簡諧振動和簡諧波中相位的分析

王 星，張曉雁，郭雄飛

（1.河北北方學院理學院，河北 張家口 075000；2.張家口市第五中學，河北 張家口 075000；3.張家口市第十九中學，河北 張家口 075000）

1 引 言

簡諧波是簡諧振動在彈性介質(zhì)中的傳播。波源沿y方向振動，波在x軸上傳播的平面簡諧波方程為：

式 （1）描述了介質(zhì)中各體元在各時刻的振動情形。當變量x取一定值x0時，方程只描述介質(zhì)中x0處一個體元的簡諧振動情況，式 （1）變?yōu)椋?/p>

即為x0處體元的振動方程。

當變量t取一定值t0時，則方程所表達的是在這個特定時刻。介質(zhì)中不同位置上各個體元的瞬時狀態(tài)。式 （1）變?yōu)椋?/p>

即為t0時刻的波形方程。

式 （2）和式 （3）的物理意義完全不一樣，但數(shù)學形式上式 （2）表示y是t的函數(shù)。式 （3）表示y是x的函數(shù)，即兩式的數(shù)學形式相同。接下來，我們將對以上兩方程用同樣的方法已知其方程畫相應(yīng)的圖象和已知振動圖線或波形圖寫相應(yīng)的方程。

2 對振動方程和波形方程中相位的分析

振動方程 （2）中 “ωt＋Φ1”叫相位，且規(guī)定t＝0時的相位Φ1為初相［3］，相位是當振幅和圓頻率一定時進一步?jīng)Q定簡諧振動任意瞬時運動狀態(tài)的物理量，因ω為波源的圓頻率，由波源的本身性質(zhì)決定［7，8］，ω為正值，時間變量從時間軸零點開始沿正方向取值，因此也為正值，所以相位中 “ωt”項永遠為正。隨著時間的增加相位不斷變大，即ωt＋Φ1≥Φ1。

平面波傳播時，若介質(zhì)中體元均按余弦 （或正弦）規(guī)律運動，叫平面簡諧波［4－6］。平面簡諧橫波的波形方程如式 （3）。我們不仿也規(guī)定波形方程 （3）中 “kx＋Φ2”也叫相位［2］，且記x＝0時Φ2為初相。其意義為當振幅與波數(shù)一定時進一步?jīng)Q定波的傳播過程中某一時刻不同體元的位移分布情況的物理量；波數(shù)k為2π長度上波的數(shù)目，所以k為正值。式 （3）中的 “±kx”項為傳播項，其意義為介質(zhì)中某體元 （坐標為x）落后于波源的相位。當此項取 “＋”時，代表波源位于x＝0處且波沿x軸負向傳播。因此x必取負值；當此項取 “－”時，代表波源位于x＝0處且波沿x軸正向傳播［1］。此時x必為正值。因此 “±kx”項永遠為負，所以隨著｜x｜的增大相位 “±kx＋Φ2”不斷變減小，即±kx＋Φ2≤Φ2。

3 結(jié)合相位對按余弦規(guī)律運動的物體的振動過程的具體分析

用余弦函數(shù)表示簡諧振動方程如式 （2）或用余弦函數(shù)表示簡諧橫波的波形方程如式 （3）時?？傻冒从嘞乙?guī)律運動的物體的各物理量 （位移、速度及相位）在不同位置的對應(yīng)情況如下：（這里對 （2）式和（3）式中的相位都用Φ表示）

當相位為π／2的奇數(shù)倍時，則物體的位移y＝0，且物體的運動速度為正向最大或負向最大。

當相位為π的的整數(shù)倍時，則物體的位移y＝±A，且物體的運動速度為零。

當相位為第一象限角，即0＜Φ＜π／2時，物體處于y軸正半軸且物體的運動速度為負。

當相位為第二象限角，即π／2＜Φ＜π時，物體處于y軸負半軸且物體的運動速度為負。

當相位為第三象限角，即π＜Φ＜3π／2時，物體處于y軸負半軸且物體的運動速度為正。

當相位為第四象限角，即3π／2＜Φ＜2π時，物體處于y軸正半軸且物體的運動速度為正。

4 由方程畫圖象

4.1 已知振動方程畫振動圖線

振幅可直接從方程中看出。

再從方程直接看該物體的初相Φ1是第幾象限角，由以上分析可知該振動物體在t＝0時速度的正負情況，并由初相的余弦函數(shù)值確定曲線和y軸交點的坐標值。

已知振動圖線即 “位移一時間”曲線上任意一點切線斜率的正負代表振動物體速度的正負。由以上分析已經(jīng)確定了該振動物體在t＝0時速度的正負，即曲線過與y軸交點的斜率的正負已知，進而可確定曲線在與y軸交點處的彎曲方向。又余弦函數(shù)曲線具有連續(xù)性，可將圖象順接下去。

