基于混合連接函數(shù)的最小方差套期保值研究

黃爭(zhēng)臻，段元萍

(上海理工大學(xué)a.管理學(xué)院；b.經(jīng)濟(jì)與貿(mào)易研究所，上海 200093)

0 問題的提出

套期保值研究的主要內(nèi)容在于套期保值比率的確定問題。傳統(tǒng)的套期保值理論直接采用套期保值比率為1的套保方案，這種方法的缺點(diǎn)是不能對(duì)風(fēng)險(xiǎn)與收益等套期保值的目標(biāo)進(jìn)行控制，因而適用面很窄。在追求最優(yōu)化的現(xiàn)代理論基礎(chǔ)之上，套期保值理論開始關(guān)注對(duì)套期保值比率的選擇，一個(gè)合適的比率有可能得到比傳統(tǒng)方法更為有效的結(jié)套保果，這也是研究的意義所在。

現(xiàn)有的研究模型主要有兩類：一類主要關(guān)注降低風(fēng)險(xiǎn)，如最小方差套期保值模型[1]；而另一類在關(guān)注風(fēng)險(xiǎn)的同時(shí)也考慮組合資產(chǎn)收益，如均值方差套期保值模型[2,3]。

本文主要考慮降低套期保值者的風(fēng)險(xiǎn)，即單獨(dú)從風(fēng)險(xiǎn)的角度來分析套期保值行為，故選擇最小方差套期保值模型來進(jìn)行研究。現(xiàn)有的基于最小方差的套期保值模型的研究主要問題有兩個(gè)方面。一方面是對(duì)于收益率序列的相互關(guān)系上，現(xiàn)有的研究只是利用某單一Copula函數(shù)來推導(dǎo)中位數(shù)相關(guān)系數(shù)，忽略了Copula函數(shù)對(duì)兩序列的擬合效果的分析，因此本文結(jié)合了阿基米德族的三種Copula模型的優(yōu)點(diǎn)以及選擇偏向上下尾的分位數(shù)相關(guān)系數(shù)來針對(duì)收益率波動(dòng)異常劇烈時(shí)期的套期保值問題闡述其合理性。另一方面是對(duì)兩收益率序列的模型建立上可以改進(jìn)，用GARCH-t模型來代替以往的GARCH-normal來更好的描述金融時(shí)間序列的厚尾特征。

本文以農(nóng)產(chǎn)品期貨品種為例通過實(shí)證分析計(jì)算套期保值比率，并且與其他傳統(tǒng)模型比較套期保值績(jī)效來驗(yàn)證本模型的優(yōu)越性。

1 最小方差套期保值模型

假設(shè)要給Ts單位的某現(xiàn)貨資產(chǎn)進(jìn)行套期保值，構(gòu)造的套期保值資產(chǎn)組合包括Ts單位多頭現(xiàn)貨頭寸與Tf單位空頭期貨頭寸，t時(shí)刻單位現(xiàn)貨價(jià)格為St，單位期貨頭寸價(jià)格為Ft，忽略保證金與交易費(fèi)用等因素，至t+1時(shí)刻的套保資產(chǎn)組合收益率有：

令Rs與Rf分別為現(xiàn)貨市場(chǎng)與期貨市場(chǎng)的收益率，即

對(duì)式（3）取h的二階導(dǎo)數(shù)

其中ρ為現(xiàn)貨收益率與期貨收益率的相關(guān)系數(shù)。由式（6）可以看出，利用最小方差套期保值模型計(jì)算最優(yōu)套期保值比率需要進(jìn)行兩方面的估計(jì)，一是對(duì)期貨收益率與現(xiàn)貨收益率的標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行估計(jì)，二是對(duì)期貨收益率與現(xiàn)貨收益率序列的相關(guān)系數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

2 建立模型

2.1 相關(guān)系數(shù)的確定方法

在相關(guān)系數(shù)的選擇方面，許多研究利用到了Copula中位數(shù)相關(guān)系數(shù)來描述兩收益率序列的相關(guān)性，但如果近期期貨與現(xiàn)貨收益率波動(dòng)劇烈，應(yīng)用中位數(shù)相關(guān)系數(shù)會(huì)缺乏針對(duì)性，原因是中位數(shù)相關(guān)系數(shù)即包括了尾部相關(guān)的信息，也包括了收益率存在小波動(dòng)情況下的相關(guān)性。如果將分位點(diǎn)往極端移動(dòng)，度量這種情況下兩收益率序列的一致性，并且將其應(yīng)用到套期保值模型之中來應(yīng)對(duì)近期收益率波動(dòng)異常劇烈的情況，將得到更好的套期保值績(jī)效。

