平面問題的二階平衡微分方程

呂曉薇

（山東科技大學 土木建筑學院，山東 黃島 266000）

設(shè)Ω是一平面薄板內(nèi)的一個平行六面體的微分幾何體，它在x、y方向的尺寸分別為dx、dy，它在z軸方向的尺寸取成一個單位長度，由于應力分量是位置坐標x、y的函數(shù)，故作用于Ω左右兩對面的應力分量不相同。

假定作用于Ω左面的正應力為σx，則作用于右面的正應力約等于：

同樣設(shè)作用于Ω左面的切應力為τxy，則作用于右面的切應力近似為：

如果作用于上面的正應力與切應力分別σy，τxy則下面的正應力與切應力近似分別為：以x軸為投影軸，其投影的平衡微分方程為：

即：

整理得：

同理可得：

(1)、(2)就是平面問題中應力分量與體力分量之間的二階平衡微分方程。

當dx→0，dy→0時，即得到教材中的一階平衡微分方程：

[1]徐芝綸.彈性力學[M].高等教育出版社.2006.12

[2]吳家龍.彈性力學[M].高等教育出版社.2010.11