數(shù)學(xué)建模中的方程思想及其應(yīng)用*

洪寶劍

(1.南京工程學(xué)院;2.江蘇大學(xué))

0 引言

伴隨著現(xiàn)代社會(huì)的高速發(fā)展，數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用已經(jīng)深入到眾多的自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域.除了研究數(shù)學(xué)的專業(yè)人才之外，社會(huì)還需要大量會(huì)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問題，去創(chuàng)造效益的人才，這個(gè)過程就是通常所說的數(shù)學(xué)建模.數(shù)學(xué)模型［1］是根據(jù)現(xiàn)實(shí)世界某一現(xiàn)象特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一種抽象簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).這些結(jié)構(gòu)可以是方程、公式，算法、表格、圖示等等.而數(shù)學(xué)建模就是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和方法建立數(shù)學(xué)模型.如何在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高學(xué)生的思維創(chuàng)新能力有重要作用.

數(shù)學(xué)建模是利用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問題的動(dòng)態(tài)過程，這就特別體現(xiàn)了“用數(shù)學(xué)”的思想.建立數(shù)學(xué)模型的方法有很多，比如運(yùn)用概率論方法建立隨機(jī)模型［2］;運(yùn)用微元法思想建立積分模型［3］;運(yùn)用圖論思想建立網(wǎng)絡(luò)模型［4］等等.本文重點(diǎn)研究應(yīng)用方程思想建立數(shù)學(xué)模型.

對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的變化，人們關(guān)注的往往是其變化速度以及所處位置隨時(shí)間的連續(xù)發(fā)展規(guī)律，其規(guī)律一般可以用微分方程(組)來(lái)表示，在現(xiàn)實(shí)社會(huì)中，又有許多變量是離散變化的，如人口數(shù)、生產(chǎn)周期與商品價(jià)格等，這時(shí)其規(guī)律就要用差分方程(組)表示，因此實(shí)際問題只要涉及“改變，變化，增加，減少，衰變”等等詞語(yǔ)的，都可嘗試用方程建立模型.如:投資、還貸、減肥、養(yǎng)老金、種群增長(zhǎng)、疾病傳播、化學(xué)反應(yīng)、污染控制、空間飛行、軍事戰(zhàn)斗等等實(shí)際問題，對(duì)這些動(dòng)態(tài)過程建立數(shù)學(xué)模型，能夠表現(xiàn)這些過程的演變，并給出分析和預(yù)測(cè).其中的連續(xù)模型適用于常微分方程和偏微分方程建模，離散模型適用于差分方程建模.下面以幾個(gè)例子做說明.

1 應(yīng)用舉例

1.1 常微分方程建模

主要用于處理那些描述動(dòng)態(tài)過程的狀態(tài)變量隨時(shí)間連續(xù)變化的實(shí)際問題.

例1 人口增長(zhǎng)的邏輯斯蒂(Logistic)方程模型(一階常微分方程模型)18世紀(jì)末，英國(guó)人馬爾薩斯(Malthus)在研究了百余年的人口統(tǒng)計(jì)資料后認(rèn)為，在人口自然增長(zhǎng)的過程中，凈相對(duì)增長(zhǎng)率(凈增長(zhǎng)率比上總?cè)藬?shù))是常數(shù).出生率減去死亡率為凈增長(zhǎng)率.在此假設(shè)下，推導(dǎo)出人口隨時(shí)間變化的數(shù)學(xué)模型，分析該模型的優(yōu)缺點(diǎn)，并進(jìn)行改進(jìn).

