不同級數(shù)展開的半不變量法概率潮流計算比較分析

郭效軍，蔡德福

（1.國電南京自動化股份有限公司，江蘇 南京 210032；2.華中科技大學 強電磁工程與新技術(shù)國家重點實驗室，湖北 武漢 430074）

0 引言

實際電力系統(tǒng)運行中存在諸多不確定性因素［1-2］，如負荷功率的變化、發(fā)電機出力的變化、系統(tǒng)元件的隨機故障等。風電場、光伏電站等可再生能源的大規(guī)模并網(wǎng)更是加劇了電力系統(tǒng)的不確定性［3-6］。常規(guī)潮流計算方法能得到系統(tǒng)確定的潮流分布，但該分布不能準確描述電網(wǎng)的運行狀態(tài)［7］。概率潮流可計及各種不確定性因素，且能準確描述系統(tǒng)狀態(tài)變量的分布特性，因而成為研究熱點之一［8-11］。其中基于半不變量和級數(shù)展開的概率潮流計算方法（簡稱半不變量法）因計算簡單、速度快，得到了廣泛應(yīng)用。

眾多學者基于線性交流潮流模型采用半不變量法分析了風電場和光伏電站并網(wǎng)后電力系統(tǒng)的概率潮流［12-17］。文獻［7］采用半不變量法分析了含分布式電源的地區(qū)電網(wǎng)動態(tài)概率潮流。文獻［18］在半不變量和Edgeworth級數(shù)展開的基礎(chǔ)上提出一種含風電場電力系統(tǒng)的負荷裕度概率分析方法。此外，也有學者將半不變量法應(yīng)用于發(fā)電機組檢修計劃［19］、電力市場［20］和分布式發(fā)電的優(yōu)化配置［21］等領(lǐng)域。

上述研究未考慮半不變量法在含大規(guī)模風電或光伏發(fā)電的電力系統(tǒng)中的計算精度?；诰€性交流潮流模型的半不變量法因潮流方程在基準運行點處的線性化將會產(chǎn)生計算誤差。此外，Gram-Charlier等級數(shù)展開的基本理論是中心極限定理［22］，當系統(tǒng)中含有大量概率分布函數(shù)為非正態(tài)分布的輸入隨機變量時，級數(shù)展開的擬合精度會降低。在某些情形下半不變量法計算結(jié)果的準確度可能不滿足要求。雖然文獻［14］分析了風電場接入前半不變量法的計算精度，但由于風電和光伏發(fā)電出力具有很強的間歇性和波動性，對半不變量法計算精度可能有較大影響。當風電和光伏發(fā)電出力在系統(tǒng)中占有較大比例時，采用半不變量法進行概率潮流分析能否仍然保證其計算精度，是合理應(yīng)用該方法的前提。文獻［23］分析了該方法各環(huán)節(jié)的假設(shè)條件及其可能引起的誤差，得到了有益的結(jié)論，但未對比分析風電與光伏發(fā)電輸入隨機變量和各種級數(shù)展開下該方法的計算準確度。

本文采用線性交流潮流模型，利用半不變量和級數(shù)展開（包括Gram-Charlier級數(shù)、Edgeworth級數(shù)和Cornish-Fisher級數(shù)）對計及各種輸入隨機變量的電力系統(tǒng)概率潮流進行比較分析。以蒙特卡羅法計算結(jié)果為參考值，以輸出隨機變量累積分布的方差和的根均值 ARMS（Average Root Mean Square）為評價指標，比較分析各種輸入隨機變量和不同級數(shù)展開下半不變量法概率潮流計算結(jié)果的準確性，并闡述其誤差產(chǎn)生機理。

1 輸入隨機變量的概率模型

1.1 風力發(fā)電出力的概率模型

風力發(fā)電出力的概率模型主要取決于風速的概率模型和風電機組的輸出功率-風速模型。應(yīng)用較廣的風速概率模型為雙參數(shù)威布爾分布模型，其概率密度函數(shù)為：

