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    高中代數(shù)思想在“密鑰共享”中的應(yīng)用

    2013-10-24 08:53:52趙世棋林昌露
    中國校外教育 2013年31期
    關(guān)鍵詞:方程組代數(shù)數(shù)形

    ◆趙世棋 林昌露

    (福建南安市柳城中學(xué);福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院)

    華羅庚先生說過:“數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微;數(shù)形結(jié)合百般好,隔裂分家萬事休。”數(shù)和形是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究的兩個重要內(nèi)容。在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,“數(shù)形結(jié)合”不僅是一個重要的代數(shù)數(shù)學(xué)思想,又是一種常用的數(shù)學(xué)解題方法?!靶畔踩c密碼”是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)》中選修系列3的六個專題之一。在當(dāng)今信息化的社會當(dāng)中,人們每天在互聯(lián)網(wǎng)和物聯(lián)網(wǎng)上傳輸、獲取、交換海量的信息,這也帶來更多的信息安全問題。在高中階段對信息安全與密碼知識的學(xué)習(xí),不僅有助于培養(yǎng)和增強學(xué)生的信息安全意識,而且有助于培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。本文將從密碼學(xué)中的“密鑰共享”與高中數(shù)學(xué)中的“數(shù)形結(jié)合”的代數(shù)思想入手,分析數(shù)學(xué)在信息安全與密碼中的重要作用。

    一、問題的提出

    密鑰共享的基本思想,可以通過如下例子來表述:某個銀行的保險庫,每天至少需要用密碼(即密鑰)打開一次;銀行雇傭四位出納,但是銀行為提高保險庫的安全性并不想將密鑰委托給單個出納。這時,銀行可以利用密鑰共享的方法來設(shè)計一個安全的系統(tǒng)保護這個密鑰。在該系統(tǒng)中,銀行把密鑰分成四部分并獨立分發(fā)給四位出納;該系統(tǒng)保證任意三位或四位出納同時在場才可用密鑰打開保險庫,而任意單獨或兩位的出納不能打開保險庫。此外,即使有一位出納的那份密鑰意外地丟失,其他三位出納仍然可正?;謴?fù)整個密鑰。對于上述的問題和要求,如何用一個數(shù)學(xué)的方法來有效地解決呢?

    二、問題的求解

    解法一:解方程組方法

    1979年,著名密碼學(xué)家阿迪·沙米爾利用解方程組的方法給出了一個簡單且有效的方法。我們用一個簡單的例子展示該方法:在數(shù)字化世界中,可假設(shè)密鑰是一個數(shù)字,這是發(fā)揮數(shù)學(xué)作用的第一步。具體地,設(shè)密鑰為2,四位出納分別用1、2、3和4表示,選取一個二次多項式f(x)=2+3x+x2,它滿足f(0)=2,即當(dāng)x取零時,由這個多項式計算的結(jié)果恰好是密鑰值2;計算f(1)=6,f(2)=12,f(3)=20和f(4)=30,并把這四個值分別秘密地分發(fā)給四位出納。這樣,我們已經(jīng)完成這個保護系統(tǒng)的設(shè)置,該密鑰的部分密鑰分別由四位出納安全地保管。假設(shè)前三位出納同時在場,此時只需把由他們保管的秘密值6、12、20拿出來,大家就可以用解方程組的方法簡單地恢復(fù)得到密鑰值,計算過程如下:假設(shè)該二次方程是f(x)=a+bx+cx2,則可得到如下方程組:通過求解該方程組,可得a=2,即f(0)=a=2為密鑰值。若只有一位或兩位出納同時在場,由解方程組的方法可知,則他們只能得到有一個方程或兩個方程的方程組,但有三個未知數(shù),故該秘密值無法正確地被恢復(fù)。

    解法二:幾何方法

    現(xiàn)在,從幾何角度來更直觀地分析一下上述方法。我們先把出納的代表值和各自的部分秘密值分別看成直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)點,即(1,6)、(2,12)、(3,20)和(4,30),且把密鑰也看一個坐標(biāo)點(0,2)??砂讯味囗検娇闯梢粭l二次曲線,密鑰值是該曲線與縱軸的交點,每位出納的部分秘密值均是曲線上某個點的縱坐標(biāo)值(見圖1)。由二次曲線的性質(zhì)可知,若已知曲線上的三個坐標(biāo)點,可容易在直角坐標(biāo)系上畫出完整的曲線,即可以獲得與縱軸的交點值;若僅知道曲線上一個或兩個坐標(biāo)點(如A和B,見圖2),那么該曲線與縱軸的交點可能有無數(shù)個(如:C1,C2,…,Cn),即無法確定該密鑰值。

    綜上所述,我們分別從代數(shù)的觀點和幾何的觀點,分析了密鑰共享的基本思想,充分展現(xiàn)了高中代數(shù)學(xué)習(xí)中“數(shù)形結(jié)合”的思想方法。從這兩個角度看問題,不僅可以讓學(xué)生直觀體驗到數(shù)形結(jié)合的思想方法,提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的鑒賞力和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,而且可以幫助學(xué)生對密鑰共享方法的理解,提高他們對“信息安全和密碼”學(xué)習(xí)的興趣,有利于學(xué)生進一步發(fā)展,對實現(xiàn)“信息安全與密碼”模塊教學(xué)也起到探索的作用。

    [1]袁智強.《信息安全與密碼》教學(xué)構(gòu)思及評價設(shè)想.數(shù)學(xué)通訊,2005,(11):9-10.

    [2]劉木蘭,張志芳.密鑰共享體制和安全多方計算.北京:電子工業(yè)出版社,2008.

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