《市場調(diào)查和預(yù)測》中直線方程的系數(shù)求解方法探討

程定平

(湖南涉外經(jīng)濟(jì)學(xué)院, 湖南長沙 410205)

《市場調(diào)查和預(yù)測》是市場營銷專業(yè)和工商管理專業(yè)的一門必修課程.該課程中市場預(yù)測的方法涉及不少的數(shù)學(xué)公式和數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí),對于以學(xué)文科為主的市場營銷專業(yè)和工商管理專業(yè)的學(xué)生而言,無疑具有一定的難度和挑戰(zhàn)性.任課教師為了幫助學(xué)生理解各種預(yù)測方法,提高教學(xué)效果,需要對各種預(yù)測方法進(jìn)行詳細(xì)講解,并輔以例題、案例教學(xué),來達(dá)到幫助學(xué)生理解記憶的目的[1-3].筆者認(rèn)為,除此之外,對前后知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行歸納總結(jié),不僅可以復(fù)習(xí)鞏固原有知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí),還可以更好的理解學(xué)習(xí)新的知識(shí)點(diǎn),同時(shí),也有利于知識(shí)點(diǎn)的融會(huì)貫通.在各種市場調(diào)查和預(yù)測的教材中,均會(huì)介紹市場預(yù)測的方法.市場預(yù)測的方法可以分為定性和定量兩種,定量的分析方法主要有時(shí)間序列分析法和因果分析法.時(shí)間序列分析法中的直線趨勢延伸法和因果分析法中的一元線性回歸,均會(huì)涉及到線性方程參數(shù)a、b的求解.本文專門針對線性方程參數(shù)a、b的求解列出幾種不同方法,并配以例題講解.

1 標(biāo)準(zhǔn)公式:利用最小二乘法和極值定理求解

直線方程系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)求解方法,就是根據(jù)最小二乘法的基本原理,即實(shí)際值與觀察值 (預(yù)測值)的離差平方和最小,結(jié)合極值定理設(shè)立聯(lián)立方程求解.

∑(Yt- Yt)2=最小,即∑(Yt-a-bt)2=最小

利用極值定理可以轉(zhuǎn)化為聯(lián)立方程:

聯(lián)立解方程得到參數(shù)a、b:

例題1 某市場的一種商品前9個(gè)月的銷售量數(shù)據(jù)如下表1,根據(jù)銷售量數(shù)據(jù)變化趨勢試預(yù)測第10個(gè)月的銷售量.

表1 某市場的一種商品的銷售額

分析過程:通過做增量分析,得到增量范圍為3～5,近似相等,因此可以擬合為線性趨勢,建立數(shù)學(xué)模型:Y=a+bt,只要求解出參數(shù)a、b,即可進(jìn)行預(yù)測.

計(jì)算過程:

表2 標(biāo)準(zhǔn)公式中需要的數(shù)據(jù)計(jì)算

根據(jù)表2,將數(shù)據(jù)代入公式

代入?yún)?shù)a、b,即可得線性方程Y=16.04+3.68t所以,第10月的銷售量的預(yù)測值就是t=10時(shí)的Y值,即

2 特殊公式:當(dāng)∑t=0時(shí)可采用簡易方法求解

對于時(shí)間序列,時(shí)間作為橫坐標(biāo),僅標(biāo)示位置,水平位置左右平移并不會(huì)影響縱坐標(biāo)的預(yù)測值.因此若令 ∑t=0,參數(shù)a、b的計(jì)算公式就變得簡單許多,將∑t=0代入標(biāo)準(zhǔn)公式:

可以得到簡易公式:

仍以例題1為例,題目略.

計(jì)算過程:

表3 特殊公式中需要的數(shù)據(jù)計(jì)算

將表3中的數(shù)據(jù)代入公式:

根據(jù)t的編數(shù)規(guī)律,第10月的t為5,將t=5代入公式:

用特殊公式計(jì)算的結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)公式計(jì)算出的結(jié)果是一致的.