其中，v為風速；k為形狀參數(shù)；c為尺度參數(shù)。

風電機組的輸出功率-風速模型可近似表達為：

因要求并網(wǎng)風電場具備一定的無功調(diào)節(jié)能力，使其能夠按恒功率因數(shù)運行［24］，無功出力見式（4）。

其中，θ為功率因數(shù)角。

由式（3）、（4）可得風力發(fā)電無功出力的概率模型。

1.2 光伏發(fā)電出力的概率模型

光伏發(fā)電出力的核心為太陽能電池，其輸出功率與光照強度密切相關(guān)。太陽光照強度在一段時間內(nèi)可近似為Beta分布［12］，其概率密度函數(shù)為：

其中，a、b均為Beta分布的形狀參數(shù)；r、rmax分別為該時段內(nèi)的實際光照強度和最大光照強度。

太陽能電池輸出功率PS與光照強度r的關(guān)系為：

其中，A為太陽能電池總面積；h為太陽能電池光電轉(zhuǎn)換效率。

由式（5）和式（6）可得到太陽能電池輸出功率PS的概率密度函數(shù)：

其中，PSmax為太陽能電池最大輸出功率。

光伏發(fā)電一般通過并網(wǎng)逆變器將輸出功率因數(shù)控制在單位功率因數(shù)，因而其無功出力為零。

1.3 發(fā)電機組出力的概率模型

發(fā)電機組出力的概率模型一般可用兩狀態(tài)概率模型，即只有正常運行和故障強迫停運2種狀態(tài)，其出力概率模型為：

其中，PG、QG為發(fā)電機組有功、無功出力；PGN、QGN為發(fā)電機組額定有功、無功出力；pG為發(fā)電機組故障強迫停運率。

1.4 負荷的概率模型

未來某一時刻的負荷預(yù)測結(jié)果可看成隨機變量，并假設(shè)負荷服從正態(tài)分布，其有功、無功的概率密度函數(shù)為：

其中，μPL和 μQL為負荷有功和無功的期望值；σPL和σQL為負荷有功和無功的標準差。

2 半不變量法概率潮流

2.1 潮流方程線性化模型

將極坐標形式的節(jié)點注入功率方程和支路潮流方程用矩陣表示，并在基準運行點對其進行泰勒級數(shù)展開，忽略2次及其以上的高次項，可得：

其中，W為節(jié)點注入功率；X為節(jié)點狀態(tài)變量；Z為支路潮流變量；J0為潮流計算雅可比矩陣；

式（10）可以進一步表示為：

若已知系統(tǒng)正常運行條件，可通過常規(guī)潮流計算得出基準運行點處的節(jié)點狀態(tài)變量X0、支路潮流變量Z0和J0，進一步求得S0和T0。在已知節(jié)點注入功率隨機擾動ΔW后，可根據(jù)式（11）求得節(jié)點狀態(tài)變量和支路潮流變量的隨機擾動。

2.2 半不變量計算

節(jié)點注入功率的隨機擾動ΔW主要由節(jié)點發(fā)電機出力和負荷注入功率的輸入隨機變量（即ΔWG和ΔWL）構(gòu)成，如下式：

其中，符號⊕表示卷積運算。

假定各節(jié)點注入功率的輸入隨機變量相互獨立，可利用半不變量的可加性代替卷積運算，即：

式（11）可進一步變換成：

根據(jù)式（14）求取的節(jié)點狀態(tài)變量ΔX和支路潮流變量ΔZ的各階半不變量，可通過相關(guān)的級數(shù)展開近似求得ΔX和ΔZ的隨機分布，包括概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)。

2.3 基于半不變量的隨機分布的級數(shù)展開

目前，在電力系統(tǒng)規(guī)劃與運行中應(yīng)用較多的級數(shù)展開主要有3種，分別為Gram-Charlier級數(shù)、Edgeworth級數(shù)和Cornish-Fisher級數(shù)，其中前2種級數(shù)都是把隨機變量的分布函數(shù)表達為由正態(tài)隨機變量各階導數(shù)組成的級數(shù)［25］。

