三種因素對水電機(jī)組主軸頻率的影響研究

陳貴清，曲 哲

（1.唐山學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，河北 唐山063000；2.河北聯(lián)合大學(xué) 建筑與土木工程學(xué)院，河北 唐山063009）

長期以來水電機(jī)組主軸振動問題嚴(yán)重影響著水電站的安全運(yùn)行，并阻礙著其向大型化方向發(fā)展。2009年8月17日，俄羅斯薩揚(yáng)水電站就發(fā)生了嚴(yán)重的安全事故，事故造成75人死亡，13人失蹤［1］。這是由于在高水頭、大流量和強(qiáng)電磁場的共同作用下，水電機(jī)組主軸振動規(guī)律不易掌握，隱患長期積累，最終爆發(fā)并造成嚴(yán)重后果。更加值得注意的是，為了滿足社會快速發(fā)展對能源的巨大需求，近些年建成的水電機(jī)組單機(jī)容量不斷提升，水力作用和電磁作用對水電機(jī)主軸穩(wěn)定性的影響也越發(fā)顯著，因此本文著重對此進(jìn)行探討。

研究模型為三峽水電站機(jī)組，單機(jī)容量為70×104kW，額定轉(zhuǎn)速75r／min，發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子質(zhì)量2.26×106kg，發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子極轉(zhuǎn)動慣量1.12×108kgm2，水輪機(jī)轉(zhuǎn)輪質(zhì)量4.5×105kg，水輪機(jī)轉(zhuǎn)輪極轉(zhuǎn)動慣量7.5×106kgm2，發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子有效長度3.437m，極對數(shù)40，額定功率因數(shù)0.9。

1 水電機(jī)組轉(zhuǎn)子軸系簡化模型

1.1 轉(zhuǎn)子軸系質(zhì)量的離散化

水電機(jī)組主軸是一個質(zhì)量連續(xù)分布的彈性系統(tǒng)，見圖1，嚴(yán)格來講其自由度為無窮多個，必須減少其自由度方能進(jìn)行計(jì)算。因此，在轉(zhuǎn)子動力學(xué)中，多采用將主軸進(jìn)行分段的方法，人為地限定軸系自由度的數(shù)量。這些分段的結(jié)點(diǎn)通常選在主軸的截面有突變處或發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子、轉(zhuǎn)輪中心和兩端以及導(dǎo)軸承等位置。根據(jù)以上分段原則，對三峽水電機(jī)組主軸分段如圖2所示。本文將三峽水電機(jī)組主軸分為12個節(jié)點(diǎn)、11段。節(jié)點(diǎn)1為主軸的最上端；節(jié)點(diǎn)2為上導(dǎo)軸承；節(jié)點(diǎn)3，4，5分別為發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子的上端、中心和下端；節(jié)點(diǎn)6為下導(dǎo)軸承；節(jié)點(diǎn)7為法蘭，在此加設(shè)節(jié)點(diǎn)是因?yàn)榇颂幹鬏S截面尺寸發(fā)生了明顯變化；節(jié)點(diǎn)8為水導(dǎo)軸承；節(jié)點(diǎn)10處主軸截面尺寸再次發(fā)生明顯變化；節(jié)點(diǎn)10，11，12分別為轉(zhuǎn)輪的上端、中心和下端。

1.2 導(dǎo)軸承

水電機(jī)組主軸水平方向受2－3個滑動軸承限制，稱為導(dǎo)軸承。三峽機(jī)組為3個導(dǎo)軸承，其中上導(dǎo)軸承位于發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子的上部，由8塊瓦組成；下導(dǎo)軸承與推力軸承共用一個油槽，可以稱為推導(dǎo)聯(lián)合軸承；水導(dǎo)軸承位于水輪機(jī)轉(zhuǎn)輪的上面，由12塊瓦組成。由于導(dǎo)軸承內(nèi)部充滿潤滑油且水電機(jī)組主軸系統(tǒng)質(zhì)量巨大，因而不可能完全限制其移動。本文將各個導(dǎo)軸承均簡化為具有一定剛度的水平彈簧。

1.3 發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子

水電機(jī)組主軸系統(tǒng)的大部分質(zhì)量集中在轉(zhuǎn)子上，其外圍為鋼片壓成的磁極與磁軛，中心部分為鋼架支撐。因此本文根據(jù)轉(zhuǎn)子的自身特點(diǎn)，結(jié)合有限元法和傳遞矩陣法對系統(tǒng)簡化的不同思想將其簡化為兩種不同模型：在應(yīng)用有限元方法時(shí)將轉(zhuǎn)子的中心軸簡化為質(zhì)量均勻分布的彈性桿，而應(yīng)用傳遞矩陣法時(shí)則將其簡化為質(zhì)量平均集中在兩端的無質(zhì)量彈性桿。對于外圍的磁極與磁軛，兩種方法均簡化為3個均分布的集中質(zhì)量。

