基于線性整數(shù)規(guī)劃的企業(yè)設(shè)備檢修及工藝模式組合模型

李國鳳

(河南大學(xué)工商管理學(xué)院,河南 開封 475004）

0 引言

在競爭激烈的市場經(jīng)濟(jì)大潮中，一個企業(yè)取得優(yōu)勢的關(guān)鍵在于內(nèi)部資源的合理分配和生產(chǎn)經(jīng)營計劃的科學(xué)安排，當(dāng)然這涉及到企業(yè)管理層對市場供需狀況的敏銳判斷和內(nèi)部資源分配及有關(guān)計劃的執(zhí)行能力，涉及到市場、生產(chǎn)、研發(fā)、人力及財務(wù)等各個方面，本文無意去從這些方面區(qū)探討企業(yè)如何進(jìn)行問題識別和改進(jìn)問題，因?yàn)檫@部分研究存在著一種“差異性”特征，不同企業(yè)的實(shí)際情況不同導(dǎo)致了不可能存在一種通用的模型去囊括這些問題，但在企業(yè)設(shè)備檢修和工藝模式的選擇與組合問題上，眾多企業(yè)均存在著一種共性，即：檢修需要占用生產(chǎn)資源、但卻能提高以后的生產(chǎn)能力，工藝模式的良好選擇能夠降低采購成本和提高凈利潤。

當(dāng)前針對企業(yè)的流程再造模型已經(jīng)相當(dāng)?shù)某墒欤珡?fù)雜不意味著最佳，在一般企業(yè)中也不會常設(shè)懂高深數(shù)學(xué)理論與實(shí)踐知識的崗位，所以尋求一套比較通俗易懂和操作的運(yùn)籌學(xué)模型是非常有必要的。對于企業(yè)設(shè)備維修和工藝模式的選擇而言，作為一項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)的經(jīng)濟(jì)學(xué)分析，不需要了解各項(xiàng)工藝的具體原理，而只需要通過一種數(shù)量角度的邏輯刻畫對影響因素的動態(tài)變動及產(chǎn)生作用路徑，設(shè)立目標(biāo)函數(shù)和相應(yīng)約束條件對有關(guān)變量進(jìn)行決策選擇就可以可以得到最優(yōu)的檢修和工藝模式選擇計劃。

1 模型構(gòu)建

1.1 設(shè)備維修節(jié)點(diǎn)選擇

在正式構(gòu)建前，對有關(guān)條件假設(shè)如下：

（1）企業(yè)所生產(chǎn)產(chǎn)品在研究期限內(nèi)需求量既定，這可以通過市場部門的預(yù)測得到。在T個時間段內(nèi)的市場需求量為D=(d1,d2,……dT)，可以視為這是企業(yè)的外生變量。

(2)企業(yè)在固定時間內(nèi)的生產(chǎn)能力固定，這與企業(yè)資源稟賦、設(shè)備、資金、人力的數(shù)量有關(guān)，在短期內(nèi)不可能改變，則T期內(nèi)的最大生產(chǎn)能力固定，為G=(g1,g2,……gT)。

(3)企業(yè)生產(chǎn)單位成本存在一定的變動，這是符合實(shí)際原料購買情況和由于原材料市場價格、人力資本的變動引起，T期內(nèi)的單位生產(chǎn)成本表示為：C=(c1,c2,……cT)。

(4)當(dāng)在某期生產(chǎn)與上期存貨的總和（供給量）大于市場需求量時，多于產(chǎn)品會被推導(dǎo)下期出售，這時會帶來存貨成本，每單位存貨的成本為k。

企業(yè)生產(chǎn)目的是獲取最大利潤，如果確定在某一個時間段上維修，勢必要造成該段部分時間停工造成對生產(chǎn)能力的擠占，但維修過后的生產(chǎn)能力會有一定的提高，如在圖1中所示，如果不維修，則生產(chǎn)能力如G，如果在1期維修，則造成在第一期的生產(chǎn)能力減少w1，從而1期生產(chǎn)力變?yōu)間1-w1，而從第2期開始每期生產(chǎn)能力增加f個單位，以此類推，如果在第t期維修，則第1到t-1期的生產(chǎn)能力不變，而t期變?yōu)間t-wt，t+1至T期的能力變 為gi+f(i=t+1,......T)，這樣就能得到以t為分界點(diǎn)的三個部分，具體如圖1所示。

圖1 維修時間點(diǎn)確定帶來的生產(chǎn)能力變動

1.2 企業(yè)工藝模式選擇模型

通常在進(jìn)行一個產(chǎn)品的生產(chǎn)中需要對原材料進(jìn)行加工，如將進(jìn)口的鋁片通過切割得到不同面積和形狀，在這其中進(jìn)口的材料型號不同、同型號的材料可以有不同的加工模式，那么企業(yè)必須通過產(chǎn)品生產(chǎn)需要選擇合理的工藝模式進(jìn)行組合以實(shí)現(xiàn)利潤最大，具體原理如圖2所示。