選擇分位點(diǎn)為α與1-α的分位數(shù)，得到收益率序列同時(shí)高于α或低于1-α分位數(shù)的一致性度量指標(biāo)：

劇烈波動(dòng)時(shí)宜采用偏高的分位點(diǎn)以恰當(dāng)?shù)姆从掣卟▌?dòng)情況下的相關(guān)性，用基于此相關(guān)性度量而得到的套期保值比率來集中應(yīng)對(duì)劇烈波動(dòng)對(duì)組合資產(chǎn)收益率的影響。同樣的，相關(guān)性的分位數(shù)測(cè)度也可以轉(zhuǎn)化為利用Copula函數(shù)求解：

2.2 邊緣分布GARCH模型

在計(jì)算兩收益率序列的標(biāo)準(zhǔn)差方面，實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)，在套期保值之前的歷史數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差與套期保值期間的標(biāo)準(zhǔn)差有很大差異[4]，通過引入GARCH模型可以有效的處理標(biāo)準(zhǔn)差的時(shí)變性，實(shí)現(xiàn)套期保值模型的動(dòng)態(tài)性。而GARCH-t更是對(duì)GARCH-normal模型的改進(jìn)。通過構(gòu)造一個(gè)二元的Copula-GARCH模型，可以完成對(duì)邊緣分布的擬合，并且通過GARCH模型對(duì)收益率序列的波動(dòng)進(jìn)行向前預(yù)測(cè)，另外連接函數(shù)可以完成對(duì)邊緣分布的相關(guān)結(jié)構(gòu)的描述，從而通過本模型，完成對(duì)最小方差套期保值模型的求解。二元Copula-GARCH-t模型表示為：

其中式（9）與式（10）分別為對(duì)現(xiàn)貨與期貨收益率建立的GARCH(m,n)-t模型，一般假設(shè)其中的ε服從正態(tài)分布或者標(biāo)準(zhǔn)化的學(xué)生t分布以及廣義誤差分布，通過添加一個(gè)動(dòng)態(tài)方程來修正波動(dòng)從而刻畫資產(chǎn)收益率的條件方差的時(shí)變特性。另外式（11）表示為用Copula函數(shù)對(duì)現(xiàn)貨與期貨收益率建立的聯(lián)合分布，由于Copula函數(shù)對(duì)隨機(jī)變量作單調(diào)增變換而不變，因此有：Cε=Cr

于是，我們用概率積分變換的方法來處理邊緣收益率序列，所謂概率積分變換是指：用隨機(jī)變量的密度函數(shù)對(duì)隨機(jī)變量進(jìn)行積分變換，得到一列新的時(shí)間序列，其取值范圍符合連接函數(shù)的輸入要求。

2.3 Copula模型的選擇

由于金融序列的相關(guān)關(guān)系的復(fù)雜性，一個(gè)簡(jiǎn)單的Copula函數(shù)難以將序列間的相關(guān)性描述得很透徹，因此，一種更加靈活的Copula函數(shù)隨之誕生，即混合Copula函數(shù)（M-Copula函數(shù)），通過構(gòu)造一個(gè)Frank、Gumbel、Clayton三個(gè)Copula函數(shù)的線性組合：

其中ag+ac+af=1，通過權(quán)重的變化可以反映出不同的相關(guān)模式，優(yōu)點(diǎn)在于它包含了以上三種Copula函數(shù)各自的特性，在描述相關(guān)性時(shí)更為有效。

3 套期保值績(jī)效定義與評(píng)比方法

本文采用的套期保值績(jī)效采用Ederington(1979)給出的套期保值績(jī)效量化指標(biāo)[5]，其定義為：參與套期保值與不參與套期保值相比，收益方差的減少程度。指標(biāo)度量了套期保值之后對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的降低程度，基于本文從風(fēng)險(xiǎn)這一角度進(jìn)行套期保值研究，該績(jī)效指標(biāo)恰好體現(xiàn)了這一出發(fā)點(diǎn)。本文的評(píng)比方法是通過橫向與縱向的比較來觀察不同模型的績(jī)效。

（1）橫向的對(duì)比，比較混合Copula與三種單一Copula模型在套?？?jī)效上的優(yōu)劣，結(jié)果將體現(xiàn)出混合Copula函數(shù)在描述期貨與現(xiàn)貨價(jià)格波動(dòng)關(guān)系上的有優(yōu)異性。第二，比較基于兩種不同分位數(shù)相關(guān)系數(shù)的套期保值績(jī)效。

（2）縱向的對(duì)比，通過比較市場(chǎng)價(jià)格波動(dòng)平緩與波動(dòng)劇烈的情況下，傳統(tǒng)套期保值模型與Copula模型的套期保值績(jī)效，來體現(xiàn)基于Copula模型計(jì)算的相關(guān)系數(shù)在處理市場(chǎng)價(jià)格波動(dòng)劇烈的情況下的良好性質(zhì)。