曲線與橫軸交點 （或曲線最高點和最低點）對應(yīng)時間值的確定方法如下：由振動方程相位的特點，相位是時間的函數(shù)，且每過T／4，相位增加π／2。再由ωt＋Φ1＝ψ（若確定曲線與橫軸的交點即y＝0所對應(yīng)的時間值則對應(yīng)相位為π／2的奇數(shù)倍，若確定曲線最高點或最低點即y＝±A時所對應(yīng)的時間值則對應(yīng)相位為π的的整數(shù)倍。）。該式中只有t未知，從而能計算出曲線上某點對應(yīng)的時間值。通過T＝2π／ω計算出周期，曲線上其它與橫軸交點 （或曲線最高點和最低點對應(yīng)）的時間值也能一一推算出來。

4.2 已知波形方程畫波形圖

振幅可直接從方程中看出。

再直接看x＝0處體元的相位Φ2是第幾象限角，由相位分析可知出該體元的振動方向，并由相位角Φ2的余弦函數(shù)值確定曲線和y軸交點的坐標值。

由波的形成機理，波的傳播過程中，介質(zhì)中各體元間有力的相互作用，離波源近的體元依次帶動離波源遠的體元振動起來，即后面的體元有序地重復前面體元的振動形式。波形方程中傳播項前的正負號代表了波的傳播方向并由以上分析可知x＝0處體元的振動方向。即由波的傳播方向和x＝0處體元的振動方向及波的形成機制可唯一確定波形曲線在與y軸交點處的彎曲方向。再由余弦函數(shù)曲線的連續(xù)性，將圖象順接下去。

曲線與橫軸交點坐標 （或曲線最高點和最低點對應(yīng)坐標值）的確定方法如下：由波形方程相位的特點，相位是x的函數(shù)，且振動每經(jīng)過T／4，相位減少π／2。再由±kx＋Φ2＝α（若確定曲線與橫軸的交點即y＝0所對應(yīng)的坐標值則對應(yīng)相位α為π／2的奇數(shù)倍，若確定曲線最高點或最低點即y＝±A時所對應(yīng)的坐標值則對應(yīng)相位α為π的整數(shù)倍。）。該式中只有x未知，從而能計算出曲線上某點對應(yīng)的坐標值。通過λ＝2π／k計算出波長，曲線上其它與橫軸交點 （或曲線最高點和最低點對應(yīng)的坐標值）坐標值也能一一推算出來。

5 由圖象寫方程

5.1 已知振動圖線寫振動方程

振幅可以從振動圖線中直接觀察出來。

通過曲線和縱軸交點處的彎曲方向即得曲線過該點斜率的正負，從而能判斷該振動物體在t＝0s時振動方向 （即速度正負）。曲線和縱軸交點的坐標值 （設(shè)為y0）已知。由公式cosΦ1＝y(tǒng)0／A和t＝0s時物體振動速度的正負便能唯一確定方程的初相Φ1。

ω的確定方法如下：設(shè)振動圖線中給定的已知時間值為t0。再經(jīng)相位分析 （相位是時間的函數(shù)，且每過T／4，相位增加π／2）得t0處所對應(yīng)相位為β。通過等式ωt0＋Φ1＝β，此式只有ω未知，因此通過此式可算出ω。從而振動方程就唯一確定了。

5.2 已知波形圖寫波形方程

振幅可以從波形圖中直接觀察出來。

由波的形成機理，可以由波的傳播方向和波形曲線在x＝0處的彎曲方向直接確定x＝0處體元的振動方向 （即速度方向）。曲線和縱軸交點的坐標值 （設(shè)為y1）已知。再由cosΦ2＝y(tǒng)1／A和x＝0處體元的振動方向便能唯一確定方程的相位Φ2。

λ的確定方法如下：設(shè)波形曲線中給定的已知坐標值為x0。再經(jīng)相位分析 （相位是坐標的函數(shù)，且每過λ／4，相位減少π／2）得t0處所對應(yīng)相位為γ。再通過等式kx0＋Φ2＝γ或-kx0＋Φ2＝γ，此式只有k未知，因此通過此式可算出波數(shù)k進而算出波長λ。從而波形方程就能唯一確定了。

6 結(jié) 論

本文對簡諧振動 （或按余弦規(guī)律運動）和簡諧橫波波形方程中相位進行了詳細具體的分析。對兩個方程中相位的異同進行分析對照。同時應(yīng)用相位分析并結(jié)合簡諧振動 （或按余弦規(guī)律運動）本身的特性對已知方程如何畫圖象和已知圖象如何寫方程的問題作了詳細分析。在以上操作過程中對相位進行最大程度的應(yīng)用。相位在所有描述簡諧振動和簡諧波的物理量中是最抽象的，對其進行深入分析理解，比用其他方法進行以上具體操作來得更方便更快捷，也更有助于理解簡諧振動和簡諧波的實質(zhì)。對日常教學和深入研究簡諧振動 （或按余弦規(guī)律運動）和簡諧波也很有幫助。

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