圖2 工藝模式組合的思路

假設(shè)有n種不同型號的原材料，分別記為：p1,p2,......pn,對于每種原材料pi有不同種加工模式，記為pij(i)，值得指出的是對于每一種原材料其具備的加工模式數(shù)量不同,所以j的個數(shù)對不同材料不同，那么總的模式共有那么針對每一種模式有一些具體指標(biāo)：一是產(chǎn)出指標(biāo)，當(dāng)然這類的產(chǎn)出不局限于1個、可能是多個，本文記為k個，記為Abj(i)(b=1,2,.....k)。二是冗余指標(biāo)，即原材料經(jīng)過工藝加工后的剩余量，每種模式下的冗余材料為：rj(i)。構(gòu)建選擇模型步驟為：

決策變量選取。用xj(i)表示在第j(i)種模式下的的工藝處理次數(shù)。

目標(biāo)函數(shù)確定。如果每種產(chǎn)出能夠單獨(dú)進(jìn)行價值計量，即能夠單獨(dú)賣出，則定義k種產(chǎn)品的價格為Qbj(i)(b=1,2,.....k)，那么收益函數(shù)為：

此時的冗余損失為：

那么目標(biāo)函數(shù)是利潤最大化：

約束包括三個方面：

一是材料約束，每種可得的原材料有一定的上限：

二是生產(chǎn)資源約束，如每個模式加工單位個數(shù)需要Ej(i)單位時間、人力或其他生產(chǎn)資源，那么約束為：

由（2）為目標(biāo)函數(shù)，（3）～（6）形成的約束函數(shù)就是最優(yōu)工藝模式選取模型。

2 實(shí)例分析

2.1 生產(chǎn)及維修計劃選取

某企業(yè)根據(jù)市場部門的調(diào)研，已經(jīng)確定了未來6周市場對本企業(yè)生產(chǎn)的A產(chǎn)品的銷量，而生產(chǎn)部則根據(jù)企業(yè)內(nèi)部人員、設(shè)備的利用情況對該時間段內(nèi)的產(chǎn)能也進(jìn)行了確定，并且每期內(nèi)生產(chǎn)單位成本是變動的，具體數(shù)據(jù)由表1得出。假定在這過程中，如果某一期的產(chǎn)量大于本期需求，那么將造成存貨，這部分存貨將會在下期被出售，存貨單位成本為1元/個。同時為了保障生產(chǎn)順暢和提高生產(chǎn)線產(chǎn)能，必須在6周中選取一周進(jìn)行維修，維修會造成該期生產(chǎn)能力5單位的減少，但會使得后面所有期產(chǎn)量有2單位的提升。本文將根據(jù)該案例尋求一個合理的維修點(diǎn)。

表1 生產(chǎn)參數(shù)表

選擇決策變量為在6時段內(nèi)的產(chǎn)出，xi(i∈(1,6))，假設(shè)在1期開始無庫存，那么可以有1～5期末的庫存分別為：yi(i∈(1,5))，那么6周的總成本費(fèi)用由生產(chǎn)成本和庫存成本組成：

在約束上，每一期產(chǎn)量、本期需求量與下期庫存有嚴(yán)格的平等關(guān)系：

同時xi(i∈(1,6))受到了表1中最大產(chǎn)能約束，這里設(shè)在6期中的某一期是否進(jìn)行檢修的符號是：wi，是一個0～1變量，當(dāng)wi=1表示在第i期檢修，會造成該期生產(chǎn)能力5單位的減少，但會使后期2單位的增加，有約束：

本文利用LINDO6.1軟件進(jìn)行求解，輸入（7）～（9），求解結(jié)果。表明最優(yōu)解釋是在1～5期分別生產(chǎn)15,20.25,32,20個單位的產(chǎn)品，而第6期不生產(chǎn)，最小成本為159，在1～4期末存貨量為3,8,8,8是最佳存貨量，維修計劃選擇在第5期最佳，這說明在現(xiàn)有資源約束下企業(yè)維修應(yīng)當(dāng)給生產(chǎn)任務(wù)讓路，只有先保證市場需求得到滿足的前提下才能進(jìn)行維修。圖中“ DUAL PRICES”為（8）（9）右端約束每增加一個單位所能帶來的成本，表明當(dāng)1～5期每期需求量增加一個單位，總成本將會降低1.5個單位，所以這種“影子價格”體現(xiàn)出了在企業(yè)現(xiàn)有情況下，只要開拓1單位市場的成本不高于1.5，那么在各期開拓的行為就是值得的。而生產(chǎn)能力在1～3期存在不足，但影子價格分別為0.3,0.2,0.1，在5～6期有剩余，剩余量為3,22。

