平面曲線的切割函數(shù)的第二參數(shù)可導性

白晨明，岳崇山

（河北北方學院理學院，河北 張家口 075000）

雙切圓技術是考察區(qū)域邊界曲線對稱性的一種重要的方法。已經(jīng)有許多文獻對曲線的雙切圓進行了細致的研究。Peter J Gibin和Donal B O’shea討論了平面閉曲線雙切圓的存在性問題，［1］在他們的論文中切割函數(shù)是一個重要的工具。現(xiàn)在已經(jīng)有一些文獻從各種角度研究了切割函數(shù)的一些基本的性質［2－6］，特別是參考文獻 ［6］討論了平面曲線的切割函數(shù)對參數(shù)的連續(xù)性和可導性，從理論上證明了切割函數(shù)是光滑的，即它存在任意階導數(shù)。

本文的工作是通過具體計算來考察切割函數(shù)第二參數(shù)的一階和二階導數(shù)在不連續(xù)點的極限情況，使用的方法主要是幾何分析中Frenet公式、羅比達法則和函數(shù)求導的四則運算法則，希望得到的結果是：它們的不連續(xù)點都是可去間斷點，進而得到切割函數(shù)關于第二參數(shù)的一階和二階導數(shù)的顯式的表達式。這個工作的意義在于：倘若切割函數(shù)關于第二參數(shù)的一階和二階導數(shù)具有顯式的表達式，那么就可以試圖尋找平面曲線的凹凸性與其切割函數(shù)的凹凸性之間的關系。另外，關于切割函數(shù)在其間斷點的極限的討論，計算量很大，這是本文工作最大的困難。

1 相關概念

約定（s）為平面上的具有任意階導數(shù)的曲線，稱之為光滑曲線，這里參數(shù)s為弧長。

為平面曲線的Frenet公式。

定義1.2 設（s）為平面曲線，κ（s）為其相對曲率，（s0）是曲線上一點，稱

為曲線（s）的切割函數(shù)。這里

2 主要結果

由于考察切割函數(shù)在s0?S的連續(xù)性時的計算量比較大，為了計算簡便，先來給出一個引理。

為了計算簡便，從本節(jié)起用κ表示相對曲率κγ。

引理2.1 設平面曲線（s）在s，s0處的向徑，單位切向量和單位法向量分別為：和，并且令則R，N，T與它們的導數(shù)R′，N′，T′滿足公式

這里κ為平面曲線的相對曲率。

注解 用引理2.1的符號，切割函數(shù)可表示為：f（s0，s）＝2N／R。

定理2.1 平面曲線的切割函數(shù)關于第二參數(shù)s0是連續(xù)函數(shù)。

證明f（s0，s）是平面曲線（s）的切割函數(shù)。只需說明s0∈S是f（s0，s）的可去間斷點。不妨設（s0）→（s）時，s0→s。此時，切割函數(shù)f（s0，s）的分子分母都趨于零，故可以考慮使用羅比達法則。

即f（s0，s）關于參數(shù)s0是連續(xù)函數(shù)。這樣，如果視切割函數(shù)為二元函數(shù)的話，切割函數(shù)是連續(xù)的。

定理2.2 當s0?S時平面曲線（s）的切割函數(shù)關于第二參數(shù)的導函數(shù)為

證明

顯然f′（s0，s）在s0∈S4（s）時不連續(xù)，但是f′（s0，s）可以擴大到所有的參數(shù)。

定理2.3 在（s）處補充值2κ′（s）／3之后，平面曲線（s）的切割函數(shù)關于第二參數(shù)的導函數(shù)f′（s0，s）連續(xù)。

證明 不妨設（s0）→（s）時，s0→s。此時，切割函數(shù)的導函數(shù)f′（s0，s）的分子分母都趨于零，故可以考慮使用羅比達法則。切割函數(shù)的導函數(shù)為。可以設G＝4NT－2κTR，H＝R2。

首先，對G＝4NT－2κTR求導，

對以上各階導數(shù)觀察，當（s0）→（s）時，G（i）→0（i＝0，1，2，3）；然而觀察G?的表達式可知，G?中求導取極限之后，能夠得到非零常數(shù)的項只有－16κ′T，而－16κ′T的求導取極限等于16κ′（s），所以當（s0）→（s）時，G（4）→16κ′（s）。

