素環(huán)上的導(dǎo)子

王力梅，唐保祥

（天水師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 天水 741001）

1 引 言

有關(guān)極大右商環(huán)的定義見(jiàn)文獻(xiàn)［1］。

設(shè)R是任意結(jié)合環(huán)，對(duì)于任意的x，y∈R，d是環(huán)R上的可加映射，若d（xy）＝d（x）y＋xd（y），則稱(chēng)d為環(huán)R上的導(dǎo)子。

設(shè)R是任意結(jié)合環(huán)，對(duì)于任意

a，b∈R，若aRb＝0，則a＝0或b＝0，則稱(chēng)環(huán)R為素環(huán)。

Posner的結(jié)果表明：若素環(huán)上有一個(gè)非零的中心化的導(dǎo)子，則此環(huán)是可交換的。后來(lái)許多人從不同的方面推廣了這個(gè)結(jié)果，得到了豐富的結(jié)果［2－5］。本文給出了反導(dǎo)子的定義，進(jìn)一步給出了導(dǎo)子以及反導(dǎo)子的幾個(gè)性質(zhì)

2 主要結(jié)果

定義1 設(shè)R是任意的結(jié)合環(huán)，d是環(huán)R上的可加映射，對(duì)于任意的x，y∈R，若d（xy）＝d（y）x＋yd（x），則稱(chēng)d為環(huán)R上的反導(dǎo)子。

引理1 設(shè)R是素環(huán)，Z是環(huán)R的中心，若0≠z∈Z，則z不是零因子。

證明 若存在0≠t∈Z，使得zt＝0，則zRt＝Rzt＝0，這與R是素環(huán)矛盾。

引理2 設(shè)d是素環(huán)R上的非零導(dǎo)子，0≠V是環(huán)R的右理想，則d（V）≠0。

證明 若對(duì)于任意的ν∈V，d（ν）＝0，則對(duì)于任意的r∈R，d（νr）＝d（ν）r＋νd（r）＝νd（r）＝0，由R是素環(huán)，可知d（r）＝0，這與d是素環(huán)R上的非零導(dǎo)子矛盾

引理3 設(shè)R是素環(huán)，0≠V?R是環(huán)R的右理想，且V是可交換的，那么R也是交換的。

證明 設(shè)ν，t∈V，r∈R，則［νr，t］＝ν［r，t］＋［ν，t］r＝ν［r，t］＝0，故［r，t］＝0，即r∈Z（V）?V，那么R也是交換的。

引理4 設(shè)R是素環(huán)，Z是環(huán)R的中心，0≠0，ac∈Z，那么a∈Z。

證明 對(duì)于任意的r∈R，r（ac）＝ （ac）r＝ （ar）c，即（ra－ar）c＝0，由引理1知ra－ar＝0，即a∈Z。

引理5 設(shè)R是素環(huán)，Z是環(huán)R的中心，d是素環(huán)R上的導(dǎo)子，則d（Z）?Z。

證明 對(duì)于任意的z∈Z，r∈R，d（zr）＝d（z）r＋zd（r）＝d（r）z＋rd（z），即d（z）r＝rd（z）。

引理6［6］設(shè)R是素環(huán)，如果對(duì)于任意的x∈R，都有axb＝bxa，這里a，b∈R，a≠0，那么存在λ∈C，使得b＝λa。

定理1 設(shè)R是非交換的素環(huán)，Z是環(huán)R的中心，0≠V是環(huán)R的右理想，d是素環(huán)R上的導(dǎo)子，若d（V）?Z，則d＝0。

證 明 設(shè)a，b∈V，則d（a），d（b），d（ab）∈Z，［d（ab），a］＝ ［d（a）b＋ad（b），a］＝ ［d（a）b，a］＋［ad（b），a］＝d（a）［b，a］＋ ［d（a），a］b＋a［d（b），a］＋ ［a，a］d（b）＝d（a）［b，a］＝0，由引理1知d（a）＝0或［b，a］＝0，即V＝G∪H，其中

G＝｛a∈V｜d（a）＝0｝，H＝｛a∈V｜a∈Z（V）｝，易知G，H都是加法子群，又由于任何群不能表示成兩個(gè)真子群的并，故G＝V或H＝V.若H＝V則V可換，由引理3知，環(huán)R可換，故G＝V，由引理2知，d＝0。

定理2 設(shè)R是素環(huán)，d，g是R上的反導(dǎo)子，對(duì)于任意的x，y∈R，若

如果d≠0，那么存在λ∈C，使得g（x）＝λd（x）。

證明 在（1）中用yz代替y有，d（x）g（yz）＝g（x）d（yz）即d（x）g（z）y＋d（x）zg（y）＝g（x）d（z）y＋g（x）zd（y），由（1）

如果由引理6知，存在λ（x）∈C，使得g（x）＝λ（x）d（x），

由（2）知，對(duì)任意的y∈R，（λ（y）－λ（x））d（x）zd（y）＝0，

如果d（x）≠0，d（y）≠0，由于R是素環(huán)，故有λ（x）＝λ（y），

即g（x）＝λd（x）；

若d（x）＝0，由（2）有g(shù)（x）zd（y）＝0，由于d≠0，故有g(shù)（x）＝0，

g（x）＝λd（x）也成立，故對(duì)于任意的x∈R，g（x）＝λd（x）。

定理3 設(shè)R是素環(huán)，d，f，g，h是R上的反導(dǎo)子，且滿(mǎn)足對(duì)于任意的x，y∈R，d（x）g（y）＝h（x）f（y），如果h≠0，f≠0，那么存在λ∈C，使得g（x）＝λf（x），h（x）＝λd（x）。

證明 在d（x）g（y）＝h（x）f（y）中，用zy代替y有，

d（x）（g（y）z＋yg（z））＝h（x）（f（y）z＋yf（z）），

又由d（x）g（y）＝h（x）f（y）可得，d（x）yg（z）＝h（x）yf（z），

上式中用yg（w）代替y，有d（x）yg（w）g（z）＝h（x）yg（w）f（z），

由d（x）yg（z）＝h（x）yf（z）可得，h（x）y（f（w）g（z）－g（w）f（z））＝0，

由于h≠0，故f（w）g（z）＝g（w）f（z），由定理2得，g（y）＝λf（y），

將上式帶入d（x）yg（z）＝h（x）yf（z），有h（x）＝λd（x）

［1］Beidar K I，Martindale W SⅢ，Mikhalev AV.Rings with generalized identities［M］.New York-Basel-Hong Kong：Marcel Dekker Inc.，1995.

［2］Bell H E，Martinddale W S.Semi-derivations and commutativity in prime rings［J］.Canad Math Bull，1988，31：500-508.

［3］Bresar M，Vukman.On left derivations and related mappings［J］.Proc Amer Math Soc，1990，110：7-16.

［4］Chung L O，Lun J，On semi-commuting auto-morphisms of rings［J］.Canad Math Bull，1978，21：13-16.

［5］Bell H E，Martinddale W S.Centralizing mappings of semi-prime rings［J］.Canad Mathm Bull，1987，30：92-101.

［6］Bresar M.Centralizing mappings and derivations in prime rings［J］.J Algebra，1993，156：385-394.