2.2 工藝模式的選取

企業(yè)B需要制造一種復(fù)合塑料產(chǎn)品，必須先進(jìn)口兩種型號的塑料，C種品為20×20的正方形產(chǎn)品，D種品為10×30的長方形品，現(xiàn)在需要制造一個三面型柱體，其中底面和高面均為一個5×5的等邊三角形，高為6。那么對于C品來說有兩種取料工藝，一種如圖3，可以切割得到三個蓋（底）和兩個圍邊，另一種如圖4,可以得到4個三角形和1個長方形。

首先三角形面積為12.5，長方形面積為102.42，故模式1余料為 20×20-3×12.5-2×17.07×6=157.06模式2余料為：20×20-4×12.5-1×17.07×6=247.08，模式3余料為：10×30-3×12.5-1×17.07×6=160.8

圖3 模式1

圖4 模式2

圖5 模式3

那么根據(jù)已知數(shù)據(jù)可以得到參數(shù)表：

表2 工藝模式參數(shù)表

xi(i=1,2,3)表示三種工藝模式下的實(shí)用的材料數(shù)量，假設(shè)收益是銷售品（底蓋與圍體匹配量）y1與價格的乘積，記為2y1，y2是因?yàn)槎嘤嗟祝ㄉw）帶來的損失，y3是多余的圍體損失，單位余料價格為0.01。所以利潤函數(shù)有：

約束條件：

一是人力資源限制：

二是原材料限制：

生產(chǎn)出的底蓋個數(shù)為3x1+4x2+3x3，圍體數(shù)為2x1+x2+x3，那么兩個底（蓋）才能與一個圍體組成一個成品，而成品數(shù)是由（13)表示：

多余的底（蓋）和圍體數(shù)量為：

對于（13）可將其轉(zhuǎn)化為

至此，所有的約束條件均已表述，用LINDO6.1軟件進(jìn)行求解，輸出結(jié)果如圖6。

圖6 工藝模式選擇結(jié)果

結(jié)果表明：三種模式的最優(yōu)組合是模式1為28次，模式2為2次，模式3為24次，即用原料1為28+2=30個，原料2為24個。能組裝的成品為82個，只有多余底（蓋），個數(shù)為82個，人力資源恰好用完，而原材料供給的剩余變量為70和16，材料供給均有剩余，故應(yīng)當(dāng)減少訂貨計劃，不存在任何約束的影子價格，所以不應(yīng)當(dāng)增加任何生產(chǎn)資源。

3 結(jié)論

本文通過對企業(yè)經(jīng)營過程中的設(shè)備維修和工藝模式選擇的實(shí)際流程進(jìn)行分析后，以成本最小、凈利潤最大為目標(biāo)，以生產(chǎn)資源、市場需求滿足以及變量間恒等關(guān)系為約束函數(shù)，構(gòu)建了一套易于操作與理解、結(jié)論清晰的線性整數(shù)規(guī)劃模型，通過實(shí)例發(fā)現(xiàn)所構(gòu)建的模型和假設(shè)與企業(yè)實(shí)際比較吻合，并且能夠快速的通過matlab和lindo軟件進(jìn)行計算，對現(xiàn)代企業(yè)在日益動態(tài)的市場競爭中能夠快速的進(jìn)行各項(xiàng)決策具有很強(qiáng)的幫助作用。值得提出的是不同企業(yè)的資源稟賦、生產(chǎn)經(jīng)營流程及原材料特征不同，不同變量間的平衡關(guān)系及差異時點(diǎn)上的邏輯關(guān)系也不盡相同，所以具體構(gòu)建模型時還是有很大的區(qū)別，需要企業(yè)成立專業(yè)的數(shù)學(xué)規(guī)劃部門，以期通過規(guī)劃方法對企業(yè)流程進(jìn)行再造和資源分配的研究，使得企業(yè)投入-產(chǎn)出效率達(dá)到最佳，并通過冗余變量及影子價格的分析確定投資可行性和必要性。

[1]應(yīng)保勝，但斌斌，張華.生產(chǎn)計劃和預(yù)防性維修計劃的統(tǒng)籌優(yōu)化模型[J].機(jī)械工程學(xué)報，2005，（3）.

[2]李耀華,譚娜,郝貴和.飛機(jī)維修計劃優(yōu)化模型與算法研究[J].控制工程，2008，（1）.

[3]陳曉龍等.柴油加氫精制工藝的線性規(guī)劃優(yōu)化[J].茂名學(xué)院學(xué)報，2003，(4).

[4]陳昌舉.線性規(guī)劃模型在氧化鋁生產(chǎn)配料工藝中的應(yīng)用[J].輕金屬，2006，(12).

[5]姜啟源.數(shù)學(xué)模型（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.