解:據(jù)假設(shè)，在t到t+Δt時(shí)間段內(nèi)，人口的增長(zhǎng)量為 N(t+Δt)-N(t)=rN(t)Δt，并設(shè) t0時(shí)刻的人口數(shù)為N(t0)，于是

用分離變量法易求出其解為:N(t)=N0er(t-t0)，這里r，N0可以通過統(tǒng)計(jì)歷史數(shù)據(jù)得到.此式表明人口以指數(shù)規(guī)律隨時(shí)間無(wú)限增長(zhǎng).這個(gè)公式非常準(zhǔn)確地反映了在1700-1961年間世界人口總數(shù).但是，按此模型計(jì)算，到2670年，地球上將有36000億人口.這是非常荒謬的.因此，這一模型應(yīng)該修改.考慮到地球上的所有資源只能供應(yīng)一定數(shù)量的人生活，1838年荷蘭生物數(shù)學(xué)家韋爾侯斯特(Verhulst)引入常數(shù)Nm，用來(lái)表示自然環(huán)境條件所能容許的最大人口數(shù)，并且假設(shè)凈增長(zhǎng)率等于r(1-N(t)/Nm)，由韋爾侯斯特假定，馬爾薩斯模型應(yīng)改為

例2 導(dǎo)彈追蹤問題(二階常微分方程模型)

設(shè)敵艦在我艦正東方向d km處，行駛速度為v0km/min，行駛方向與正東方向的夾角為θ，導(dǎo)彈的飛行速度為v km/min.現(xiàn)根據(jù)情報(bào)，這種敵艦?zāi)茉谖遗灠l(fā)射導(dǎo)彈后T min做出反應(yīng)并摧毀導(dǎo)彈.試問，如何改進(jìn)電子導(dǎo)彈系統(tǒng)，使其根據(jù)敵艦與我艦的距離，行使方向和速度，能自動(dòng)判斷出敵艦是否在有效打擊范圍之內(nèi).

解 問題的關(guān)鍵是計(jì)算出導(dǎo)彈擊中敵艦所需要的時(shí)間t*，并將t*與T比較，若t*＜T，則敵艦在打擊范圍內(nèi).我們?nèi)砸晕遗炍恢脼樽鴺?biāo)原點(diǎn)，以正北方向?yàn)閥軸建立坐標(biāo)系，設(shè)t時(shí)刻導(dǎo)彈所處的位置為P(x(t)，y(t))，敵艦所處位置為 Q(d+v0tcosθ，v0tsinθ).如圖2 所示.

圖1 Logistic曲線

圖2 導(dǎo)彈追蹤問題

由于導(dǎo)彈頭始終對(duì)準(zhǔn)敵艦，因此直線PQ是導(dǎo)彈運(yùn)行軌跡OP在P點(diǎn)的切線，即

聯(lián)立方程(3)和(4)，消去t，再對(duì)方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得到二階常微分方程

當(dāng)P和Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)曲線相遇時(shí)，導(dǎo)彈擊中敵艦.因此，若x*、y*滿足方程(5)且

則點(diǎn)(x*，y*)為導(dǎo)彈擊中敵艦的擊中點(diǎn).再根據(jù)Q 點(diǎn)的表達(dá)式 Q(d+v0tcosθ，v0tsinθ)，可以計(jì)算出擊中時(shí)間若 t*＜T，則敵艦在打擊范圍內(nèi)，可以發(fā)射.

在現(xiàn)實(shí)生活中各式各樣的追擊問題，如狼追兔子，獅子捕殺鹿，導(dǎo)彈追蹤敵機(jī)等等追擊模型都可以歸結(jié)為二階微分方程模型.

1.2 差分方程建模

如果描述動(dòng)態(tài)過程的狀態(tài)變量在離散時(shí)段上發(fā)生變化，這時(shí)就要考慮用差分方程建模.

例3 離散的人口增長(zhǎng)模型.

假設(shè)人口的增長(zhǎng)主要?dú)w結(jié)為生育，以某一離散時(shí)段(如25歲)為周期進(jìn)行生育.

解 不妨用yk表示第k代的人口數(shù)量，則得到下列模型

即為

其中r為固有增長(zhǎng)率，N為最大容量.

若 yk=N，則 yk+1，yk+2，… =N，y*=N 是平衡點(diǎn).

