非線性靜力分析的分段計算法

趙 峰，宋少云

(武漢工業(yè)學(xué)院機械工程學(xué)院，湖北武漢 430023)

在對某鋁合金材料汽車手剎進行有限元分析過程中出現(xiàn)了應(yīng)力超過了鋁合金屈服極限的情況，即材料發(fā)生了彈塑性變形，在此情況下傳統(tǒng)的計算方法直接將外力載荷平均分為若干段，逐步增加載荷后進行計算，這種計算方法耗時太長。

為了解決這個問題，本文提出了分段計算法。將計算分段為兩個載荷步。第一個載荷步內(nèi)把屈服極限之前的計算當(dāng)作線性行為，只劃分一個載荷子步;第二個載荷步，對于超過屈服極限的部分，劃分為多個載荷子步計算。經(jīng)過研究表明，相對傳統(tǒng)計算方法而言，該法計算精度基本相當(dāng)，而計算效率提高了67%。

1 材料非線性的有限元解法

大多數(shù)工程實際中，實際結(jié)構(gòu)的位移與載荷是呈非線性關(guān)系的，這樣的體系稱為非線性變形體系。如果體系的非線性是由于材料應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系的非線性引起的，則稱為材料非線性，如材料的彈塑性、松弛、蠕變等。如果結(jié)構(gòu)的形狀、位置使體系的受力發(fā)生了顯著的變化，以至不能采用線性體系的分析方法時就稱為幾何非線性，如結(jié)構(gòu)的大變形、大撓度等。還有一類非線性問題是邊界條件非線性，或接觸非線性，如各種接觸問題等。本文只討論材料非線性問題的有限元解法。

材料非線性問題的處理方法［1］，通常不必修改整個問題的表達式，而只需將應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系線性化，求解一系列的線性問題，并通過某種校正方法，最終將材料特性調(diào)整到滿足給定的本構(gòu)關(guān)系，從而獲得問題的解。

非線性問題用有限元法離散化得到如下形式的一組代數(shù)方程［1］:

雖然線性方程組［K({δ})］{δ}+{f}=0直接求解并無困難，但對于方程組，單元剛度矩陣是單元節(jié)點位移向量的函數(shù)，直接求解就行不通。非線性方程組的解法有很多，例如，Newton—Raphson法、增量法、Euler法、混合法等，基本思想都是以反復(fù)地進行迭代求解線性方程組去獲得滿足一定精度要求的非線性方程組的解［2］。

Newton—Raphson算法以增量形式逐漸施加載荷，在每一個載荷增量中完成平衡迭代來使得增量求解達到平衡。在每次求解前NR算法估算出殘差矢量，這個矢量是回復(fù)力(對應(yīng)于單元應(yīng)力載荷)和所加載荷的差值，然后使用非平衡載荷進行線性求解，并且檢驗收斂性。如果算出的結(jié)果不滿足收斂準則，重新估算非平衡載荷，修改剛度矩陣，獲得新的解。持續(xù)進行這種平衡迭代，使該問題得到收斂，如圖1所示。

一直進行迭代，直到{F}－{Fur}在允許誤差范圍內(nèi)。

圖1 Newton—Raphson算法

2 分段計算法的基本思想

對于非線性求解一般有三個操作遞進級別:載荷步、子步、平衡迭代［3］。假定載荷在載荷步內(nèi)是線性變化的，在給定時間范圍內(nèi)直接進行載荷步計算;每一個載荷步的子步內(nèi)，通過子步或者時間步的逐步加載可以控制ANSYS內(nèi)部程序來執(zhí)行多次求解;每一個子步內(nèi)，將進行一系列的平衡迭代獲得收斂的解。為了達到更好的精度，需要設(shè)置更多的子步，這導(dǎo)致花費的分析時間也隨之而增加。所以在設(shè)置更多的子步時，需要考慮精度和時間之間的平衡。ANSYS內(nèi)部程序通過兩種方法控制子步數(shù)，第一種是指定子步數(shù)或者指定時間步長;第二種是自動時間步長。一般的計算方法是將施加的載荷進行均分，每次緩慢的增加一定載荷，直到達到最終的載荷值。這種方法雖然精度較高，但需要分成很多的子步進行計算，需要分析的時間很長。

本文提出用分段計算法來提高計算效率［4］。該算法適用于應(yīng)力超過了材料的屈服極限的情況。通過線性計算初步確定到達屈服極限的載荷值，將這個載荷值作為分界點。從零到分界點這個過程，材料沒有發(fā)生塑性變形，進行線性分析，載荷步分為一個子步;從分界點到最終的載荷值，這個過程材料發(fā)生了塑性變形，將載荷進行均分，設(shè)置為多個子步，每次緩慢增加一定的載荷，直到最終的載荷值。這種方法迭代次數(shù)比一般的方法少很多，計算速度也相應(yīng)的提高［5］。

3 分段計算法的實例分析

下面以某公司汽車手剎為例來進行靜力分析，在保證計算結(jié)果精度相同的情況下，比較兩種不同分步載荷計算方法。

室溫中，手剎在低位的時候?qū)Σ僮鞅凼┘? 200 N的力，操作臂和基座分別為鋁合金材質(zhì)，其他部件均為普通鋼材。已知鋁合金的屈服極限為80 MPa。具體分析步驟如下。

