逼近定積分的再生核方法*

劉 路，呂學(xué)琴

(哈爾濱師范大學(xué))

0 引言

在微積分中用Newton-Leibniz公式計算連續(xù)函數(shù)f(x)的定積分［1］:

但是，當(dāng)被積函數(shù)是點列(xi，f(xi))，i=1，2，…，n的形式給出時，或當(dāng)被積函數(shù)f(x)的原函數(shù)F(x)不能用初等函數(shù)表示時，則無法用Newton-Leibniz公式計算，如

在微積分中，定積分是Riemann和的極限，它是分割小區(qū)間趨于零時的極限，即:

在數(shù)值積分公式中，用有限項的和近似上面的極限，通常由函數(shù)在離散點函數(shù)值的線性組合形式給出.記

其中I(f)表示精確積分值，In(f)表示近似積分值，{xi}稱為節(jié)點，αi稱為系數(shù).

該文所述內(nèi)容，即為通過再生核方法［3-5］來確定In(f)中系數(shù)αi，從而構(gòu)造出一種再生核方法的級數(shù)形式的數(shù)值表示.

1 再生核空間的定義

定義 1.1［5］［a，b］ ={u(x)|u(x)是［a，b］上的絕對連續(xù)實值函數(shù)，u'(x)∈ L2［a，b］}.

定理1.1［5］［a，b］空間是一個再生核空間，即:存在Rx(y)∈［a，b］，對任意 u(y)∈和每一個固定的 x ∈［a，b］，使得對任何 y∈［a，b］，有

再生核Rx(y)記為:

2 再生核方法確定In(f)中的系數(shù)αi

2.1 線性有界泛函

其中 βik是標(biāo)準(zhǔn)正交化系數(shù)，βii＞ 0，i=1，2，….

2.2 再生核方法求積分系數(shù)

定義投影算子Pn:［a，b］→ span{φ1，φ2，…，φn}

因為 φi(x)=Rxi(x)，于是

又因為

3 算例

該段給出了一個數(shù)值算例論證文章所提算法的有效性，所有的計算均是通過軟件Mathematica 5.0實現(xiàn)得到的.

例 考慮下面積分:

使用此算法，在(0，1)上分別選取10～50個點并得到精確積分值和近似積分值的絕對誤差和相對誤差列在表1.

表1

［1］ 劉玉璉，等.數(shù)學(xué)分析講義:上冊.北京:高等教育出版社，2003.

［2］ 李慶揚，王能超，易大義.數(shù)值分析.北京:清華大學(xué)出版社，2001.

［3］ Chen Zhong，Zhou Yongfang.A new method for solving Hilbert type singular integral equations.Applied Mathematics and Computation，2011，218:406-412.

［4］ Cui Minggen，Lin Yingzhen.Nonlinear numerical analysis in the reproducing kernel space.New York:Nova Science Publisher，2008.

［5］ Chen Zhong，Lin YingZhen.The exact solution of a linear integral equation with weakly singular kernel.Mathematical A-nalysis and Applications，2008，344:726-734.