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    Matlab軟件在單擺自由振動中的應(yīng)用

    2013-10-20 08:25:48趙彤帆李根全宋海珍
    實驗室研究與探索 2013年11期
    關(guān)鍵詞:單擺角速度大學(xué)物理

    李 碩, 趙彤帆, 李根全, 宋海珍

    (1.南陽師范學(xué)院物理與電子工程學(xué)院,河南 南陽 473061;2.河南省教育廳 電教館,河南 鄭州 450004)

    0 引言

    1 大角度自由振動單擺周期與角振幅的關(guān)系曲線

    分析一個機(jī)械結(jié)構(gòu)的振動特性時需要去掉某些次要因素,把其簡化為動力學(xué)模型,同時確定其自由度數(shù)。以擺動為例,最簡單的是保守力場中無阻尼的單擺模型,設(shè)懸線長為 l、擺角為 θ(θ<5°),取擺長 l=1、重力加速度g=9.8,可以計算出單擺小角擺動時的微分方程為

    式(2)是單擺小角擺動時的微分方程,也是簡諧振動的動力學(xué)方程,式(2)的解為

    式中,Aθ、α是由初值條件來決定的待定常數(shù)。

    若大角度擺動,不能近似用sin θ≈θ,微分方程由式(1)改為

    小角度單擺的周期為

    改變擺角的大小,用數(shù)值計算法和相圖法研究大角度單擺的周期變化。通過求解式(4)的數(shù)值解和已有的實驗研究[12],得到在大擺角下單擺周期與角振幅的關(guān)系

    利用Matlab畫圖我們可以清楚的看到大角度單擺的周期變化,結(jié)果如圖1、2所示。

    大數(shù)據(jù)背景下,市場營銷的內(nèi)涵得到了明顯的更新,在這種情況下,企業(yè)就應(yīng)積極地創(chuàng)新營銷方式,將企業(yè)文化、理念、信譽以及服務(wù)進(jìn)行有機(jī)的融合,銷售給消費者以及一切潛在的客戶,最終在完成產(chǎn)品交易的同時,傳播企業(yè)文化,真正實現(xiàn)品牌營銷。除此之外,企業(yè)還應(yīng)不斷增加品牌價值,加大宣傳以及展示力度,促使企業(yè)營銷管理能夠緊隨大數(shù)據(jù)時代的發(fā)展,樹立良好的企業(yè)核心競爭力。

    圖1 大角度單擺的周期變化

    圖2 不同擺角的位移曲線

    圖1表示角振幅A(最大擺角)在0,π()/2內(nèi)變化時相對應(yīng)的周期變化,隨著角振幅增大,周期不斷變大。圖2說明在無阻尼情況下,小角度和大角度單擺都呈周期性變化,角振幅越大周期越長。圖1和圖2所表現(xiàn)的結(jié)果符合式(6)。

    2 大角度自由振動單擺的相圖

    在單擺的擺動問題中,系統(tǒng)自由度為1,選取廣義坐標(biāo)θ來描述單擺的運動。系統(tǒng)動能為,勢能為 V=mgl(1 -cos θ),能量關(guān)系為

    由式(7)可以得到角速度

    式(8)給出了角度和角速度的關(guān)系,使用Matlab軟件,根據(jù)式(9)畫出圖3中單擺不同能量下的運動狀態(tài)。

    相圖是相平衡系統(tǒng)和一些參數(shù)(能量、角度、角速度)的關(guān)系圖,圖像可以方便地判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性,漸近穩(wěn)定性等。E<2mgl,單擺能量較小,其軌跡為一閉合的橢圓曲線。E>2mgl,擺在勢場中作定向運動,其軌跡是兩條不相交的曲線,θ可以趨向 ±∞。E=2mgl,運動出現(xiàn)了臨界狀態(tài)(圖3中曲線的交點,即鞍點),下一刻的運動具有不確定性,由此出現(xiàn)了非線性現(xiàn)象[13],在非線性振動中,輕微擾動會使系統(tǒng)出現(xiàn)間斷和分岔。

