàn),線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)已經(jīng)是定值，只有縱坐標(biāo)在變化，可以把AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)作為主變量，這樣只要把△ABC的面積表示成關(guān)于AB中點(diǎn)縱坐標(biāo)的函數(shù)即可，這時(shí)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題.

解設(shè)線段AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,y0)，則直線AB的斜率為

線段AB的中垂線方程為

易知線段AB的中垂線與x軸的交點(diǎn)為定點(diǎn)C(5,0),直線AB的方程為

聯(lián)立拋物線方程,消去x可得

由題意知，y1，y2是方程(1)的2個(gè)實(shí)根，且y1≠y2，從而

即

又點(diǎn)C(5，0)到直線AB的距離為

(2009年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

(3+4k2)x2+8kmx+4m2-48=0.

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則

Δ1=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-48)>0.

(2)

(3-k2)x2-2kmx-m2-12=0.

設(shè)C(x3,y3)，D(x4,y4)，則

Δ2=(-2km)2+4(3-k2)(m2+12)>0.

(3)

(x4-x2)+(x3-x1)=0，

此時(shí)

(y4-y2)+(y3-y1)=0.

由x1+x2=x3+x4,得

從而

解得

k=0或m=0．

當(dāng)k=0時(shí)，由式(2)和式(3)得

因?yàn)閙是整數(shù)，所以m的值為-3，-2，-1，0，1，2，3．當(dāng)m=0時(shí)，由式(2)和式(3)得

因?yàn)閗是整數(shù)，所以k=-1，0，1．

于是滿足條件的直線共有9條．

評(píng)注當(dāng)題目中的主變量需要用2個(gè)變量來(lái)表示時(shí)，可先把這個(gè)因變量表示為一個(gè)二元函數(shù)，如果題設(shè)中有其他條件能找到這2個(gè)變量間的關(guān)系，那么只需用一個(gè)量來(lái)表示另一個(gè)量，這時(shí)就可轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，這也體現(xiàn)了解析幾何中“設(shè)而不求”的思想；如果題設(shè)條件不能直接給出2個(gè)變量者之間的關(guān)系，那么可直接對(duì)二元函數(shù)進(jìn)行處理.

2 用平面幾何的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題

解析幾何是用坐標(biāo)法把幾何問(wèn)題代數(shù)化，用代數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題，但說(shuō)到底解析幾何還是幾何.在解決某些解析幾何問(wèn)題時(shí)，若其平面幾何背景非常明顯，則可以借助平面幾何知識(shí)快速、準(zhǔn)確地解決問(wèn)題.

(2012年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

解由拋物線的定義及梯形的中位線定理得

在△AFB中,由余弦定理得

(|AF|+|BF)2-3|AF|·|BF|≥

評(píng)注一些解析幾何客觀題，往往需要借助圓錐曲線的定義和平面幾何的一些性質(zhì)進(jìn)行解題.

圖1

(2005年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

分析通過(guò)粗略計(jì)算可知點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，而題設(shè)中有很多線段比例關(guān)系，因此可考慮用三角形的面積之比來(lái)解決問(wèn)題.

S△CAB=2S△CAD=2S△CBD,

得

消去x0得

因此所求的軌跡方程為

評(píng)注從函數(shù)的觀點(diǎn)進(jìn)行分析，易發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)x0為主變量，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均可表示成關(guān)于x0的函數(shù)，再消去參數(shù)x0就得到點(diǎn)P的軌跡方程.思路雖然簡(jiǎn)單，但由于本題所含字母較多，進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算時(shí)運(yùn)算量大且容易出錯(cuò).如果能夠分析其平面幾何背景，運(yùn)用平面幾何的知識(shí)，就能比較快速、準(zhǔn)確地解決問(wèn)題.

3 用極坐標(biāo)知識(shí)來(lái)解決解析幾何問(wèn)題

解析幾何中的坐標(biāo)法是指建立直角坐標(biāo)系，用點(diǎn)在2個(gè)坐標(biāo)軸上的射影來(lái)確定.而極坐標(biāo)是用角度和距離(長(zhǎng)度)這2個(gè)量來(lái)確定一個(gè)點(diǎn)的位置，其幾何意義很明顯.如果在題目中涉及到的量能用角度和距離非常方便地表示出來(lái)，那么建立一個(gè)極坐標(biāo)系進(jìn)行運(yùn)算，會(huì)比我們?cè)谥苯亲鴺?biāo)系下運(yùn)算快速有效得多.

圖2

(2008年江蘇省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)

解(1)如圖2，以原點(diǎn)為極點(diǎn)、x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.設(shè)|OA|=a，|OB|=b,∠AOx=θ，則

A(acosθ，asinθ)，

點(diǎn)A,B在橢圓上，得

即

同理可得

|OP|·|AB|=|OA|·|OB|，

圖3

例6在平面直角坐標(biāo)系xOy中，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，且|OB|=|OD|=6．

(1)求證：|OA|·|OC|為定值；

(2)當(dāng)點(diǎn)A在半圓(x-2)2+y2=4(2≤x≤4)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)C的軌跡．

(2012年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

分析如圖3，根據(jù)菱形和等腰三角形的性質(zhì)可知點(diǎn)O,A,C共線，結(jié)合菱形的對(duì)角線垂直可知邊長(zhǎng)關(guān)系，第(1)小題用平面幾何方法可快速求解.由點(diǎn)O,A,C共線知3個(gè)點(diǎn)的角度是一樣的，只

有長(zhǎng)度不一樣，加上第(1)小題的結(jié)論可知，|AO|與|OC|的長(zhǎng)度之積為定值20，第(1)小題可以用極坐標(biāo)(ρ,θ)求解.

解(1)因?yàn)閨OB|=|OD|,|AB|=|AD|=|BC|=|CD|,所以點(diǎn)O,A,C共線.如圖3,聯(lián)結(jié)BD,則BD垂直平分線段AC,設(shè)垂足為K,于是

|OA|· |OC|=(|OK|-|AK|)·(|OK|+|AK|)=

|OK|2-|AK|2=

(|OB|2-|BK|2)-(|AB|2-|BK|2)=

|OB|2-|AB|2=62-42=20(定值).

而點(diǎn)A所在的半圓的極坐標(biāo)方程為

可得ρ1=4cosθ，代入式(4)可得

再轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)

x=ρ2cosθ=5,y=ρ2sinθ=5tanθ∈[-5,5],

故點(diǎn)C的軌跡為線段x=5(-5≤y≤5).

高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中解析幾何題的解題策略多種多樣，比如用直線的參數(shù)方程來(lái)求解有關(guān)定點(diǎn)到動(dòng)點(diǎn)距離的問(wèn)題比較方便，用曲線的參數(shù)方程在化兩元為一元的問(wèn)題上有很多的優(yōu)勢(shì)等.只有掌握一些常用的技巧和方法，在做題的時(shí)候根據(jù)題設(shè)、結(jié)論的背景和特征，選擇合適的方法，才能快速、準(zhǔn)確地解決解析幾何問(wèn)題.