式(8)化為

這是一階非線性差分方程，無(wú)須求出xk，事實(shí)上，只要給出x0，利用數(shù)學(xué)軟件就可以遞推出xk.僅考慮平衡點(diǎn):x=f(x)=bx(1-x)，則，因?yàn)閒'(x*)=b(1-2x*)=2-b，當(dāng)|f'(x*)|＜1時(shí)穩(wěn)定，當(dāng)|f'(x*)|＞1時(shí)不穩(wěn)定.所以，當(dāng)1＜b＜2或2＜b＜3時(shí).當(dāng) b＞3時(shí)，xk不穩(wěn)定.如圖3-圖5所示.

圖3 1＜b＜2

圖4 2＜b＜3

圖5 b＞3

此外，以一定周期變化的實(shí)際問題都可以考慮采用差分方程建模，如:市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型，減肥計(jì)劃模型，養(yǎng)老保險(xiǎn)模型，種群增長(zhǎng)模型等等.

1.3 偏微分方程建模

在處理描述動(dòng)態(tài)過程的狀態(tài)變量隨時(shí)間連續(xù)變化的實(shí)際問題時(shí)，如果考慮的自變量的個(gè)數(shù)為兩個(gè)或兩個(gè)以上，這時(shí)就要考慮用偏微分方程建模.

例4 人口增長(zhǎng)模型的再次修正.

Verhulst模型改進(jìn)了馬爾薩斯的一些弊端，但它和馬爾薩斯模型都將生物群體中的每一個(gè)個(gè)體視為同等地位來(lái)對(duì)待的，這個(gè)原則只適用于低等動(dòng)物，對(duì)于人類群體來(lái)說，必須考慮不同個(gè)體之間的差別，特別是年齡因素的影響.不考慮年齡因素就不能正確地把握人口的發(fā)展動(dòng)態(tài).

解 人口的數(shù)量，出生率、死亡率等量不僅和時(shí)間有關(guān)，還應(yīng)該和年齡有關(guān)，這時(shí)，得到用偏微分方程描述的人口模型:

其中，p(t，r)表示任意時(shí)刻t按年齡r的人口分布密度，μ(t，r)表示年齡為 r的人口死亡率，φ(t，r)表示年齡為 r的人口遷移率，β(r，t)表示年齡為r的人的生育率(可進(jìn)一步細(xì)化為β(r，t)=b(t)k(r，t)h(r，t)，b(t)為總和生育率，k(r，t)為女性比例，h(r，t)為生育模式.)r1表示可以生育的最低年齡，r2表示最大年齡，該模型中的人口分布密度、死亡率和出生率均與年齡有關(guān)，這與現(xiàn)實(shí)情況相符，因此，這個(gè)模型確實(shí)更能精確地描述人口的發(fā)展過程.

如果上述方程把年齡視為恒定，則退化為常微分方程，若令 μ(t，r)=-r，p(t，r)=N(t)，N(0)=N0，φ =rN2(t)/Nm即變?yōu)?Verhulst模型.

此外物理中的半導(dǎo)體模型［5］、生態(tài)學(xué)中的傳染病模型［6］等等，都可以用偏微分方程建立.

2 結(jié)束語(yǔ)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想［7-8］，在數(shù)學(xué)建模的過程中充分應(yīng)用方程的思想和理論，不僅可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)的興趣，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，還能提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，真正做到“學(xué)以致用”.這對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)改革和課程建設(shè)都將起到積極的推動(dòng)作用.最后，與其說數(shù)學(xué)建模是一門技術(shù)，不如說是一門藝術(shù)，它需要熟練地?cái)?shù)學(xué)技巧，豐富的想象力和敏銳的洞察力，需要大量閱讀，思考別人做的模型，尤其要自己動(dòng)手，親身體驗(yàn).熟練掌握方程思想及理論對(duì)于提高數(shù)學(xué)建模水平有著重要意義.

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