1.4 水輪機(jī)轉(zhuǎn)輪

水輪機(jī)轉(zhuǎn)輪是主軸系統(tǒng)中另一個集中質(zhì)量部件，由于轉(zhuǎn)輪葉片豎向排列，能夠提供水平剛度，所以應(yīng)用有限元法時(shí)將其簡化為質(zhì)量均勻分布的彈性桿；而應(yīng)用傳遞矩陣法時(shí)則將其簡化為質(zhì)量平均集中在兩端的無質(zhì)量彈性桿。

2 頻率影響因素

2.1 附加水質(zhì)量

轉(zhuǎn)輪葉片之間有很大的空間，在運(yùn)行時(shí)這個空間中會有大量的水駐留并一起旋轉(zhuǎn)，相當(dāng)于增加了水輪機(jī)轉(zhuǎn)輪的質(zhì)量，但并不改變轉(zhuǎn)輪的尺寸。

2.2 電磁剛度

水電機(jī)組在運(yùn)行當(dāng)中發(fā)生振動，會使得轉(zhuǎn)子偏離平衡位置，再加上制造時(shí)轉(zhuǎn)子本身就存在一定的偏心。這樣當(dāng)轉(zhuǎn)子與定子均通有電流時(shí)，由于偏心會使得兩者互相吸引，而且這種引力會隨著二者距離的減小而提高，其方向恰好與偏心的方向一致。這種力的變化規(guī)律類似于彈簧力的變化規(guī)律，只是這種力對主軸提供的剛度為負(fù)值，一般稱其為電磁剛度。本文對電磁剛度的附加方式為在轉(zhuǎn)子的中心增加一個剛度為負(fù)值的“彈簧”。值得注意的是，只有在系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)下才會出現(xiàn)電磁剛度，所以電磁剛度的存在必須以上面提到的附加水質(zhì)量的存在為前提。

2.3 陀螺效應(yīng)

陀螺效應(yīng)就是旋轉(zhuǎn)的物體保持其原有旋轉(zhuǎn)方向（旋轉(zhuǎn)軸的方向）的慣性，其大小與旋轉(zhuǎn)體的極轉(zhuǎn)動慣量和轉(zhuǎn)動角速度有關(guān)，這相當(dāng)于給主軸系統(tǒng)添加了一個隱形的彈簧，有提高系統(tǒng)固有頻率的作用。

3 主軸固有頻率計(jì)算

3.1 有限元法

有限元法是求解力學(xué)問題的一種很有效的數(shù)值計(jì)算方法，它把連續(xù)體看成是若干個離散單元的集合體，這些單元每一個都是既有彈性特征又有質(zhì)量特征的連續(xù)體［2］。相鄰單元之間由共用節(jié)點(diǎn)連接，此方法就是通過限制相鄰單元在共用節(jié)點(diǎn)處位移相同這一條件，約束總體的運(yùn)動狀態(tài)。通過運(yùn)用插值法建立位移方程，有限元法將連續(xù)體的振動問題變成了有限自由度的振動問題，從而使問題可以借助于線性方程組求解。具體來講，忽略阻尼系統(tǒng)橫向自由振動的特征方程為

其中，M為整體質(zhì)量矩陣，K為整體剛度矩陣，J為整體極轉(zhuǎn)動慣量矩陣，ω為試算頻率。通過將步長固定的試算值逐一代入，符合特征方程的試算頻率即為軸系的固有頻率。

根據(jù)有限元方法算得主軸系統(tǒng)前8階頻率為（單位Hz）：

由以上數(shù)據(jù)可看出，第8階頻率已達(dá)到214.365 8Hz，由于主軸的振動主要是由轉(zhuǎn)動引起的低頻振動，因此不再計(jì)算更高階頻率。

3.2 傳遞矩陣法

傳遞矩陣法認(rèn)為軸系是由無厚度、剛性的集中質(zhì)量圓盤和無質(zhì)量的彈性桿依次間隔組成。其方法是將轉(zhuǎn)軸的截面的狀態(tài)向量記作｛A｝＝［yθMQ］T，4個元素分別表示位移、轉(zhuǎn)角、彎矩、剪力。這個狀態(tài)向量由軸系的一端逐一截面?zhèn)鬟f，在彈性桿的兩端彎矩和剪力不發(fā)生變化，在圓盤兩側(cè)位移和轉(zhuǎn)角不發(fā)生改變。綜合考慮軸系兩端狀態(tài)向量的實(shí)際情況即可求出軸系的頻率。其優(yōu)點(diǎn)在于矩陣的維數(shù)不隨系統(tǒng)自由度的增加而增大，各階固有頻率的計(jì)算方法完全相同，而且程序簡單，所需貯存單元少。

應(yīng)用傳遞矩陣法算得的軸系前8階頻率為（單位Hz）：

與有限元法算得的頻率對比可發(fā)現(xiàn)，兩種算法的前6階頻率基本相同，可以認(rèn)為算得的頻率值是可靠的。后續(xù)頻率二者也出現(xiàn)了一定的差別，這是由于二者簡化模型的方式不同引起的。特別是傳遞矩陣法，其結(jié)果是通過多步的結(jié)果傳遞得出的，容易出現(xiàn)累計(jì)誤差，影響結(jié)果的準(zhǔn)確性。兩種算法出現(xiàn)分歧的部分為高階頻率，系統(tǒng)正常運(yùn)行時(shí)不可能達(dá)到如此高的頻率（系統(tǒng)的飛逸轉(zhuǎn)速不過2.5Hz），所以認(rèn)為高階頻率誤差在本次研究中可不做考慮。為保證結(jié)果可相互比較，如無特殊說明后文中均采用有限元方法進(jìn)行計(jì)算。