4 中國農(nóng)產(chǎn)品期貨的實(shí)證分析

本文采用鄭州商品交易所于2011年11月交割的棉花期貨價(jià)格數(shù)據(jù)與國內(nèi)棉花現(xiàn)貨價(jià)格數(shù)據(jù)進(jìn)行套期保值分析。具體來說，棉花期貨數(shù)據(jù)采用棉花期貨CF111從2010年11月15日至2011年11月14日共計(jì)246個(gè)交易日的期貨當(dāng)日結(jié)算價(jià)；棉花現(xiàn)貨價(jià)格采用中國棉花信息網(wǎng)統(tǒng)計(jì)的與期貨價(jià)格同時(shí)期的每日棉花現(xiàn)貨價(jià)格數(shù)據(jù)。其中前180組數(shù)據(jù)被看做套期保值之前的歷史數(shù)據(jù)來進(jìn)行模型的估計(jì)，后66組數(shù)據(jù)所在期間視為套期保值期間。

4.1 計(jì)算收益率波動(dòng)值

首先根據(jù)期貨與現(xiàn)貨收益率的自相關(guān)與偏自相關(guān)情況，對(duì)期貨和現(xiàn)貨收益率模型誤差項(xiàng)進(jìn)行ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)AR模型殘差平方具有異方差性，可以在此基礎(chǔ)上建立GARCH模型。

選取棉花期貨合約的交易日期貨合約價(jià)格Pf與同種產(chǎn)品的每日現(xiàn)貨價(jià)格Ps，對(duì)數(shù)收益率乘以100放大數(shù)據(jù)可以提高后續(xù)計(jì)算的精度，構(gòu)造對(duì)數(shù)收益率如下：

首先按照式（13）將所有價(jià)格數(shù)據(jù)進(jìn)行處理之后得到收益率序列，再對(duì)期貨收益率序列建立GARCH-t模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果如下：

表1 GARCH模型參數(shù)檢驗(yàn)表

如表1所示各參數(shù)估計(jì)值的概率值在0.05的顯著性水平下均通過檢驗(yàn)，因此估計(jì)出的兩個(gè)模型各系數(shù)均具有顯著性。隨后的ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)F與LM統(tǒng)計(jì)量對(duì)應(yīng)概率均大于0.8，即消除了AR模型誤差項(xiàng)的異方差性。于是，可以直接利用估計(jì)出的GARCH模型的GARCH方程得到：σf=0.05356，σs=0.06866

由于Copula模型對(duì)輸入樣本的要求，利用已經(jīng)建立好的期貨與現(xiàn)貨收益率序列的GARCH模型，依靠MATLAB對(duì)收益率序列進(jìn)行概率積分變換，對(duì)變換后的序列進(jìn)行K-S檢驗(yàn)結(jié)果見表2。由結(jié)果可知，檢驗(yàn)結(jié)果不能拒絕原假設(shè)，能夠繼續(xù)建立Copula模型。

表2 序列的均勻分布檢驗(yàn)結(jié)果

4.2 計(jì)算相關(guān)系數(shù)

4.2.1 Copula模型的參數(shù)估計(jì)及擬合優(yōu)度評(píng)價(jià)

估計(jì)混合Copula模型的參數(shù)，如式（12）所示，由于混合Copula參數(shù)較多，其極大似然函數(shù)比較復(fù)雜，不能用一般的方法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，因此借助Matlab采用EM算法來進(jìn)行估計(jì)。結(jié)果及擬合優(yōu)度檢驗(yàn)結(jié)果見表3。

表3 Copula模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果

表3中各參數(shù)估計(jì)值在0.05水平下均顯著。由進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn)得到的M統(tǒng)計(jì)量值122.45小于對(duì)應(yīng)自由度的卡方分布分位數(shù)，因此通過檢驗(yàn)，認(rèn)為該Copula模型對(duì)實(shí)際分布的擬合效果理想。

4.2.2 基于Copula模型的相關(guān)系數(shù)與套期保值比率的計(jì)算

由于觀察到所采用的收益率數(shù)據(jù)波動(dòng)比較明顯，因此在偏向尾部的相關(guān)系數(shù)的選擇上嘗試采用α=0.7，按照式（7）與式（8）所示，計(jì)算中位數(shù)相關(guān)系數(shù)與α分位數(shù)相關(guān)系數(shù)，將已估計(jì)出的參數(shù)以及對(duì)收益率序列進(jìn)行概率積分變換之后的序列代入式中，相關(guān)系數(shù)ρ0.5,0.5=0.6980，ρ0.7,0.3=0.6773