3 變形公式:為方便計(jì)算機(jī)編程而引入新參數(shù)

為了方便計(jì)算機(jī)編程,通常先進(jìn)行定義

這樣,參數(shù)a、b的公式變?yōu)?

還以例題1為例,題目略.

分析過程:將公式中的X看成t,則Xi2=t2,Xi×Yi=t×y,將表2數(shù)據(jù)直接代入即可.

計(jì)算過程:

將參數(shù) a、b代入,則Y=16.04+3.68X

若X=10,則Y=52.84,與前面的公式計(jì)算的結(jié)果完全吻合.

4 經(jīng)驗(yàn)公式:斜率 b近似等于縱坐標(biāo)差與橫坐標(biāo)間距的比值

在季節(jié)變動(dòng)預(yù)測法中,可以用經(jīng)驗(yàn)法計(jì)算線性方程的參數(shù)a、b.經(jīng)驗(yàn)法是將收集的時(shí)間序列根據(jù)時(shí)間周期 (通常為一年)分成幾段,分別計(jì)算第一段和最后一段的平均值,再與時(shí)間間隔期數(shù)相比得到斜率b,a則根據(jù)第一段的平均值和期數(shù)的均值得出,具體公式為:

由于本題中涉及季節(jié)變動(dòng),因此需要有季節(jié)變動(dòng)的數(shù)據(jù),故不再用例題1.本文將用一個(gè)具體的例題來介紹經(jīng)驗(yàn)法如何計(jì)算線性參數(shù)a、b.

例題2 以某超市某種商品近三年每個(gè)季度的銷量為例,具體數(shù)據(jù)如下表.

表4 某超市某商品三年的季度銷售量 (單位:10 kg)

從數(shù)據(jù)看,具有明顯的季節(jié)性,第三季度較其它三個(gè)季度明顯要多出很多;從不同年份的相同時(shí)期可以看出,存在一定的線性趨勢,因此,該商品的銷售量存在線性趨勢的季節(jié)變動(dòng).因此可以建立加法模型:Yt=a+bt+di或者是乘法模型:Yt=(a+bt)×fi.本文在這僅僅只介紹線性參數(shù)a、b的計(jì)算,不涉及季節(jié)指數(shù)的計(jì)算.

計(jì)算過程:

表5 某超市某商品的季節(jié)變動(dòng)線性參數(shù)所需數(shù)據(jù)

將數(shù)據(jù)代入公式:

則Yt=29.92+0.59t+di或者Yt=(29.92+0.59t)×fi.

此題如果簡單地套用標(biāo)準(zhǔn)公式計(jì)算參數(shù),則計(jì)算出來的參數(shù)為:

用標(biāo)準(zhǔn)方式計(jì)算出來的參數(shù)a、b與經(jīng)驗(yàn)法計(jì)算出來的參數(shù)a、b相距甚遠(yuǎn),原因有二:

(1)經(jīng)驗(yàn)法只是估計(jì)值,誤差較大;(2)本序列除了具有線性趨勢外,還存在季節(jié)變動(dòng),必須剔除季節(jié)變動(dòng)因素帶來的影響才可以,此處不作講解.

綜合上述,公式羅列和例題示范,筆者對線性方程系數(shù)的各種計(jì)算方法的應(yīng)用范圍等以表格的方式進(jìn)行簡單歸納總結(jié),以方便學(xué)生的對比理解記憶,具體內(nèi)容見表6.

表6 四種公式的歸納總結(jié)

[1]簡明,胡玉立.市場柵測與管理決策 [M].人民出版社,2010.

[2]范薇薇.“市場調(diào)查與預(yù)測”教學(xué)模式初探[J].江蘇經(jīng)貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2009,(4):87-89.

[3]盧珊.案例教學(xué)在數(shù)據(jù)分析技術(shù)課程中的應(yīng)用探討[J].首都師范大學(xué)學(xué)報(bào)(社會(huì)科學(xué)版),2009,(12):18-21.