4 軸系振型圖

經(jīng)計(jì)算可得軸系前5階振型圖如圖3至圖7所示，假定主軸上端位移為1。圖3稱為0階振型是指其振型與平衡位置沒有交點(diǎn)，系統(tǒng)整體向一側(cè)偏移。由于主軸剛度很大，再加上機(jī)組轉(zhuǎn)速較低（75r／min），高階振型不易被激發(fā)，因此圖4至圖7這4階低階振型就顯得更加重要，這在3個導(dǎo)軸承位置設(shè)計(jì)時(shí)要充分考慮。

5 多因素影響變化

5.1 附加水質(zhì)量影響

水電機(jī)組運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)水的附加質(zhì)量一般認(rèn)為不超過轉(zhuǎn)輪的最大容水質(zhì)量的50%［3］。經(jīng)計(jì)算可知，三峽機(jī)組水輪部分最大容水質(zhì)量為m＝6.02×104kg，即在水電機(jī)組運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)水的附加質(zhì)量不超過3.01×104kg，這部分質(zhì)量約為水輪機(jī)轉(zhuǎn)輪質(zhì)量的1／15。將水的附加質(zhì)量分為5個等級，其對系統(tǒng)振動頻率的影響結(jié)果數(shù)據(jù)如表1。

由表1可以看出：隨著水的附加質(zhì)量增加主軸系統(tǒng)的各頻率均逐漸下降，隨著頻率階數(shù)的提高這種影響作用不斷減小，直至對第8階頻率不構(gòu)成影響。而且即使附加水質(zhì)量達(dá)到了最大容水質(zhì)量的50%，其對第1階頻率的影響也只有2%左右，可見對于三峽主軸系統(tǒng)附加水質(zhì)量單獨(dú)作用的影響并不十分明顯。

表1 附加水質(zhì)量與固有頻率關(guān)系

5.2 電磁剛度影響

根據(jù)計(jì)算，三峽機(jī)組的電磁剛度K＝0.5×109N／m，而且當(dāng)考慮電磁剛度時(shí)一定要考慮附加的水質(zhì)量［4］。據(jù)此，以附加水質(zhì)量為最大水容量的50%為前提，設(shè)計(jì)5個等級，研究電磁剛度對主軸系統(tǒng)各階頻率的影響。數(shù)據(jù)如表2。

表2 電磁剛度與固有頻率

從所得結(jié)果可以看出：電磁剛度的改變主要影響了主軸系統(tǒng)的前3階振動頻率，對后續(xù)各階頻率幾乎不產(chǎn)生影響，總體上是隨著頻率階數(shù)的提高影響作用不斷減小，這一點(diǎn)與附加水質(zhì)量的作用現(xiàn)象類似。當(dāng)電磁剛度達(dá)到0.5×109N／m時(shí)前3階頻率分別下降了約6%，8%和1%。這表明電磁剛度單獨(dú)作用時(shí)對三峽主軸系統(tǒng)的固有頻率影響相對明顯。

5.3 陀螺效應(yīng)影響

表3中第1組數(shù)據(jù)為運(yùn)用有限元法不考慮陀螺效應(yīng)時(shí)系統(tǒng)的各階頻率，第2組數(shù)據(jù)為運(yùn)用有限元法考慮陀螺效應(yīng)時(shí)系統(tǒng)的各階頻率，第3組數(shù)據(jù)是運(yùn)用傳遞矩陣法不考慮陀螺效應(yīng)時(shí)系統(tǒng)的各階頻率，第4組數(shù)據(jù)是運(yùn)用傳遞矩陣法考慮陀螺效應(yīng)時(shí)系統(tǒng)的各階頻率。觀察數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，陀螺效應(yīng)使得第1階頻率提高約25%，第2階頻率提高了4%。這表明陀螺效應(yīng)是影響三峽機(jī)組主軸系統(tǒng)頻率的一個重要因素，必須予以考慮。

表3 陀螺效應(yīng)與固有頻率的關(guān)系

6 結(jié)論

本文分別運(yùn)用有限元法和傳遞矩陣法計(jì)算了三峽水電機(jī)組主軸系統(tǒng)的固有頻率，繪制了其前4階振型圖，探究了附加水質(zhì)量、電磁剛度和陀螺效應(yīng)對固有頻率的影響。發(fā)現(xiàn)隨著水的附加質(zhì)量增加主軸系統(tǒng)的各頻率均逐漸下降，但隨著頻率階數(shù)的提高這種影響作用不斷減小。電磁剛度的改變主要影響了主軸系統(tǒng)的前3階振動頻率，對后面各階頻率影響很小?？紤]陀螺效應(yīng)會明顯提高主軸系統(tǒng)的固有頻率。

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