2.3.1 Gram-Charlier級數(shù)展開

Gram-Charlier級數(shù)根據(jù)Hermite多項式的正交特性展開，因而又稱為正交展開式。根據(jù)Gram-Charlier級數(shù)展開，隨機變量的累積分布函數(shù)可表示為：

2.3.2 Edgeworth級數(shù)展開

Edgeworth級數(shù)根據(jù)Hermite多項式的各項級數(shù)的數(shù)量級展開，因而又稱為漸近展開式，根據(jù)Edgeworth級數(shù)展開，隨機變量的累積分布函數(shù)可表示為：

2.3.3 Cornish-Fisher級數(shù)展開

Cornish-Fisher級數(shù)的基本思想是根據(jù)選定累積分布函數(shù)的α分位數(shù)求取待求累積分布函數(shù)的α分位數(shù)，進而得到待求變量z的累積分布函數(shù)F（z）。其關(guān)鍵在于選取特殊的基礎(chǔ)分布和拓展序列，其中經(jīng)典的Cornish-Fisher級數(shù)是基于標準正態(tài)分布和Gram-Charlier級數(shù)展開［22］。若隨機變量z的分位數(shù)為 α，則 z（α）可表示為：

其中，ξ（α）=φ-1（α）。

根據(jù)式 z（α）=F-1（α），可求得隨機變量 z的累積分布函數(shù) F（z）。

2.4 半不變量法計算準確性評價指標

半不變量法概率潮流可得到輸出隨機變量的數(shù)字特征和概率分布，其中數(shù)字特征一般采用期望值和標準差。當輸出隨機變量為正態(tài)分布時，期望值和標準差可完整描述其概率分布；當輸出隨機變量為非正態(tài)分布時，僅采用期望值和標準差還不足以完整準確描述其分布特性。由第1節(jié)可知風電出力、光伏出力和發(fā)電機組出力均為非正態(tài)分布，輸出隨機變量亦非正態(tài)分布。為準確評價半不變量法在不同情形下的計算準確性，本文以蒙特卡羅法計算結(jié)果為參考值，采用輸出隨機變量累積分布的ARMS［9］作為評價指標。ARMS指標可表示為：

其中，CCEi和CMCi分別為半不變量法和蒙特卡羅法得到的輸出隨機變量累積分布曲線上第i個點的值；N為節(jié)點數(shù)。

3 不同級數(shù)展開的半不變量法概率潮流計算比較流程

不同級數(shù)展開的半不變量法概率潮流計算比較流程如圖1所示。

圖1 不同級數(shù)展開的半不變量法概率潮流計算比較流程圖Fig.1 Flowchart of probabilistic load flow calculation based on cumulant method with different series expansions

4 算例分析

采用半不變量法對圖2所示的IEEE 30節(jié)點系統(tǒng)進行仿真計算。以20000次蒙特卡羅法計算結(jié)果為參考值，以PQ節(jié)點電壓幅值為分析對象，以ARMS為評價指標，對比分析各種輸入隨機變量和3種級數(shù)展開下半不變量法計算結(jié)果的準確性，并分析誤差產(chǎn)生機理。IEEE30節(jié)點系統(tǒng)的總負荷為189.2+j107.2 MV·A。ARMS指標計算中N=5000。假設(shè)各輸入隨機變量相互獨立。

本節(jié)對如下4種情況分別進行分析：

a.情況1，只考慮負荷波動；

b.情況2，同時考慮負荷波動和發(fā)電機強迫停運；

c.情況3，同時考慮負荷波動、發(fā)電機強迫停運和風力發(fā)電出力的波動；

d.情況4，同時考慮負荷波動、發(fā)電機強迫停運和光伏發(fā)電出力的波動。

圖2 IEEE 30節(jié)點系統(tǒng)Fig.2 IEEE 30-bus system

4.1 情況1

當只考慮服從正態(tài)分布的負荷波動時，由式（14）可求得系統(tǒng)狀態(tài)變量的各階半不變量，其中一階半不變量為期望值，二階半不變量為方差，三階及其以上半不變量為零。由式（15）—（17）可知3種級數(shù)展開得到的系統(tǒng)狀態(tài)變量累積分布函數(shù)相同，均服從正態(tài)分布。節(jié)點電壓幅值A(chǔ)RMS的均值和最大值與負荷波動標準差的關(guān)系見圖3。仿真結(jié)果表明：