下面的計算中，反復使用引理2.1的公式，復合函數(shù)求導法則以及求導的四則運算。受篇幅所限，只列出了計算結果，而省略了大部分的計算步驟。

接著，對H＝R2求導，H′＝2RR′＝－4RT

對以上各階導數(shù)觀察，當（s0）→（s）時，H（i）→0（i＝0，1，2，3）；然而觀察H?的表達式可知，H?中求導取極限之后，能夠得到非零常數(shù)的項只有－24T，而－24T的求導取極限等于24，所以當（s0）→（s）時，H（4）→24。

則切割函數(shù)關于第二參數(shù)的一階導函數(shù)f′（s0，s）可拓廣為

拓廣的切割函數(shù)關于第二參數(shù)的一階導函數(shù)（s0，s）在每一點連續(xù)。

下面來考察切割函數(shù)第二參數(shù)的二階導數(shù)的存在性和連續(xù)性，因受篇幅所限，只列出了計算結果，而省略了大部分的計算步驟。

當s0∈S4（s）時，平面曲線（s）的切割函數(shù)關于第二參數(shù)的二階導函數(shù)為

顯然f″（s0，s）在s0∈S4（s）時不連續(xù)，但f″（s0，s）可以拓廣到所有的參數(shù)。

引理2.2 設h＝－8κT2R＋4κN2R－4NR－2κ′TR2－2κ2NR2＋2κR2＋16NT2，則當s0→s時 ，h（k）→0，（k＝0，1，2，3，4，5），h（6）→360κ″（s）。

對以上各階導數(shù)觀察，當（s0）→（s）時，h（i）→0（i＝0，1，2，3，4，5）；然而觀察h（5）的表達式可知，h（5）中求導取極限之后，能夠得到非零常數(shù)的項只有－360κ″T，而－360κ″T的求導取極限等于360κ″（s），所以當（s0）→（s）時 ，h（6）→360κ″（s）。

引理2.3 設g＝R3，則當s0→s時，g（i）→0，（i＝0，1，2，3，4，5），g（6）→144。

對以上各階導數(shù)觀察，當（s0）→（s）時，g（i）→0（i＝0，1，2，3，4，5）；然而觀察g（5）的表達式可知，g（5）中求導取極限之后，能夠得到非零常數(shù)的項只有－144T，而－144T的求導取極限等于144，所以當（s0）→（s）時，g（6）→144。

定理2.4 在（s）處補充值之后，平面曲線（s）的切割函數(shù)關于第二參數(shù)的二階導函數(shù)f″（s0，s）連續(xù)。

證明 不妨設（s0）→（s）時，s0→s。此時，切割函數(shù)的導函數(shù)

f″（s0，s）的分子g和h分母都趨于零，故可以考慮使用羅比達法則，由引理2.2和引理2.3可得

則切割函數(shù)關于第二參數(shù)的二階導函數(shù)f″（s0，s）可以拓廣為

拓廣的二階導函數(shù)（s0，s）在每一點都連續(xù)。

定理2.3和定理2.4的證明給出了平面曲線的切割函數(shù)的一階和二階導數(shù)的處處連續(xù)的具體的表達式，這有助于找到平面曲線的凹凸性與其切割函數(shù)的凹凸性之間的關系。

注：文中函數(shù)的一階導數(shù)符號都統(tǒng)一成單撇號.二階導數(shù)符號都統(tǒng)一成雙撇號.三階導數(shù)符號都統(tǒng)一成三撇號，三階以上導數(shù)都寫成了括號形式了。

［1］Gibin P J，O’shea D B.The bitangent sphere problem ［J］.Am Math Month，1990，97（01）：5-23.

［2］岳崇山，宋旭華.切割函數(shù)為常值的曲線的一個結果［J］.河北北方學院學報：自然科學版，2010，26（03）：13-15.

［3］岳崇山.切割函數(shù)的運動不變性［J］.河北北方學院學報：自然科學版，2010，26（05）：10-13.

［4］岳崇山，張蒲修.切割函數(shù)與參數(shù)選擇的關系［J］.河北北方學院學報：自然科學版，2011，27（05）：10-12.

［5］岳崇山.切割函數(shù)關于第二參數(shù)的分析性質［J］.河北北方學院學報：自然科學版，2012，28（02）：15-16.

［6］岳崇山，宋旭華，景海斌.平面曲線的切割函數(shù)的分析性質［J］.河北北方學院學報：自然科學版，2010，26（04）：14-16.