根據(jù)最小方差套期保值比率的計(jì)算公式（6），將期貨、現(xiàn)貨收益率標(biāo)準(zhǔn)差以及相關(guān)系數(shù)代入，分別得到基于α分位數(shù)相關(guān)系數(shù)的最優(yōu)套期保值比h1=0.8682與基于中位數(shù)相關(guān)系數(shù)的最優(yōu)套期保值比h2=0.8948。

4.3 套期保值績(jī)效分析

4.3.1 基于M-Copula-GARCH的套期保值績(jī)效

以基于α=0.7的分位數(shù)相關(guān)系數(shù)計(jì)算的最優(yōu)套期保值比率h1進(jìn)行套期保值交易，對(duì)2011年8月13日之后的數(shù)據(jù)對(duì)套期保值進(jìn)行績(jī)效分析，績(jī)效度量指標(biāo)為式Ederington給出的套期保值績(jī)效量化指標(biāo)HP，反應(yīng)組合資產(chǎn)相對(duì)于不進(jìn)行套期保值而言，使收益方差的減少程度。計(jì)算結(jié)果為HP1=0.6524228。另外計(jì)算基于中位數(shù)相關(guān)系數(shù)的套期保值績(jī)效記為HP2=0.6109731。

4.3.2 基于其他套期保值模型的套期保值績(jī)效

（1）完全套期保值模型：本模型完全不考慮歷史數(shù)據(jù)，直接用1作為套期保值比率，其套期保值績(jī)效記為HP3=0.4347362。

（2）線性回歸套期保值模型：本模型直接對(duì)套期保值之前的歷史數(shù)據(jù)采用最小二乘法作回歸，采用回歸系數(shù)作為最優(yōu)套期保值比率，回歸系數(shù)為1.1826，計(jì)算得到套期保值績(jī)效結(jié)果為HP4=0.3725177。

（3）傳統(tǒng)最小方差套期保值模型：本模型的最優(yōu)套期保值比率計(jì)算式與本文采用的計(jì)算式相同，同為式（6），不同之處是其中的相關(guān)系數(shù)采用的是歷史數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)，兩個(gè)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差直接采用歷史數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，其計(jì)算結(jié)果HP5=0.3195228。

4.3.3 績(jī)效評(píng)比與結(jié)果

表4 套期保值績(jī)效比較

通過縱向比較發(fā)現(xiàn)，基于M-Copula-GARCH的最優(yōu)套期保值模型得到了最優(yōu)的績(jī)效，買入了較少的期貨頭寸，卻更好的屏蔽了風(fēng)險(xiǎn)，這種功效源于模型對(duì)數(shù)據(jù)關(guān)系的更貼切的分析與描述。而線性回歸套期保值與傳統(tǒng)的最小方差模型的套期保值績(jī)效甚至不如最簡(jiǎn)單的完全套期保值，這是由于特定收益率序列的選擇導(dǎo)致序列之間的非線性相關(guān)關(guān)系占據(jù)了主要地位導(dǎo)致線性模型失效。橫向?qū)Ρ然趦煞N不同的分位數(shù)相關(guān)系數(shù)的方法，當(dāng)數(shù)據(jù)的波動(dòng)比較大的時(shí)候，基于偏向尾部的相關(guān)系數(shù)得到了稍好的套期保值績(jī)效。同時(shí)混合Copula模型提高了分布的擬合效果。

因此，通過本研究的模型進(jìn)行套期保值提高了套期保值績(jī)效，能有效的規(guī)避現(xiàn)貨市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)。

5 小結(jié)

第一，本文對(duì)農(nóng)產(chǎn)品期貨與現(xiàn)貨收益率建立起了M-Copula-GARCH模型，通過實(shí)證分析驗(yàn)證了其描述序列及序列之間相關(guān)性的理想效果。第二，利用Copula模型對(duì)期貨與現(xiàn)貨收益率擬合聯(lián)合分布，在模型的選擇上進(jìn)行了擇優(yōu)，從而使得到的相關(guān)系數(shù)比起傳統(tǒng)的線性相關(guān)系數(shù)有了很大的改進(jìn)。第三，收益率的方差采用GARCH-t模型估計(jì)，改進(jìn)之處主要體現(xiàn)在其動(dòng)態(tài)性上；而相關(guān)系數(shù)則利用到了Copula模型在描述非線性相關(guān)上的優(yōu)勢(shì)，采用了相對(duì)中位數(shù)相關(guān)系數(shù)更優(yōu)的α分位數(shù)相關(guān)系數(shù)。第四，對(duì)比不同的模型，綜合橫向與縱向的評(píng)比結(jié)果來體現(xiàn)本研究方法更好的套保效果。

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