    圖3 不同能量單擺的相圖

    3 大角度阻尼振動單擺的相圖

    如果考慮阻尼影響,將式(4)改為

    對于耗散系統(tǒng),研究的是系統(tǒng)長時間的行為。根據(jù)式(11),用Matlab軟件繪制阻尼振動單擺的相圖。

    圖4(a)中說明單擺的在耗散系統(tǒng)中出現(xiàn)了混沌,這種集合環(huán)繞形象稱為“奇怪吸引子”。對于相圖中的混沌軌道,可以看出在保守系統(tǒng)中能量的耗散。比較圖4(a)和(b),阻尼系數(shù)做微小的改變,對系統(tǒng)進(jìn)行輕微擾動,長時間后的變化卻是巨大的,這體現(xiàn)了混沌現(xiàn)象的隨機(jī)性和不可預(yù)測性。

    圖4 有阻尼單擺的相圖

    4 彈簧單擺微分方程的求解及動畫效果

    設(shè)質(zhì)量為m的擺球掛在勁度系數(shù)為k的輕彈簧上,彈簧原長為l0,則系統(tǒng)靜止時彈簧自然下垂長度為l=l0+mg/k,讓擺在豎直平面內(nèi)自由擺動。系統(tǒng)自由度為2,設(shè)r為擺球到固定點的距離,擺角為θ。系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為

    由式(12)根據(jù)Lagrange方程求出系統(tǒng)的微分方程

    為了方便程序的編輯,令 y1=r,y2=,y3= θ,y4=,將式(13)改寫為

    給出彈簧單擺編輯程序,了解如何求解簡單的微分方程數(shù)值解,建立M文件,文件名存為thb_rk4_5.m,程序編輯如下:

    在命令窗口輸入:

    時間的終點可以自由改動,所得的數(shù)值解可以得到變量之間的關(guān)系圖。程序中設(shè)定y1、y2、y3、y4的初值均為 1,即當(dāng) r(0)=1(0)=1 時得到圖5(a);當(dāng)(0)=1(0)=1 時得到圖5(b)。

    Matlab軟件用于求出微分方程的數(shù)值解,簡化了傳統(tǒng)計算微分方程的復(fù)雜性[14]。圖5中可以清楚地看到在一定時間內(nèi),角度、角速度的變化。在角度趨近零度時,總擺長總是有增大趨勢。說明擺長和角度不是簡單的線性關(guān)系,與彈簧的勁度、角速度都有關(guān)系(通過改變勁度、角度、角速度任一系數(shù)可以觀察相圖變化)。Matlab軟件選取不同的參數(shù)[15-16],可以觀察所選取參數(shù)的變化規(guī)律。

    彈簧擺的運動由于實驗器材帶來的誤差,使得實驗效果不佳,在教學(xué)過程中,可以利用Matlab軟件的3D視圖動畫效果觀察擺動現(xiàn)象,如圖6所示,使用pause命令設(shè)定擺動時間。

    圖5 求解彈簧擺微分方程數(shù)值曲線

    圖6 彈簧擺的動畫效果

    圖6是彈簧擺的動畫,擺球下面的曲線是擺球運動的軌跡,使用Rotate 3D命令可以拖動圖像旋轉(zhuǎn),可以從不同角度觀察,這種視圖效果可以直接看到擺動效果,而且彌補了實驗帶來的操作誤差。

    5 結(jié)語

    本文以單擺自由振動為例,展現(xiàn)了Matlab軟件在微分方程求解、動畫視圖、計算結(jié)果可視化方面的應(yīng)用。結(jié)果表明,用Matlab處理自由振動問題,可使計算快捷高效,計算結(jié)果物理意義清晰,而且大大提高了同學(xué)們的學(xué)習(xí)興趣和自學(xué)能力。

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