a.若只考慮服從正態(tài)分布的輸入隨機變量，3種級數(shù)展開得到的半不變量法計算精度相同；

b.當負荷波動不大時，半不變量法計算精度高；

c.隨著負荷波動增加，半不變量法計算精度降低。

圖3 節(jié)點電壓幅值的ARMS均值和最大值Fig.3 Average and maximal ARMS of bus voltage amplitude

由于負荷波動的增加，更多注入功率遠離負荷功率期望值，使得線性化處理引起的誤差隨之增大。此時，半不變量法計算誤差主要來源于交流潮流方程的線性化。

4.2 情況2

若計及發(fā)電機強迫停運，節(jié)點電壓幅值A(chǔ)RMS的均值和最大值與負荷波動標準差的關(guān)系見圖4。

圖4 節(jié)點電壓幅值的ARMS均值和最大值Fig.4 Average and maximal ARMS of bus voltage amplitude

仿真結(jié)果表明：

a.服從二項式分布的發(fā)電機出力對半不變量法計算精度影響較大，且ARMS指標隨著負荷波動標準差的增加先減小再增加，當負荷波動標準差較小時，半不變量法計算精度較差；

b.不同級數(shù)展開擬合輸出隨機變量概率分布的精度不同。

3種級數(shù)展開的基本理論為中心極限理論，當獨立輸入隨機變量的數(shù)量趨于無窮或者概率密度函數(shù)為連續(xù)而非離散時，其擬合精度高。由于發(fā)電機出力輸入隨機變量數(shù)量少（與發(fā)電機臺數(shù)有關(guān)）且概率密度函數(shù)為離散函數(shù)，不滿足中心極限定理。當負荷波動標準差較小時，節(jié)點注入功率主要為服從離散分布的發(fā)電機出力，ARMS指標較大，半不變量法計算精度較差，如當負荷波動標準差為3%，采用Gram-Charlier級數(shù)展開的ARMS最大值為3.56%，采用Cornish-Fisher級數(shù)展開的ARMS最大值為1.54%。文獻［25］指出，若系統(tǒng)中發(fā)電機臺數(shù)越多，機組的強迫停運率越高，則半不變量法的計算精度越高。因3種級數(shù)展開的方式不同，對輸出隨機變量概率分布的擬合精度也有所差異。由正態(tài)分布各階導數(shù)構(gòu)成的Gram-Charlier級數(shù)展開和Edgeworth級數(shù)展開的擬合精度基本相同，而Cornish-Fisher級數(shù)展開在計算離散分布的概率分布時與Gram-Charlier級數(shù)展開和Edgeworth級數(shù)展開相比擬合精度更高。

4.3 情況3

在情況2的基礎(chǔ)上，將風電機組直接接入節(jié)點11，風電機組有2種型號可供選擇：風機1（FL250）和風機 2（FL1000），相關(guān)參數(shù)見表 1［26］。風速的雙參數(shù)威布爾分布的參數(shù)分別為k=3.97和c=10.7［13］。風速的概率分布與風電機組功率輸出曲線見圖5。假設(shè)2種類型風電機組的功率因數(shù)均為感性0.98。

表1 風電機組相關(guān)參數(shù)Tab.1 Parameters of wind generators

圖5 風速的概率分布與風機的功率輸出曲線Fig.5 Probabilistic distribution of wind speed and power output of wind generator

不同風電機組類型和不同裝機容量對半不變量法計算精度的影響如圖6所示，其中負荷波動標準差為15%，實線代表計及風機1的半不變量法計算精度，虛線代表計及風機2的半不變量法計算精度。