(1)打開Ansys Workbench建立項目示意圖，對手剎進行靜力分析。

(2)導(dǎo)入模型:為方便分析，將重要結(jié)構(gòu)部件留下，其他部件抑制，對模型進行簡化，將簡化后的模型導(dǎo)入workbench，如圖2所示。

圖2 手剎模型

(3)設(shè)置材料屬性，將操作臂和基座設(shè)置為鋁合金材質(zhì)，其他部件均設(shè)置為結(jié)構(gòu)鋼材質(zhì)，由于分析過程中發(fā)生了材料非線性情況，添加非線性選項，輸入鋁合金材料曲線數(shù)據(jù)，如圖3所示。

圖3 鋁合金材料曲線

(4)設(shè)置各零部件之間的關(guān)系，查看導(dǎo)入模型的連接關(guān)系，修改并完善連接方式，整個手剎總共有8個零件:操作臂、基座、兩個襯套、傳動板、軸、連接螺釘、拉桿。接觸方式分為綁定和轉(zhuǎn)動副連接，其中綁定連接有:操作臂和襯套，操作臂和拉桿，基座和軸，基座和連接螺釘，操作臂和連接螺釘:轉(zhuǎn)動副連接有:軸和襯套，傳動版和拉桿。

(5)劃分網(wǎng)格，使用默認方式進行網(wǎng)格劃分，最后劃分結(jié)果為節(jié)點數(shù)249 221，單元數(shù)146 323。

(6)施加邊界條件:將手剎的底面固定;沿著拉桿的軸向方向施加位移為0;對操作臂上表面施加垂直向下的1 200 N的力。

(7)載荷步和時間步長設(shè)置

第一種均勻分步載荷的方法［6］，在Ansys中對手剎進行設(shè)置后，將Analysis Settings打開，Number of steps設(shè)置為1，關(guān)閉Auto time stepping(自動時間步長)，將Substep(子步數(shù))設(shè)置為120，也就是將施加在手剎上的力均勻的分隔為120份，以每10N進行加載的方式計算.

第二種二分分步載荷的方法，經(jīng)過計算，施加載荷為800 N的時候達到鋁合金的屈服極限，所以將計算分為兩步，第一階段為0到800 N，直接進行計算;第二階段為800 N到1 200 N，每10 N進行加載的方式計算。將Analysis Settings打開，Number of steps設(shè)置為2，關(guān)閉Auto time stepping自動時間步長，將第一步的 Substep(子步數(shù))設(shè)置為1，將第二步的Substep(子步數(shù))設(shè)置為40。

上面兩種計算方法最大應(yīng)力均發(fā)生在操作臂上(見圖4、圖5)，一般方法計算得到最大應(yīng)力為388.4 MPa，分段計算法計算得到的最大應(yīng)力為392.3 MPa，且在ANSYS經(jīng)典界面中，查看最大應(yīng)力均發(fā)生在998節(jié)點上。所以由此得到的計算結(jié)果，精度基本一致。

圖4 一般計算法最后時刻操作臂應(yīng)力云圖

圖5 分段計算法最后時刻操縱臂應(yīng)力云圖

為了考察分段計算法的計算精度，這里選取最后時刻應(yīng)力最大的點(危險點，編號是998)，并對兩種情況下其應(yīng)力隨載荷變化的歷程曲線進行對比(見圖6)，這兩條曲線的誤差所繪制的曲線，如圖7所示。

圖6 危險點的應(yīng)力的時間歷程曲線對比圖

圖7 危險點兩種計算方法的誤差曲線

為了查看其它點的情況，這里在操作臂上任選一個點，按照998號點同樣的方式繪制出兩個曲線圖(分別見圖8和圖9)。

圖8 任意點的應(yīng)力的時間歷程曲線對比圖

圖9 任意點兩種計算方法的誤差曲線

從上述四個圖可以發(fā)現(xiàn)，分段計算方法和一般計算方法后半段基本重合，而應(yīng)力的誤差基本可以忽略不計。分段計算法在外力0到800N過程中，用“一步”計算，而一般計算方法用了80步計算，省去了前面的計算步數(shù)，節(jié)省了分析計算的時間。也就是說在保證計算精度的前提下，分段計算方法提高了計算效率。

經(jīng)過對比:傳統(tǒng)的計算方法分析計算的最大應(yīng)力388.4 MPa發(fā)生在操作臂上，分析所用時間280 min;分段計算法分析計算的最大應(yīng)力392.3 MPa也發(fā)生在操作臂上，分析所用時間120 min;在保證精度相同的情況下，分段計算法將時間效率提高了67%。

［1］殷有泉.非線性有限元分析基礎(chǔ)［M］.北京:北京大學(xué)出版社，2007.

［2］郝好山，胡仁喜，康士延，等.ANSYS LS-DYNA非線性有限元分析從入門到精通［M］.北京:機械工業(yè)出版社2010.

［3］張洪武，關(guān)振群，李云鵬，等.有限元分析與CAE技術(shù)基礎(chǔ)［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2004.

［4］陳欣，李鈾.塑性力學(xué)新方法的有限元算法［J］.科技信息，2010(13):77 －82.

［5］張俊峰，郝際平，王連坤.幾何材料非線性分析的新空間梁柱單元［J］.土木建筑與環(huán)境工程，2009(3):55－60.

［6］胡玉梅，鄧兆祥，王欣，等.汽車后懸架的非線性有限元分析［J］.重慶大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2003，26(4):23 －27.