預應力懸索結構的動力模型及模態(tài)響應分析

杜文學， 張令心， 韓 雪， 胡明祎

(1.黑龍江科技大學 建筑工程學院，哈爾濱 150022;2.中國地震局工程力學研究所，哈爾濱 150080)

0 引言

從結構整體受力的角度看，懸索結構受力較明確合理，在滿足建筑功能要求的同時，能夠充分發(fā)揮材料性能，作為大跨結構的承重構件近年來應用越來越廣泛[1]。因懸索結構屬柔性結構，其動力性能對整體結構至關重要。目前，國內外對懸索結構動力性能開展的研究較少，且多以靜力性能研究為主[2－3]。若進行索結構的動力性能分析，通常需要引入多個自由度來準確描述其離散模型的動力反應[4－6]。不利于在方案論證階段快速判斷索結構的動力響應。在理論分析方面，對懸索結構動力分析的索模型通常利用轉換矩陣法來準確的描述索結構的力學行為;以及利用位移法原理的有限單元法來分析索承重塔結構或懸索結構[7－9]，這種方法主要是通過分析結構的形狀而得到一個基于位移法的模型，沒有考慮阻尼的索自由振動問題，目的是用較少的自由度就能得到準確結果。文中基于兩節(jié)點懸鏈線索單元和柔性多體系統(tǒng)動力學基本理論[10]，考慮彎曲變形的影響，試用空間索單元模式來分析索的動力問題，以此嘗試運用較少自由度的模型來分析懸索結構的動力性能，應用Hamilton變分原理推導了索單元的振動方程，并選用偽動力法進行求解。最后將文中的動力模型應用到實際的索結構工程中，其分析結果與整體設計計算加以對比驗證，完成了模態(tài)反應分析。

1 動力反應模型描述

目前，索結構的動力分析模型常以兩節(jié)點懸鏈線索為主，其忽略了壓彎變形的影響。隨著大跨度索在橋梁中應用，索的直徑越來越大，單純的考慮索的拉力特性已遠不能真實反映其力學特性，文中考慮壓彎變形對索的受力特性的影響。單元索平面模型如圖1所示。X、Y表示整體坐標的水平軸與垂直軸，沿著索弦方向定為局部坐標系的x軸，垂直其的為y軸。索段長為S，與局部坐標系夾角為θ，則其在空間局部坐標系中索段內任意點的坐標為若索兩端點分別用i、j表示，則任意時刻t時，索上任一點的動位移可表示為

式中:f——單元形函數;

l——參考點至端點i間索段長;

u、v、w——索振動的廣義位移。

圖1 索模型Fig.1 Model of cable

2 索梁結構的運動方程建立

利用Hamilton變分原理[11]，運動方程如下:

式中:Ek——動能;

Ep——勢能;

Wnc——非保守力所做的功。

由能量原理，索結構的動能Ek可表示為

式中:ρ——索段體密度;

A——索段截面面積。

則動能Ek的變分可寫為

式中:d={uiuju vivjv wiwjw}T;

M——質量矩陣。

同理，勢能Ep變分由式(1)得出:

式中:σ——索段考慮軸向彎曲變形的應力;

ε——相應的應變分量。

假定索為理想柔性，考慮彎曲變形，滿足大變形、小應變特性;索段作用荷載沿索長均勻分布，故由Green應變原理[12]，則在考慮壓彎變形后索段截面任意位置纖維處的應變εl為

結合式(1)、(2)，位移導數保留二階項，勢能的變分可寫成如下矩陣形式:

式中:K——剛度矩陣。

非保守力所做功Wnc的變分為

式中:P——外荷載，P=(pxpypz);

δu——相應于外荷載所產生的位移，δu=(?ux?uy?uz);

C——阻尼矩陣。

綜上，可整理得到局部坐標下單索結構的運動方程:

即為空間索單元振動方程，可見其與一般意義上的單索結構強迫振動方程形式一致。

3 運動方程的解

選用文獻[13]中的偽靜力計算方法求解。該方法忽略體系的動響應，通過偽靜力計算得到體系的運動路徑和最終的靜平衡構形。在時域內通過逐步積分得到體系的狀態(tài)，在計算t+Δt時刻的響應前，將t時刻的速度與加速度均置為零，其物理意義是在離散的時間點上引入無窮大的阻尼，由此體系的動能被逐步地去除掉，并逐步地向靜平衡位置運動，最后表現為在靜平衡位置附近振幅逐減的微小振動，如果某一靜平衡位置不是穩(wěn)定的靜平衡位置，那么微小振動將充當干擾力的作用，系統(tǒng)會繼續(xù)運動，直至到達一個穩(wěn)定的靜平衡位置，由此可在計算中區(qū)分穩(wěn)定與不穩(wěn)定的靜平衡位置。

4 模態(tài)反應分析

某場館屋蓋采用預應力索梁張拉結構。梁頂標高17.500 m，跨度91.280 m，半徑199.160 m。其上懸索采用φ5×241 mm的高強度平行鋼絲束，用來抵抗屋面重量。平面投影為長方形，長向188.000 m，柱距17.100 m，共12榀，每榀之間由支撐和檁條相連。桅桿頂標高33.000 m，其中下桅桿高 12.650 m，底部寬 2.900 m，上桅桿高20.350 m，向外傾斜5°。桅桿、斜撐、水平撐桿及拱梁通過銷軸實現理想鉸接，整體結構通過下拉索施工預拉力成型。單榀結構布置如圖2所示，圖中單位為m。

運用文中的模型將其施工過程動力反應的模擬結果與按整體設計計算的結果進行對比，如圖3所示。從圖3可以看出，二者吻合較好，滿足JGJ257—2012《索結構設計與施工規(guī)程》中對承載力的要求，進一步驗證了文中分析方法的正確性，并具有通用的價值。

圖2 單榀索結構布置Fig.2 Structural arrangement

圖3 振動結果對比Fig.3 Comparison of results vibration

通過上述動力響應分析的頻率和周期的結果可得到該張拉屋蓋前6階振型(圖4)。由圖4可見，1階振型比較簡單，主要以平面內平動為主;2～6階振型較復雜，表現為空間振動，而且豎向與水平振動相互耦合，交替出現，個別振型伴有扭轉振動。因此，在結構動力響應分析中高階振動不可忽視。

圖4 前6階振型Fig.4 First six modal response

5 結論

(1)基于兩節(jié)點懸鏈線索單元和柔性多體系統(tǒng)動力學基本理論，考慮彎曲變形對懸索結構受力特性的影響，提出空間索單元模型進行懸索結構動力反應分析。

(2)依據Hamilton變分原理建立了動力反應運動方程，并選用偽靜力計算方法求解，得到了大跨索承結構中索的空間振動響應。

(3)采用文中提出的索單元模型分析了張拉懸索屋蓋結構的動力反應，將分析結果與整體設計結果進行對比，誤差較小;由模態(tài)響應分析可知大型張拉索結構的高階振動非常復雜，在設計初期應給予重視。

(4)文中提出的空間索單元模型可以較為準確預測懸索結構的動力響應，為實際工程在初期設計時對索結構的動力性能預測提供參考。

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