圖6 節(jié)點電壓幅值的ARMS均值和最大值Fig.6 Average and maximal ARMS of bus voltage amplitude

仿真結(jié)果表明：

a.隨著風電機組裝機容量的增加，ARMS指標增加，半不變量法計算精度逐漸下降；

b.不同類型風電機組出力對半不變量法計算精度影響不同；

c.不同級數(shù)展開對輸出隨機變量概率分布擬合精度影響不同，特別是風電機組裝機容量較大時，Gram-Charlier級數(shù)展開和Edgeworth級數(shù)展開擬合精度較差，而Cornish-Fisher級數(shù)展開擬合精度較好。

由圖5可知，在給定風況下，風機1主要工作于切入風速和額定風速之間的線性工作區(qū)域，而風機2涵蓋了線性上升區(qū)域和額定工作區(qū)域，且處于額定工作狀態(tài)的概率較大，從而使得在給定風速和相同裝機容量條件下，風機2的平均輸出功率比風機1的平均輸出功率大，且輸出功率的波動也更大，導致半不變量法計算精度更差。

4.4 情況4

在情況3的基礎(chǔ)上，將節(jié)點11接入的風電機組換成光伏電站，其他條件不變。單組太陽能電池的額定容量為0.25 MW，太陽能光照強度Beta分布的形狀參數(shù)分別為a=0.85和b=0.85［24］。節(jié)點電壓幅值A(chǔ)RMS的均值和最大值與光伏電站裝機容量之間的關(guān)系如圖7所示。

仿真結(jié)果表明：

圖7 節(jié)點電壓幅值的ARMS均值和最大值Fig.7 Average and maximal ARMS of bus voltage amplitude

a.隨著光伏電站裝機容量的增加，ARMS的均值和最大值增加，半不變量法計算精度下降；

b.3種級數(shù)展開對輸出隨機變量概率分布的擬合精度影響較小，主要原因為此Beta分布形狀參數(shù)下的太陽能光照強度近似為均勻分布，使得光伏有功出力也近似為均勻分布。

由式（7）可知光伏有功出力滿足連續(xù)函數(shù)而非離散函數(shù)。

5 結(jié)論

半不變量法概率潮流因能快速求出節(jié)點電壓和支路潮流的概率分布，得到了廣泛的應(yīng)用。但由于該方法為簡化計算進行了近似處理，且不同級數(shù)展開適用于不同的分布類型，在某些情況下的計算精度可能不滿足要求，因此有必要對不同情況下半不變量法概率潮流計算進行比較分析，為該方法的合理應(yīng)用提供參考。本文以節(jié)點電壓幅值為分析對象，以蒙特卡羅法計算結(jié)果為參考值，以ARMS為評價指標，對比分析了各種輸入隨機變量和不同級數(shù)展開下半不變量法概率潮流計算結(jié)果的準確性，并分析誤差產(chǎn)生機理，得到以下結(jié)論。

a.不同輸入隨機變量對半不變量法計算精度影響不同。服從正態(tài)分布的輸入隨機變量對半不變量法計算精度影響小；服從離散分布、威布爾分布和Beta分布等非正態(tài)分布的輸入隨機變量對半不變量法計算精度影響較大。當服從非正態(tài)分布的輸入隨機變量所占比例較高時，半不變量法的計算精度變差。

b.不同級數(shù)展開得到的計及服從非正態(tài)分布輸入隨機變量的半不變量法計算精度不同。其中Gram-Charlier級數(shù)展開和Edgeworth級數(shù)展開的計算精度基本相同，Cornish-Fisher級數(shù)與前2種級數(shù)相比，在計算非正態(tài)分布的概率分布時精度更高。

c.當電力系統(tǒng)中非正態(tài)分布輸入隨機變量比較高時，為保證半不變量法概率潮流的計算精度，建議采取改進措施，如采用Von Mises法和級數(shù)展開相結(jié)合的方法［27］求取輸出隨機變量的概率分布。